Explosiones en el espacio

Hace poco me leí Cita con Rama, de Arthur C. Clarke (que en paz descanse), todo un clásico de la ciencia ficción, y que recomiendo al que no lo haya leído, que lo haga ya. La novela es todo un ejemplo de buena ciencia, y trata sobre un enorme artefacto al que los científicos bautizan como Rama, que penetra en el sistema solar siguiendo una trayectoria hiperbólica alrededor del Sol, es decir, aparentemente sólo está de paso. Se envía una expedición a investigarlo, descubriendo un mundo cilíndrico y hueco, que rota para proporcionar una pseudogravedad en su interior (mediante la fuerza centrífuga).

Hubo una escena que me recordó un error bastante recurrente (que el libro no comete, por supuesto). Intentaré describirla sin destripar demasiado la trama: En un momeento dado, Rama es amenazado por un artefacto explosivo, con suficiente potencia como para destruirlo. Los personajes convienen en que la mejor forma de alejarse de Rama es siguiendo su eje longitudinal, ya que si el aparato explota, y Rama se fragmenta, la fuerza centrífuga de su rotación lanzaría los pedazos en todas las direcciones transversales el cilíndro. Se dice casi literalmente que el alcance de los fragmentos es ilimitado.

Y eso es cierto. En nuestro planeta, el alcance de la metralla de una explosión es limitado. Los fragmentos pierden velocidad debido a la resistencia del aire, y además, la gravedad los empuja hacia el suelo, donde el rozamiento es mayor. Tarde o temprano, la metralla que no ha colisionado con algo (o alguien) cae al suelo, y termina deteniéndose. En el espacio, sin embargo, no hay nada que frene los fragmentos. Una vez salen despedidos, seguirán en línea recta, y manteniendo la misma velocidad. Es decir, no importa si estamos cerca o si nos hemos alejado mucho. Si un fragmento nos golpea, lo hará con la misma fuerza que si estuviéramos al lado de la explosión. La única seguridad que proporciona la distancia, es que al viajar los fragmentos en todas direcciones desde el centro del la explosión, cuanto más lejos estemos, menor será la «concentración» de aquellos. Es decir, si nos alejamos, la probabilidad de que nos alcance un pedazo disminuye. Pero si choca con nosotros, el daño será el mismo, no importa lo lejos que estemos.

En las películas, es habitual que, en una batalla espacial, las naves se intercambien disparos a poca distancia. En algunos casos, como en El Retorno del Jedi, o en La Venganza de los Sith, enormes cruceros y destructores se disparan casi a bocajarro, flanco con flanco, como en las antiguas batallas navales. También es habitual que en plena batalla de «pesos pesados», diversos cazas se enfrenten entre ellos, o incluso contra los cruceros, con cientos de explosiones por todos lados. Pues bien, en realidad, cada explosión debería ser una amenaza terrible para cada nave involucrada en la batalla (a menos que otra le tape la línea de visión). No digamos ya cuando un caza destruye a otro a bocajarro, y atraviesa la explosión de su enemigo. Y sí, uno puede decir que las naves tienen escudos, campos de fuerza o similar. Pero eso sólo es aplicable en algunos casos, como en las sagas de Star Wars o Star Trek. En Galactica o en Babylon 5, las naves no tienen escudos (sólo un casco más o menos resistente).

The Core: Rotaciones y corrientes

Este fin de semana pusieron en la tele la película The Core (El Núcleo), notable por tener el record de artículos dedicados en este blog (hasta le he dedicado una categoría y todo). Verla nuevamente me hizo recordar que todavía tengo algunas ideas pendientes sobre la peli. Una de ellas es sobre cómo «reiniciar» el núcleo terrestre.

Recordemos otra vez el argumento: el núcleo terrestre deja de rotar, lo que supone un terrible peligro para la vida en nuestro planeta al desaparecer el campo magnético terrestre, y un grupo de intrépidos héroes viajan hacia el centro de la Tierra en una nave diseñada al efecto, para hacer detonar unas cabezas nucleares en el núcleo, de forma que vuelva a girar. Concretamente, llevan 5 bombas de 200 megatones cada una, y el plan original es detonarlas todas juntas, en una única explosión. Más tarde, cuando llegan al núcleo externo, descubren que su densidad es menor de la que pensaban, y tras devanarse los sesos idean un plan alternativo: detonar las 5 cabezas por separado, en lugares y momentos diferentes, de forma que una cabeza explote cuando le alcance la onda expansiva de la anterior.

Sin embargo, suponiendo que la energía fuese suficiente (que no lo es, pero eso es otra historia), el plan original hubiera sido inútil. En la película no se especifica claramente si la idea es que el núcleo interno gire de nuevo (que se cree es sólido), o que sea el externo el que lo haga (o mejor dicho, generar una corriente circular, ya que se cree que es líquido). Se menciona en una ocasión que el núcleo interno es una bola de hierro del tamaño de Marte, girando sobre sí mismo, pero en las animaciones y simulaciones por ordenador, lo que se representa son las ondas y corrientes en el núcleo externo. En cualquiera de los dos casos, una única explosión no conseguiría nada.

¿Por qué? Bueno, una detonación en un fluido más o menos homogéneo, genera una onda expansiva esférica, de forma que la fuerza se transmite por igual en todas direcciones. De hecho, en los gráficos de las simulaciones, vemos las explosiones representadas por círculos concéntricos. Eso quiere decir que el núcleo interno se vería empujado por fuerzas que se anularían mútuamente en direcciones tangentes, quedando únicamente una fuerza neta radial. Para alterar el estado de rotación de un objeto, es necesaria la aplicación de un par o momento de fuerza, y para ello, tiene que haber algún tipo de fuerza neta tangencial. Imaginad una pelota flotando en el espacio. Si la empujáis de forma que la fuerza se vea dirigida hacia su centro, simplemente la desplazaréis de su posición, pero no la haréis girar.

Por otro lado, la onda expansiva se propagaría en todas direcciones, sin que haya ninguna en concreto que podamos considerar «preferente». Posiblemente las que viajen hacia el centro se comporten de forma diferente a las que viajen hacia fuera, pero eso no produciría que el núcleo externo rotase, ni se crearían corrientes con un sentido de giro alrededor del núcleo interno. Las corrientes se alejarían del lugar de la explosión, darían la vuelta alrededor del núcleo interno, y se juntarían en el extremo opuesto. Estamos ante un problema de simetría esférica, y por tanto, no hay ninguna dirección tangencial preferente.

O casi. La Tierra tiene un movimiento de rotación, que causa la conocida fuerza de Corolis. Dicho fenómeno rompe un poco la simetría esférica del problema. Sin embargo, parece más razonable usar desde el principio el «plan alernativo», que es totalmente asimétrico.

Un punto a favor de la peli, es que se hace hincapié en varias ocasiones, en el poco conocimiento que tienen los científicos sobre el interior de la Tierra, basado sobre todo en hipótesis (y que llega a convertirse en punto fundamental del argumento, cuando descubren su error sobre la densidad del núcleo externo). Y eso es cierto. No se sabe con seguridad el mecanismo que genera el campo magnético terrestre. Se tiene certeza de que tiene que ver con la composición del núcleo, y su rotación (un campo magnético es generado por el movimientro de cargas eléctricas), aunque se ignora los detalles. La hipótesis actual más plausible es que la generación del campo sea debida sobre todo a las corrientes del núcleo externo, más que a la rotación del núcleo interno.

Hay que tener en cuenta que dichas corrientes son algo caóticas (no penséis que todo el metal fundido gira de forma armoniosa en torno al núcleo interno). De hecho, el campo magnético terrestre ha variado bastante a lo largo de la historia geológica de nuestro planeta, llegando incluso a invertirse o atenuarse hasta casi desaparecer, de forma natural, debido a la variación de dichas corrientes. Y es que, para muchos, la dinámica de fluidos es la rama más compleja e incomprensible de la física, superando en ese aspecto, incluso a la relatividad o la mecánica cuántica.

Reanimator y el doctor decapitado

En el envío sobre el instantáneo veneno de El Mundo Perdido, un lector comentó que en la película Tú asesina que nosotras limpiamos la sangre, la prota le da vueltas a la idea de si tras una decapitación, la cabeza puede seguir hablando. No he visto dicha peli, pero en seguida me acordé de Re-animator, película gore basada en el relato Herbert West: Reanimador de H. P. Lovecraft, en el que un médico (Herbert West, claro) inventa un suero que reanima a los muertos. Más o menos a la mitad de la peli, el prota decapita a un doctor rival, e inmediatamente inyecta su suero en la cabeza y el cuerpo. Ambas «partes» resucitan, y mientras la cabeza habla con el Dr. West, el cuerpo le ataca por detrás y le deja inconsciente. Este decapitado doctor será el villano durante el resto de la peli.

La película, a pesar de las vísceras y sangre que derrama, tiene algo de comedia y no hay que tomarla muy en serio. Pero aún creyéndonos que es posible reanimar a un muerto con un suero, y que además es capaz de mantenerlo vivo pese a no curar las heridas que lo mataron (como tener separada la cabeza del cuerpo), hay algunos detalles del decapitado que merecen la pena comentarse.

La primera de ellas es evidente: ¿Cómo puede hablar la cabeza? Y no me refiero a que la cabeza conserve o no capacidad de lenguaje, sino a la posibilidad física de emitir sonidos. Cuando hablamos, expiramos aire de nuestros pulmones, y hacemos vibrar nuestras cuerdas vocales. Esto produce un sonido, que posteriormente articularemos mediante la boca. Si el aire no pasa por las cuerdas vocales, y éstas no vibran, no podemos usar nuestra voz. Podemos hacer lo que comúnmente denominamos «hablar en voz baja», exhalando aire sin hacer vibrar las cuerdas vocales, por lo que en cualquier caso, para hablar es imprescindible hacer circular el aire a través de nuestra boca, y para ello necesitamos los pulmones. Una cabeza sin cuerpo, sencillamente no puede forzar dicha circulación de aire, y por tanto, no puede hablar. Además, dependiendo de en qué parte del cuello se haya producido la rebanación, puede que incluso las cuerdas vocales hayan sido seriamente dañadas. En la peli, sin embargo, la cabeza del doctor podía hablar con su voz, e incluso gemía y todo.

Otro detalle curioso es el hecho de que la cabeza sigue controlando el cuerpo, después de la decapitación. En una persona viva, el cerebro se comunica con los músculos mediante el sistema nervioso, que transmite los impulsos eléctricos que genera el cerebro, hasta su destino. ¿Cómo puede entonces una cabeza separada de su cuerpo, seguir enviando dichos impulsos? ¿Cómo se transmiten? Y recordemos que en la peli, el proceso de reanimación no es algo sobrenatural, sino que lo produce un suero desarrollado por un científico, es decir, no podemos tirar de la frase «lo hizo un mago» (esta vez no hay no-premio, que la cita es repetida).

Como curiosidad final, hay que decir que la peli tiene un pelín de buena ciencia. La mayoría de los reanimados se comportan de forma irracional, sin capacidad de habla, como si fueran animales. Los protas lo explican con el deterioro de las células del cerebro, que comienza tras la muerte (mejor dicho, tras la interrupción del suministro de oxígeno al cerebro, ya que el deterioro en sí es la muerte cerebral). Sin embargo, la reanimación del médico se realiza pocos segundos tras su decapitación, por lo que conserva perfectamente sus facultades mentales (si se me permite el chiste fácil, es el único reanimado que no pierde la cabeza).

El Mundo Perdido: Veneno mortal en 2 milisegundos

Hace algunos meses comenté un detalle sobre la peli El Mundo Perdido (la basada en la novela de Michael Crichton, no la de Conan Doyle). Hoy comentaré otro que tampoco tiene mucho que ver con los dinosaurios en sí. En la peli, uno de los expedicionarios del primer grupo le enseña al matemático un rifle para lanzar dardos envenenados. El veneno utilizado es el más mortífero conocido, y comenta que mata en dos milésimas de segundo. El matemático le pregunta si hay un antídoto, a lo que el interpelado le contesta, más o menos que para qué, que uno se muere antes de sentir el pinchazo.

Pensemos un poco en las implicaciones de la frase. El veneno te mata antes de sentir el pinchazo, es decir, antes de que los impulsos eléctricos que generan los sensores de la piel, lleguen al cerebro. ¿Cómo mata un veneno? Bueno, como sabéis, la biología no es mi fuerte, pero sí puedo decir que todos tienen en común lo siguiente: deben introducirse en el cuerpo (por inhalación, absorción de la piel, etc), y dañar células, tejidos u órganos. En la peli, se utilizan proyectiles que se clavan en la víctima. Podría ser que la toxina comenzara a dañar células y tejidos desde el punto de entrada, hasta que el daño alcance órganos vitales. O podría ser que se introdujera directamente en el torrente sanguíneo, y circulara hasta alcanzar un órgano vital, donde comenzaría el proceso de destrucción de tejidos. En cualquier caso, todo eso requiere algo de tiempo. Y sí, hay venenos y toxinas que actuan con muchísima rapidez, pero la muerte no puede ser más rápida que el impulso eléctrico que viaja desde la piel a nuestro cerebro.

Otro detalle sobre el que debemos reflexionar es ¿qué es exactamente morirse? Seguro que muchos diréis que es cuando uno deja de respirar, o su corazón deja de latir, o ambas cosas. Sin embargo, esto no es así. Todos habréis oído hablar de la RCP o reanimación cardiopulmonar. Cuando una persona sufre una parada cardiaca o deja de respirar, aún puede ser salvado. ¿Cómo? Bueno, esto nos lleva a la pregunta de antes: ¿qué es exactamente la muerte?

Como sabéis, todas las células de nuestro cuerpo necesitan oxígeno para realizar la combustión celular, y mantenerse vivas. Este oxígeno es obtenido mediante los pulmones y transportado por la sangre. Cuando el suministro de oxígeno se interrumpe (bien porque la sangre deja de circular, bien porque deja de entrar oxígeno en los pulmones), las células comienzan a deteriorarse y morir. Esto incluye las células que componen nuestro cerebro. Pero el deterioro no es instantáneo. El cerebro puede sobrevivir unos minutos sin suministro de oxígeno (no demasiado), aunque cuanto más tiempo transcurra así, más probabilidades hay de lesiones importantes e irreversibles, o finalmente la muerte cerebral (la muerte «de verdad»).

Esto quiere decir que por muy rápido que actue un veneno, y aún creyéndonos que el de la peli «mata» en dos milisegundos, no significa que un antídoto sea inútil, como se insinua en la peli. Si se actua con rápidez y se inyecta mientras se practica una RCP, la víctima puede salvarse.

The Core: Hundirse en el manto

Pues sí, hoy volvemos The Core, película que ha sido calificada por algunos lectores de este blog, como la de mayor cantidad de malaciencia en la historia del cine. Y no sé si será verdad, pero desde luego es a la que más artículos he dedicado ([1], [2], [3], [4] y [5]). En esta ocasión comentaré un detalle que puede pasar desapercibido (cosa lógica, por otra parte), pero que una vez se da uno cuenta, resulta obvio.

Al poco de iniciar el viaje, la nave se topa con una geoda gigantesca (básicamente, una gran cavidad en el manto). Cuando la atraviesa, al no tener nada a lo que «sujetarse», la nave cae y se estrella contra el «suelo», tras lo cual no puede moverse. Así que los intrépidos terranautas deben salir a salvar el día. Cuando casi lo tienen todo solucionado, algunos cristales de la geoda ceden, y la roca fundida del manto comienza a entrar. El comandante de la misión sufre un accidente y su cuerpo cae al lago de roca fundida recien formado, hundiéndose lentamente.

Lo primero que uno puede pensar es ¿cómo pueden los personajes moverse por el exterior, en tales condiciones? Deberían soportar una presión inimaginable. Y vale, hemos de suponer que los trajes espaciales que llevan estan fabricados de unobtanium (el «mágico» material con el que se fabricó el casco de la nave). Pero en la peli se nos dice que el unobtanium se vuelve más duro y resistente con la temperatura y la presión. En ese caso, ¿cómo solucionar el problema de las articulaciones? El traje debería haberse convertido en un caparazón rígido, que impidiera cualquier movimiento.

Pero lo que creo es más interesante, es el hecho de que el comandante se hunda en la roca fundida. Veamos ¿por qué hay cosas que flotan y cosas que se hunden?. Pues porque los objetos menos densos que el líquido en cuestión flotan, y los más densos se hunden. Es una consecuencia del Principio de Arquímedes. Una persona tiene más o menos la misma densidad del agua, dependiendo del aire que tenga dentro de los pulmones (y de otros gases interiores, pero no nos pongamos escatológicos), y del agua que estemos considerando (el agua de mar es un poco más densa que el agua dulce). Por eso, desnudos o con poca ropa, podemos flotar más o menos sin problemas (aunque podemos hundirnos si expulsamos todo el aire que podamos de los pulmones; claro que entonces no aguantaríamos mucho la respiración).

Pero en la peli, no estamos hablando de agua, sino de roca fundida. Y ésta es bastante más densa que el agua. Para que el comandante se hundiera, tendría que ser más denso que la roca fundida del manto. Para hacernos una idea, debería pesar más que una estatua de idénticas dimensiones que él, formada por roca. Bueno, uno puede decir que los personajes no iban desnudos, sino con un traje protector, suficientemente resistente para soportar las enormes presiones del interior de la Tierra (tal vez hecho de unobtanium, como ya he comentado). Pero aún así, para que el conjunto de traje y persona fuera más denso que la roca fundida, el traje tendría que pesar bastante más que la propia persona (puesto que podemos aventurar sin miedo a equivocarnos, que la densidad del manto es más del doble de la del agua). Y estaremos de acuerdo en que un traje así, sería totalmente inutilizable.

Tsunamis

Hace ya varias semanas, pusieron en la tele una de esas películas para TV (o miniseries, no estoy seguro) catastróficas con presupuesto limitado: 10.5 Apocalipsis. Es continuación de una miniserie llamada 10.5, de la que comenté algo en su día. No la pude ver terminar, dada la elevada duración (estoy casi seguro que se trataba de una miniserie), y el inmenso tiempo de anuncios al que nos tiene acostumbrado Antena 3. Pero no importa, ya que lo que voy a comentar sucede al principio. Resulta que uno de los enormes terremotos que se suceden durante la peli, ocurre en el fondo marino, provocando un tsunami (aunque no lo denominan así) que engulle un crucero en alta mar, y luego arrasa la costa.

Casi todo el mundo, al intentar imaginar un tsunami, piensa en una ola gigante, con más o menos la misma forma que una ola convencional. Pero en realidad, los tsunamis son algo muy diferente. Veamos, las olas que vemos habitualmente en el mar, se forman por la acción del viento. Cuanto más fuerte es el viento, mayores son las olas, pudiendo llegar a ser bastante peligrosas en caso de una gran tormenta. Pero el agua únicamente se mueve cerca de la superficie. Si alguna vez os habéis bañado en alguna playa con el mar revuelto, habréis comprobado que si se os viene encima una ola más o menos grande, basta con sumergirse para evitar que la ola te empuje o te dé un buen revolcón (a menos que la ola sea muy vertical y rompa justo donde estás tú). En el caso de las enormes olas producidas por tormentas y huracanes, hay que sumergirse más, pero siempre hay una profundidad a partir de la cual el agua está en calma. Otra características destacables es que tienen una longitud de onda del orden de metros o decenas de metros. Es decir, la distancia entre cresta y cresta de un grupo de olas, es de varios metros.

Los tsunamis son diferentes. Normalmente son producidos por movimientos sísmicos (aunque hay otras causas), pero su principal característica es que todo el agua desde la superficie al fondo marino, es desplazada. Otra característica importante que los diferencia de una ola convencional, es su longitud de onda extremadamente grande, del orden de varios kilómetros (incluso cientos de km). Es decir, un tsunami no es una única ola, sino varias, separadas varios kilómetros entre sí, y que desplazan todo el agua desde el fondo a la superficie. Además, la velocidad de propagación de estas olas es enorme, muy superior a las de las olas producidas por el viento.

Ahora viene lo más sorprendente: la altura de la ola de un tsunami es muy pequeña en alta mar. Puede ser incluso imperceptible, de forma que si un barco se encuentra en su camino, su tripulación y pasajeros apenas notarán nada. Lo que ocurre es que a medida que se aproxima a tierra, su velocidad disminuye, y la profundidad del lecho marino también. Al disminuir la velocidad, se va reduciendo su longitud de onda, ya que las olas «de detrás» van alcanzando poco a poco a las «de delante», aunque en ningún caso llega a reducirse tanto como en el caso de las olas de viento. Además, puesto que se desplaza todo el agua desde el fondo, al reducirse la profundidad, el agua se eleva (el espacio disponible se reduce, pero el volumen de agua sigue siendo el mismo). Así, cuando está cerca de la costa, un tsunami alcanza varios metros de altura, pero manteniendo una longitud de onda bastante grande. Así que lo que finalmente impacta sobre la costa, no es una «pared» de agua, alta y delgada, sino una «mole» alta y muy ancha.

Los distintos nombres que recibe el tsunami, nos muestran sus características. La propia palabra «tsunami», significa «ola de puerto» en japonés. Se dice (no se si es cierto o es una leyenda) que el término procede de unos pescadores que se adentraron en alta mar, y al regresar vieron su pueblo completamente arrasado por una ola, aunque ellos no la habían visto pasar. Por otro lado, en inglés, a veces se usa el término «tidal wave», que significa «ola de marea». Aunque el término es incorrecto en cuanto al origen de los tsunamis (no tienen nada que ver con las mareas), sí que describe bien su percepción desde la costa, ya que al tener una longitud de onda tan elevada, no parece una ola gigante, sino un repentino aumento del nivel del mar, como si la marea subiera de forma casi instantánea.

En las películas, se suelen mostrar los tsunamis como olas gigantes, con las mismas proporciones que una ola de viento. Y como hemos visto, esto no es así. Su apariencia se asemeja más a lo que se mostraba en la película El día de mañana, cuando Nueva York es inundado por una enorme montaña de agua, que no parecía descender al otro lado. También suele mostrarse como una ola amenazadora, ya desde alta mar, cuando en realidad no es así. Este detalle es especialmente relevante en el documental Cuatro maneras de acabar con el mundo, del que ya comenté algo hace algún tiempo. La primera de las catástrofes era un tsunami originado por un corrimiento de tierras en la isla de La Palma (no confundir con Las Palmas de Gran Canaria, ni con Palma de Mallorca), y en una de las secuencias, se veía a un hombre aterrorizado, mirando una pantalla con un mapa del Atlántico y unos numeritos representando barcos, que desaparecían al paso del tsunami. En las películas se puede perdonar, pero un documental debería de ser más riguroso.

Anacondas explosivas

El de hoy va a ser un envío cortito, ya que trata de un tema que ya comenté hace tiempo, pero que esta vez es llevado a extremos casi paródicos. Hace unas semanas pusieron en la tele la película Anacondas: la cacería por la orquídea sangrienta. Trata de un grupo de exploradores que se interna en una selva para buscar una flor (la orquídea sangrienta) que tiene unas propiedades que la convierten en una joya para la industria farmacéutica. El problema es que el lugar donde florece la planta, está habitado por inmensas anacondas, que poco a poco van causando bajas en el grupo. Al final de la peli, los supervivientes se topan con una especie de nido, donde los inmensos bichos retozan y se aparean en un pozo de barro. Una de las serpientes se percata de los intrusos, y les ataca. Para defenderse, una de las protas le lanza una lata de gasolina, de forma que la cabeza de la serpiente se empapa de este líquido, y le lanza una bengala. El bicho se pone a arder un poco, y después cae al pozo, donde están sus compañeras. Y justo en el momento en el que se estrella, explota todo en llamas.

Sí, sí, no es coña. Ante secuencias como esta, uno no sabe por dónde empezar. Ya expliqué una vez que en el mundo real, los coches no explotan con tanta facilidad como en las películas. Y aquí hablamos de una serpiente. Vale, le han echado gasolina, pero para que explote de esa manera tendría que haber tragado una muy buena cantidad (cosa que no hace), y que hubiera tragado aire, que en su interior la mezcla fuera apropiada, y que justo en el momento del impacto, alguna llama se «metiera en la boca» para inflamar la gasolina de dentro. En fin, como he dicho, digno de una peli estilo Top Secret.

Cube: factorizando números

Cube es una de esas películas que aparecen de vez en cuando, que muestra cómo con pocos medios y una premisa aparentemente simple (aparentemente), se puede hacer una película intensa que no deja indiferente. Pero si la comento aquí no es para hablar de sus bondades (o carencias) artísticas, sino de la ciencia tras ella. En este caso, las matemáticas. Y para ello es imprescindible resumir algunos puntos importantes del argumento (incluyendo algunos que sólo se revelan muy avanzada la peli).

La historia es la siguiente: Un reducido y heterogéneo grupo de personas se ve atrapada (sin saber cómo ni por qué) en un extraño recinto formado por habitaciones cúbicas interconectadas. Algunas habitaciones tienen trampas mortales (y muy desagradables), mientras que otras son seguras. En la entrada de cada habitación, hay una secuencia de tres números de tres dígitos (es decir, entre 000 y 999), y uno de los personajes, una matemática, descubre que las habitaciones en las que uno de los números es primo, son las peligrosas. La chica les va guiando de forma segura, estudiándo los números, hasta que descubren que su hipótesis es errónea. En realidad, las trampas están en aquellas habitaciones en las que uno de los números es la potencia de un primo, es decir, números del tipo X^y, donde X es un número primo (obviamente, eso incluye a los números primos, puesto que X¹=X). En este momento, la matemática se desespera, ya que dice que es imposible. Que los cálculos son astronómicos, y que no puede hacerlo. Para suerte de todos, uno de los personajes atrapados es un autista con síndrome del sabio que es capaz de factorizar un número en un instante, y decir cuántos factores primos distintos tiene. Esto es, con un número que sea potencia de un primo, como 3, 9 (3²) o 16 (2⁴), el personaje diría «1»; mientras que el con el 63 (3²·7), por ejemplo, diría «2», pues tiene dos primos distintos como factores (el 3 y el 7).

Pues bien, realmente no era necesaria la presencia del autista. Los números son de 3 dígitos, como ya he dicho, por lo que el mayor de todos sería 999. Y factorizar un número tan pequeño no lleva tanto tiempo. Fijáos en lo siguiente: hay que detectar los números que son potencias de un número primo, ya que son las habitaciones con trampas. Pero como la chica es capaz de averiguar con rapidez si un número es primo o no (ya que lo hizo durante gran parte de la peli), la dificultad añadida está en ver si un número no primo, es potencia de un primo. Para eso es necesario factorizarlo, por lo que debemos probar si es divisible por 2, por 3, por 5, por 7, por 11, y así hasta completar todos los números primos hasta 999 ¿verdad? Pues no. No es necesario ir tan lejos.

Pensemos en lo siguiente ¿Cuál es el mayor número primo, menor que 1000? Tranquilos, no os rompáis la cabeza. Buscando alguna tabla de primos en Internet, o creándonos nuestro propio programilla en un ordenador, vemos que es 997. «No vale, los personajes ni tenían ordenador, ni calculadora, ni tablas, ni nada» diréis algunos. Cierto, pero veréis más adelante que da igual que hagamos este razonamiento con un número primo o no. Es sólo una forma de mostraros algo. Fijáos que cualquier potencia de 997, con exponente mayor que 1, es necesariamente mayor que 1.000. No creo que sea necesario calcular 997² para demostrarlo. Así que podemos descartar las potencias de dicho primo. Pero vayamos más allá. ¿Cuánto es, por ejemplo, 100² (no, 100 no es primo, ya lo sé)? Pues Fácil, 10.000. Obviamente, también podemos descartar todos los números primos mayores que 100, pues cualquier potencia de un número mayor que 100, con exponente mayor que 1, es mayor que 1.000 (y mayor que 10.000). Eso nos deja con aún menos números primos. Vayamos todavía más allá. ¿Hasta qué número debemos probar? Parece evidente que para cualquier número mayor que la raíz cuadrada de 1.000, su cuadrado será mayor que 1.000 (para todo número mayor que 1, si X>Y, entonces X²>Y²), y por tanto, cualquier otra potencia mayor, será también mayor. ¿Cuánto es la raíz cuadrada de 1.000? Bueno, realmente no importa su valor exacto, pues lo que buscamos el el mayor número primo, cuyo cuadrado sea menor que 1.000. Y este número es 31, ya que 31²=961, mientras que 32²=1.024.

«¡Trampa, trampa! Seguro que has usado una calculadora». Bueno, en realidad no, ya que 1.024 es un número muy significativo para todo el que trabaje con ordenadores, puesto que es 2¹⁰, que se puede expresar como, (2⁵)², es decir 32². Pero tenéis razón, entiendo que la chica era matemática, no informática, y no tenía por qué venirle a la cabeza eso. En cualquier caso, 31 es el 11º número primo, por lo que únicamente habría tenido que realizar 11 multiplicaciones hasta llegar a dicha conclusión (en realidad, bastantes menos, pues seguro que habría empezado a probar por un número mayor que 2, y que 7, y que 13). Por supuesto, estamos partiendo de la base que la chica conocía de antemano cuáles son al menos los primeros 11 números primos. Pero si no se los sabía de memoria, en poco tiempo hubiera podido averiguarlo.

Sigamos. ¿Qué ocurre si un número no es divisible por ninguno de esos 11? Pues hemos encontrado un primo. ¿Seguro? Sí. Fijáos que si el número no es primo, entonces debe estar formado por el producto de potencias de uno o más primos. Pero si todos los cuadrados de números mayores que 31, son mayores que 1.000, la única posibilidad para un número no primo con un primo mayor que 31 como factor, es que el resto de factores primos sea menor que 31. Y ya hemos comprobado la división por esos números. Veamos un ejemplo. El siguiente primo después de 31 es 37. Como ya sabemos, 37² es mayor que 1.000 (1369). El producto de 37 y 31 también lo es (1147). Tenemos que ir hasta el 23, para ver que su producto con 37 ya es un número menor que 1.000 (851) y por tanto, puede aparecer en una habitación. Pero ese número es divisible entre 23 (obviamente), cosa que ya habríamos detectado antes. Es fácil ver que esto mismo se cumple para el resto de números por encima de 31. Todo número no primo menor que 1.000, tiene necesariamente algún factor primo menor o igual que 31. Es decir, si un número menor que 1.000 no es divisible por ninguno de los 11 primeros primos, entonces es primo. Bueno, pero ese no era el problema ¿no? La matemática sabía calcular rápidamente si el número era primo o no. Cierto, pero es importante tener esto muy claro, para el siguiente paso.

Hemos dicho que debemos comprobar si un número es divisible por los 11 primeros primos. Aunque hay técnicas que no hacen necesarias una división (por ejemplo, en el cole nos enseñaron que todos los números pares son divisibles por 2, todos los números acabados en 0 ó 5 son divisibles por 5, y todos los números cuya suma de dígitos sea un múltiplo de 3, es divisible por 3), hagámoslas igualmente, comenzando con el 2 como divisor y siguiendo en orden creciente por esos 11 primos. Quedémonos con el cociente de la primera división entera que encontremos (con resto cero), es decir, no sigamos probando con el resto de primos. Repitamos el proceso con dicho cociente, y así sucesivamente hasta llegar a un número que no sea divisible por ninguno de los primeros 11 primos. Ese número, será necesariamente también primo. Y ya habremos factorizado completamente el número original.

Así que tenemos que para factorizar un número menor que 1.000, basta con intentar dividirlo de forma sucesiva por los siguientes números: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ó 31. No son operaciones complicadas, los números involucrados no son demasiado grandes (dividendos menores que 1.000 y divisores menores que 32) y no serían demasiadas operaciones. Desde luego, no puede considerarse como «cálculos astronómicos».

Como curiosidad, he hecho un pequeño programilla para averiguar el número de divisiones a realizar para factorizar cada número, siguiendo el método descrito, y en el peor de los casos (que ocurre para 851, 943 y 989), es de 20. Y eso si hacemos el cálculo «a lo bruto». De un vistazo podemos saber si un número es divisible por 2 ó 5, y quitarnos de encima dos divisiones si ya vemos que no son divisibles. Y con una simple suma, podemos saber si no es divisible por 3. Además, parece evidente que el cociente será más pequeño que el número original, y podremos descartar algún primo más.

El cálculo puede ser algo tedioso en algunos casos, pero en nigún caso podría considerarse «astronómico».

Correr con las ventanillas bajadas

Hace poco, pusieron en la tele la película A Todo Gas 2. No la vi entera, sino que la pillé poco antes de la persecución final, pero me fijé en un detalle que creo comparten muchas películas. En la peli, tanto los coches de los protas como los de la policía que los persigue, tienen las ventanillas completamente bajadas (uno de los coches, incluso es descapotable). Y eso, puede que quede muy estético, con la ropa y el pelo de los conductores ondeando al viento, pero rompe la aerodinámica del vehículo, cosa poco deseable si se quiere conseguir la máxima aceleración y velocidad posible.

Aunque en los problemas de física que nos ponían en el cole siempre se decía que se despreciara el rozamiento del aire, en el mundo real este rozamiento puede llegar a ser un factor muy importante, puesto que la fuerza debida a éste es proporcional al cuadrado de la velocidad. De hecho, cuando viajamos en coche a velocidad constante, la fuerza que ejerce nuestro motor se utiliza exclusivamente para vencer el rozamiento.

Cuando se diseña un coche, uno de los factores a tener en cuenta es su aerodinámica. La aerodinámica de un coche depende de múltiples variables, pero en todos los modelos se cumple una constante: al bajar las ventanillas, estamos empeorando la aerodinámica del vehículo, y por tanto, la fuerza debida a la resistencia del aire aumenta. Eso quiere decir que a la misma velocidad, la fuerza que se opone al movimiento del coche, es mayor con las ventanillas bajadas, que cuando están subidas. Una consecuencia inmediata, es que el consumo de un coche aumenta con las ventanillas bajadas.

Pero en una persecución, lo más importante es el hecho de que la fuerza que se opone al movimiento aumenta. En el cole nos enseñaron (y lo he repetido muchas veces en este blog) que la fuerza es igual a la aceleración por la masa, es decir (F=a·m). La fuerza resultante neta sobre un coche, es igual a la fuerza ejercida por el motor, menos la fuerza de resistencia del aire (bueno, están también la gravedad y la sustentación del suelo, pero estas se anulan mutuamente). Es evidente que ante la misma fuerza motora, la fuerza neta disminuye si aumenta la fuerza debida al rozamiento del aire, por lo que la aceleración neta disminuirá (la masa del coche no varía si subimos o bajamos las ventanillas).

Teniendo en cuenta que los protas trucan los coches con inyectores de óxido nitroso (N₂O) y demás parafernalia, es bastante extraño que no utilicen también un método tan simple como tener las ventanillas bien cerradas. En las películas donde hay tiroteos, sí que es necesario bajar las ventanillas para disparar, pero en esta persecución en concreto, ni la policía ni los protas disparaban desde los coches.

El Mundo Perdido: Interferencia del observador y el Principio de Indeterminación

Hace unas semanas pusieron en la tele la película El Mundo Perdido: Parque Jurásico, conocida secuela de la conocidísima Parque Jurásico. Al principio de la peli, cuando los protas llegan a Isla Sorna, el matemático (Jeff Goldblum) y su novia (Julianne Moore) mantienen una conversación que me llamó la atención. Ella explica que tienen la misión de observar y documentar el comportamiento de los dinosaurios, sin interferir en ellos, a lo que él responde que es físicamente imposible, ya que el Principio de Indeterminación de Heisenberg dice que cualquier observación de un fenómeno, lo modifica. Bien, el matemático está cometiendo un error muy común, que es confundir el Principio de Indeterminación de la mecánica cuántica, con un principio más general de toda ciencia experimental.

Veamos, es cierto que la observación de un fenómeno o experimento, puede alterar su resultado. Un ejemplo muy sencillo es la medición de la corriente eléctrica o la diferencia de potencial, en un circuito. Para medir cualquiera de estas dos magnitudes, debemos conectar un amperímetro (para la corriente) o un voltímetro (para la diferencia de potencial) al circuito en cuestión, y al hacerlo, necesariamente estamos alterándolo. Un buen aparato bien calibrado, puede minimizar este efecto hasta hacerlo casi despreciable, pero existe. Dependiendo del experimento, la alteración puede ser más o menos importante, o inexsistente (el observar una estrella situada a años luz, difícilmente puede interferir en su evolución).

En el caso de observación de comportamiento de animales o humanos, la alteración puede ser tan significativa que arroje resultados totalmente erróneos. Un caso muy conocido es el del experimento de Hawthorne, en el que se intentó estudiar cómo afectan diferentes condiciones ambientales en el rendimiento de un grupo de trabajadoras, y que Omalaled explica muy bien en Historias de la Ciencia.

Sin embargo, esto no tiene nada que ver con el Principio de Indeterminación de Heisenberg. Dicho principio nos dice básicamente que no podemos conocer con toda la precisión que queramos, la posición y momento lineal (o cantidad de movimiento) de una partícula, de forma simultánea. Y este principio sólo es apreciable en el mundo de la mecánica cuántica. Puesto que la cantidad de movimiento es el producto de la masa por la velocidad, y la masa es constante, en ocasiones se simplifica y se habla únicamente de posición y velocidad (en el sentido vectorial, es decir, incluyendo la dirección y sentido). Si vamos un poco más al detalle, lo que nos dice dicho principio es que el producto de la desviación estandar de dichas variables (posición y momento lineal) es mayor o igual que la constante de Planck (ℎ) dividida entre 4·π (Δx·Δp≥ℎ/4π). Esto quiere decir que cuanta más precisión tengamos en la medida de la posición, menos precisión tendremos en la medida del momento lineal, y viceversa.

Fijáos que no se habla de modificación o alteración de la partícula que medimos. Simplemente se nos limita la precisión que podemos alcanzar. En ocasiones, para explicar este principio tan anti-intuitivo, se recurre a analogías que hacen alusión a procesos de medida que alteran otras variables. Así, es común la explicación que nos dice que para «ver» un electrón, un fotón debe golpearle, alterando su trayectoria. Pero el Principio de Indeterminación no tiene nada que ver con las limitaciones de nuestros instrumentos o procesos de medida, sino que es una cualidad innata de la materia, debido a la dualidad onda-partícula del mundo subatómico.

¿Cómo es esto? Veréis, cuando descendemos hasta el mundo subatómico, las cosas son muy diferentes de lo que la experiencia cotidiana nos tiene acostumbrados. Cuando nos explican que un átomo está formado por un núcleo de protones y neutrones, con electrones dando vueltas alrededor, inmediatamente pensamos en pequeñas bolitas apelotonadas, con otras pequeñas bolitas orbitando alrededor en trayectorias bien definidas. Pero la realidad es muy diferente. Las partículas subatómicas no son partículas tal y como las entendemos normalmente, sino que son una «mezcla» de onda y partícula. No son ni ondas ni partículas, sino ambas cosas a la vez. Se comportan como ondas y como partículas, y tienen cualidades de ambas. Así, los electrones tienen frecuencia y longitud de onda, y las ondas electromagnéticas están formadas por partículas llamadas fotones. En nuestra mente, podemos llegar a imaginar una «bolita», moviéndose siguiendo una trayectoria senoidal, pero seguiremos estando alejados de la compleja realidad.

Bueno, vale, pero ¿qué tiene que ver esto con el Principio de Indeterminación? Bien, para entenderlo un poco vamos a utilizar la abstracción de la bolita moviéndose de forma ondulatoria. Así que imaginemos nuestra pequeña bolita, siguiendo esa trayectoria senoidal, donde la amplitud de la onda es bastante mayor que el tamaño de nuestra bolita. ¿Qué ocurriría si observásemos la bolita durante un periodo de tiempo muy inferior a un ciclo completo? Pues que la bolita se habría movido poco, y tendríamos bastante idea de dónde está, Sin embargo, al haberla pillado en medio de un ciclo, no podemos precisar demasiado hacia dónde va la onda. ¿Por qué? Bueno, imaginemos que la observamos cuando está en una cresta o en un valle. Es fácil ver que la dirección de la onda senoidal coincide con la trayectoria de la partícula en ese momento. Pero ¿Y si la pillamos cuando está subiendo o bajando? En este caso, la dirección de la onda no coincidirá con la de la partícula. Si no sabemos en qué momento hemos observado la partícula, deberemos añadir un margen de error considerable en nuestra medición de la dirección.

Si observamos nuestra bolita durante un periodo de tiempo superior a un ciclo, no tendremos problemas en averiguar cuál es la dirección de la onda. Sin embargo, nuestra bolita se ha movido mucho, y no podemos determinar exactamente dónde estaba en el momento de la medición. Es más, es que ni siquiera tiene mucho sentido plantearselo, puesto que sabemos que la bolita ha cambiado de posición durante la observación.

Insisto en que este pequeño experimento mental es sólo una forma de intentar comprender el Principio de Indeterminación, de forma sencilla. No intentéis extraer otras conclusiones de él. La realidad de la mecánica cuántica es mucho más compleja.

Otra forma de entender el Principio de Indeterminación, y además con experimentos prácticos (si tenéis altavoces), nos la dio hace tiempo Hairanakh en su blog, en tres entregas: El principio de incertidumbre en la música, El experimento de los dos tonos, y El principio de incertidumbre en matemáticas (bueno, en realidad son cuatro, pero la primera es muy introductoria).

Resumiendo, el Principio de Incertidumbre no tiene nada que ver con el «efecto observador». Aun en el caso de que tengamos instrumentos de medida que no interfieran en absoluto, y de precisión infinita, nuestra medición tendría una precisión limitada debido a la propia naturaleza de lo que estamos midiendo.

La superfuerza de Superman y otros superhéroes

Unas cuantas entradas atrás, al escribir sobre la escena del helicóptero en la peli Superman, alguien comentó que no se podría sujetar el vehículo de esa manera. Ciertamente, en películas, series de TV o cómics, donde aparecen seres con cualquier tipo de superfuerza, es habitual verlos levantando un objeto extraordinariamente pesado, por un extremo minúsculo. A menos que el objeto sea extremadamente duro y resistente, se deformaría o rompería por su propio peso. Veamos algunos ejemplos.

En la serie de televisión Smallville, que narra las aventuras de Clark Kent antes de mudarse a Metropolis y enfundarse un traje ajustado, vemos a nuestro héroe en uno de los episodios, levantar el tractor o la furgoneta (no recuerdo bien) de papá Kent. Y al hacerlo, lo sujeta por un extremo, casi podría decirse que por uno de los paragolpes, y de forma horizontal al suelo. Bien, al levantar un vehículo de esa forma, uno tiene que hacer una fuerza inmensa, muy superior al peso del mismo.

¿Por qué? Bueno, en el cole nos enseñaron la famosa Ley de Oro de la Palanca: «potencia por brazo de potencia, igual a resistencia por brazo de resistencia». Esto que nos hacían memorizar y canturrear, quiere decir que si tenemos una palanca, la fuerza necesaria para levantar un peso, es igual al peso multiplicado por la distancia de su punto de aplicación al punto de apoyo, y dividido entre la distancia de nuestro punto de aplicación (el de la fuerza ejercida) al punto de apoyo. En el caso de un coche, furgoneta o similar, la palanca es el propio vehículo. El punto de aplicación del peso del mismo estaría en su centro de gravedad, que podemos suponer más o menos en el centro, tirando hacia el motor. El punto de aplicación de nuestra fuerza sería el lugar donde ponemos los dedos. ¿Y el punto de apoyo? Pues también en los dedos. Tened en cuenta que para sujetar algo en esa posición, utilizamos nuestras manos como pinzas, con dedos por encima y por debajo. No importa cuáles consideremos el punto de aplicación de la fuerza, y cuáles el punto de apoyo. Lo importante es ver que estos dos puntos estan muy cerca entre sí, y muy alejados del punto de aplicación del peso (el centro de gravedad). Así que para sujetar un vehículo en esa posición, hay que ejercer una fuerza varias veces superior a la del mismo. Y vale, la fuerza no es problema para nuestro joven Superman, pero sí para la estructura metálica del coche. Si intentáramos hacer eso (tal vez con un brazo mecánico, ya que no hemos nacido en Kripton), nos quedaríamos con el paragolpes o un trozo de chapa en la mano, y el resto del coche en el suelo.

Más o menos lo mismo sucede en Superman III. Al principio de la peli, para sofocar un incendio en una planta química, nuestro héroe vuela hasta un lago, congela su superficie mediante su superaliento, y ni corto ni perezoso, agarra la superficie helada desde la orilla, y se la lleva volando hasta el incendio. Nuevamente, al intentar levantar toda la superficie helada, tendría que haberse quebrado y quedarse con un trozo en la mano. Podemos imaginar un experimento similar, intentando sujetar una pizza bien horneada (para que esté dura) por el borde. Muy muy por el borde. Se nos desprenderá el trozito por donde estemos sujentándola, y caerá al suelo (o sobre el plato que cuidadósamente habremos colocado debajo, para poder comérnosla después del experimento).

Hay que destacar que en algunos casos, los guionistas desarrollan soluciones imaginativas para explicar estas imposibilidades. Así, cuando John Byrne dibujaba y guionizaba de Los 4 Fantásticos (allá por principios de los 80), en uno de los números se enfrentaban a Gladiador (un personaje inspirado en Superman, y que tiene más o menos los mismos poderes), y éste levantaba con las manos el Edificio Baxter (edificio de 35 plantas, sede de los 4F). Como Mr. Fantástico es muy listo, en seguida se dio cuenta que era imposible, que el edificio debía colapsarse debido a su propio peso, y dedujo que los poderes de Gladiador eran de naturaleza mental. Su superfuerza no era en realidad tal, sino una especie de «telequinesis táctil», que le permitía mover objetos con la mente al tocarlos.

La misma explicación dio a los poderes de Superman cuando se hizo cargo de su colección (segunda mitad de los 80), aunque de forma más sutil e indirecta, mediante reflexiones del propio personaje (creo que no se llegaba a asegurarlo, sino sólo a sospecharlo). Pero claro, esto no puede aplicarse a muchos otros, como Hulk.

No puedo terminar sin comentar la escena del avión en Superman Returns, ya que tiene sus aciertos y sus fallos. Recordemos un poco: un avión lleno de periodistas, incluida Lois Lane, cae sin control desde el cielo. Superman va raudo y veloz a salvar el día, y lo sujeta por un ala. Pero ¡ops! un ala sola no puede soportar todo el peso del avión, así que se rompe, y sigue cayendo. Tras unas escenas de tensión, en último momento, empuja por el morro y lo detiene casi a ras del suelo, sujetándolo de forma vertical. Durante unos segundos vemos como el fuselaje cruje y se deforma, y Superman suda un poco ante la posibilidad de que el aparato se rompa. Finalmente, lo deposita en el suelo. Bien, el que el ala se rompa y el fuselaje se deforme, es un punto a favor. Un avión no esta diseñado para ser sustentado sólo por un ala, o apoyado sobre el morro, así que es de esperar que el aparato se escacharre un poco. Lástima que al final, cuando lo deposita de forma horizontal en el suelo, lo siga sujetando por el morro. Se tendría que haber partido. Y las escenas anteriores, descartan la «telequinesis táctil».

Superman al rescate

Hace poco pusieron en la tele una película, que ya es un clásico: Superman. Como sabéis, cuando hablo aquí de superhéroes, no es para buscar explicación a sus superpoderes, sino por algo más mundano. En esta ocasión, recordemos la famosa escena del helicóptero sobre el Daily Planet. Hay un accidente, el helicóptero queda colgando en precario equilibrio en la azotea del edificio, y Lois Lane cae de la cabina, sujentándose como buenamente puede, al cinturón. Finalmente no puede aguantar más, y se suelta. Cae varios segundos, recorriendo una altura de varias plantas, hasta que Superman llega volando y la sujeta. El problema de esta secuencia es que Superman viene a toda velocidad desde el suelo, subiendo. Y no parece aminorar cuando agarra a Lois.

En una caída, o en un choque, la muerte se produce por la brusca deceleración a la que es sometido nuestro cuerpo. Recordemos un momento las clases de física del cole: la aceleración es la variación de velocidad por unidad de tiempo. Bien, en el impacto con el suelo tras una caída, nuestro cuerpo decelera desde la velocidad que tuviese, hasta cero, en muy muy poco tiempo, es decir, una aceleración (deceleración en este caso) enorme. Y como la fuerza es el producto de masa por aceleración, quiere decir que sobre nuestro cuerpo se ejerce una fuerza enorme. El efecto sería el mismo que si una pared nos golpeara a la misma velocidad de la caída. O si un coche (rígido) nos embistiera a la misma velocidad (digo lo de rígido, porque en general, un coche es más deformable que el asfalto).

En la peli, como he dicho, vemos a Lois caer varios segundos, y recorrer una altura de varios pisos. Cuando Superman la alcanza, Lois ya debía ir a una velocidad que supondría su muerte en caso de una colisión. Pero además, Superman viajaba en sentido opuesto, también a bastante velocidad. En condiciones normales (y recordar que el cuerpo del «Hombre de Acero» no debe ser muy blandito), la habría hecho papilla.

Este tipo de secuencia se repite con frecuencia en las películas (por ejemplo, en Superman Returns, hay una muy parecida), sustituyendo a nuestro kriptoniano héroe por algún otro tipo de «elemento salvador». Pero a menos que la persona que caiga vea reducida su velocidad de forma no tan brusca (cayendo sobre algo blando o elástico, por ejemplo), no evitamos el daño. El asfalto no es especialmente letal, sino simplemente duro. Y si caemos sobre algo igualmente duro, nos haremos el mismo daño. Y si encima, ese algo, no está quieto, sino que se tiene velocidad propia, y en sentido contrario, pues todavía nos hacemos mucho más daño.

Asteroide: calculando trayectorias

Hace unas semanas, pusieron en la tele otra de esas cutrepelículas catastróficas que tanto me gusta ver: Asteroide. De todas las burradas que se vieron, de momento me quedo con una: durante varias veces a lo largo de la película, los científicos que siguen la trayectoria del pedrusco dicen que «la órbita no se estabiliza», que está influyendo en ella el Sol, la Luna, la Tierra, en fin, muchas cosas, y que no pueden predecir hacia dónde irá.

Bueno, un cuerpo que se mueva por el Sistema Solar, ciertamente está siendo afectado por la gravedad de muchos otros cuerpos. Pero no es tan impredecible como se nos sugiere en la película (y pese a todo, saben desde muy pronto que va a chocar con la Tierra). La famosa Ley de Gravitación Universal fue enunciada por Isaac Newton allá por 1685. Y sólo necesitamos saber eso, las posiciones y masas de los planetas y demás objetos, y muchas matemáticas. ¿Muchas matemáticas? Entonces sí es complicado ¿no? Bueno, para un astrónomo, no debería serlo.

Aunque con más de dos cuerpos en juego, ya no es posible calcular de forma analítica la trayectoria de los mismos (como expliqué hace tiempo, al escribir sobre el problema de los tres cuerpos), sí se puede hacer a base de muchas observaciones y análisis numérico. Ya a mediados del siglo XIX, se tenían suficientes medios para calcular con gran precisión la trayectoria de un planeta, teniendo en cuenta no sólo el Sol, sino el resto de planetas. Fue así como se descubrió que la órbita observada de Urano no coincidía con la calculada, y se dedujo la existencia de un planeta más lejano. Los cálculos fueron tan precisos, que se descubrió dicho planeta (estamos hablando de Neptuno, claro), a menos de un grado de la posición calculada.

También fue así como se descubrió que la precesión de la órbita de Mercurio observada no coincidía con la calculada. ¿El qué? Veamos, los planetas describen órbitas en torno al Sol, y estas órbitas tienen forma de elipse con el Sol en uno de sus focos, de forma que tenemos un punto de máximo acercamiento al Sol, llamado perihelio, y otro de máximo alejamiento, llamado afelio. Pero estas elipses no están fijas, sino que poco a poco se van desplazando, «girando» también alrededor del Sol, de forma que los afelios y perihelios se desplazan poco a poco. Este desplazamiento se denomina precesión. Según la Ley de Gravitación Universal de Newton, es debido a las perturbaciones de los demás planetas. Es decir, en un sistema con una estrella y un único planeta, no existiría esta precesión.

La precesión del perihelio de Mercurio es de algo más de 1,5º por siglo (concretamente, 5.600 segundos de arco, es decir, 1º 33' 20''). Sin embargo, la precesión calculada utilizando las leyes de Newton y los datos disponibles, diferían en 43 segundos de arco con la observada. El margen de error debido a la precisión de la época era bastante menor, por lo que no se trataba de errores de cálculo o de observación. Así que si la perturbación de la órbita de Urano era debida a Neptuno, la de Mercurio también debía ser provocada por planeta. Estaría más cerca del Sol que Mercurio, y se le bautizó como Vulcano (no, no es el de Star Trek). Luego resultó que no había ningún planeta más, y la precesión observada se puede explicar con la Relatividad General, de Einstein (de hecho, fue una de las pruebas a la que se sometió).

Pero lo importante de estas dos historias es comprobar que ya a mediadios del siglo XIX, se podían calcular los movimientos de cuerpos celestes con muchísima precisión, incluyendo en dichos cálculos las perturbaciones debidas a los planetas. Entonces ¿qué clase de científicos eran los de la peli, que ni con potentes ordenadores son capaces de calcular las perturbaciones de la Tierra y la Luna, en la trayectoria del asteroide?

Cero Absoluto (y 3)

Hoy terminaré con la película Cero Absoluto, comentando algunos detalles más, relacionados con el campo magnético terrestre.

Comencemos: más o menos al principio, los protagonistas estudian muestras de la cueva esa de la Antártida (que menciono en el primer artículo) para averiguar cómo era el campo magnético en esa época. Bueno, aquí hay un poco de buena ciencia (que luego estropean). El campo magnético terrestre ha sufrido importantes variaciones a través de la historia de nuestro planeta. ¿Cómo lo podemos saberlo? Bueno, existen minerales con propiedades magnéticas interesantes (como el hierro). Esto es porque los átomos que lo componen se comportan como pequeños imanes (dipolos magnéticos). En presencia de un campo magnético exterior, estos dipolos magnéticos tienden a alinearse con él. El campo magnético terrestre no es una excepción, y así es como funcionan las brújulas, pero normalmente es demasiado débil como para cambiar la alineación de dipolos en un mineral a temperatura ambiente, o hacerlo rotar (en el caso de la brújula, la aguja es muy ligera, y está montada de forma que puede girar libremente). La cosa cambia a altas temperaturas. Cuando el magma del interior de nuestro planeta aflora a la superficie (como en los bordes de las placas tectónicas), los dipolos magnéticos se alinean fácilmente con el campo magnético terrestre. Una vez se enfría, esta alineación permanece, aunque el campo magnético terrestre cambie. Así, si estudiamos el magnetismo de una roca y conocemos en qué época se formó, podemos saber cómo era el campo magnético terrestre en aquella época.

Sigamos. En la película, los protas descubren que, según las muestras que tomaron, en esa época no había campo magnético, y se asombran enormemente, ya que dicen que eso es imposible. Bueno, pues no es imposible. El campo magnético terrestre, como he dicho, ha sufrido importantes variaciones a lo largo de su existencia. Estas variaciones incluyen inversiones polares (es decir, los polos norte y sur se intercambian), y fuertes aumentos y descensos en su intensidad, llegando incluso a casi desaparecer durante algunas temporadas. Así que el descubrir una desaparición del campo magnético terrestre en una época determinada, no debería causar ese asombro.

Este dato es además incoherente con el propio argumento. El prota deduce que en esa época, el clima estaba «invertido» como al final de la peli (es decir, clima cálido en los polos, y frío en los trópicos), pero la explicación que dan para eso es que el campo «rota» 90º (como ya comenté), de forma que los polos se trasladan al ecuador. Entonces, si la situación era la misma, la roca examinada debería mostrar precisamente eso: que había campo magnético, y los polos estaban en el ecuador.

Otra cosa que llama enormemente la atención es que tras examinar esa roca, el científico protagonista descubre que va a ocurrir lo mismo en muy poco tiempo. Incluso da un plazo de cuatro horas, iniciando una cuenta atrás tan exacta, que llega a cero en el momento justo en el que se alcanza la temperatura de 0 K. Y yo me pregunto ¿cómo? ¿Cómo únicamente a partir de una única muestra de hace mucho tiempo, el tío puede extrapolar perfectamente el comportamiento del campo magnético y dar una previsión tan exacta? Porque a día de hoy, no se ha encontrado ningún tipo de patrón entre las variaciones del campo magnético. Las inversiones parecen ocurrir al azar, con periodos que oscilan entre unos miles de años, y unos millones. Es como si alguien averigua que en una fecha concreta llovió, y entonces deduce que mañana lloverá también.

Es interesante también hacer notar que no se tiene constancia de que nunca haya ocurrido algo similar a un desplazamiento de 90º de los polos. ¿No? ¿Entonces cómo se invierten? Bueno, cuando a uno le mencionan lo de la inversión de los polos, supongo que es fácil imaginarse una especie de iman gigante dentro de la Tierra, que de vez en cuando se da la vuelta, girando 180º. Así que, en algun momento debe pasar por ese «medio camino» que supone tener los polos en el ecuador. Pero la realidad es muy diferente. No se sabe con certeza el mecanismo exacto que genera nuestro campo magnético planetario, pero sí se tiene bastante seguridad de que está producido por las corrientes internas del nucleo (que está formado en un 80% por hierro), y éstas son consecuencia, en parte, de la rotación terrestre. Cuando se produce una inversión, no es que el núcleo gire en sentido contrario (bien porque su eje haya rotado, bien porque el núcleo se haya detenido y comenzado a girar el revés), sino que las corrientes de magma se alteran de tal manera que las líneas del campo magnético adquieren un comportamiento caótico, y los polos terminan por invertirse. Como he dicho, no se sabe muy bien por qué, pero existen modelos y simulaciones informáticas que muestran que en determinadas circunstancias, el campo puede disminuir, invertirse, y aumentar nuevamente, manteniendo el mismo sentido de giro global.

Terminaré con un detalle que me hizo especial gracia. Cuando los protas están en el edificio ese con un aislante térmico tan fantástico, el grupo se ve obligaso a separarse. Unos se quedan cerca de una habitación con mejor aislamiento (y en la que se refugian cuando se llega a los 0 K), y otros se van a buscar... bueno, no recuerdo. Lo importante es que el científico es de los que se van, y les deja a los que se quedan una brújula. Al hacerlo les explica que cuando la aguja de la misma llegue a un punto (el este o el oeste), deben meterse en la habitación sin esperar a nadie (es el momento en el que el giro de 90º se completa, y se alcanza el cero absoluto). Pero simplemente les da una brújula y ninguna otra referencia. Veamos, una brújula consiste básicamente en una aguja imantada que se puede mover libremente, dentro de un soporte que tiene una circunferencia con una escala de grados (de circunferencia, claro), indicando diversos puntos cardinales. La aguja simplemente se alinea con el campo magnético, en la dirección norte-sur. Para utilizar la brújula, hay que girar el soporte de la aguja, hasta que el punto marcado como norte, coincida con la mitad de la aguja que apunta el norte (que debería estar diferenciada de la otra mitad, para distinguir el norte del sur). Así que de nada sirve que te digan que cuando la aguja llegue a la marca del este o el oeste, hay que refugiarse, porque dependiendo de cómo cojas la brújula, la circunferencia graduada estará orientada de forma diferente. Sin una referencia externa para saber donde está el norte geográfico, no podemos saber la desviación del campo magnético

De hecho, puesto que los polos magnéticos no coinciden con los geográficos, en las regiones polares hay una diferencia apreciable entre la dirección que indica la aguja, y el polo geográfico. Es lo que se conoce como declinación magnética (que también puede ocurrir por la presencia de campos magnéticos locales, naturales o artificiales, o la interferencia de minerales ferromagnéticos próximos). En estas zonas, hay que conocer de antemano dicha desviación, y orientar la circunferencia graduada de acuerdo con ella, de forma que en vez de hacer coincider la aguja con el norte, hay que situarla con la misma desviación en grados que la declinación magnética.

Cero Absoluto (2)

Como lo prometido es deuda, hoy seguiré con la película Cero Absoluto, comentando sobre todo lo que se dice sobre el campo magnético terrestre y el clima. Para los despistados, recordaré el argumento: un científico descubre que el campo magnético es la causa de las glaciaciones, y que va a cambiar, provocando que se alcance el cero absoluto en latitudes bajas, y climas tropicales en latitudes altas. El cambio del campo magnético se produce de la siguiente forma: los polos magnéticos se desplazan hasta situarse en el ecuador. Es decir, si imaginamos un enorme iman en forma de barra, sería como si rotase más o menos 90º y se pusiese «de través» (lo del más o menos es porque el «eje magnético» no está alineado con el eje de rotación.

Bueno, aquí hay un gigantesco error de concepto. En la peli se da a enteder que el campo magnético es la causa de la diferencia climática según la latitud. Así, cerca de los polos magnéticos hace frío, y lejos de ellos hace calor. Y eso es un disparate. La variación climática con la latitud no tiene absolutamente nada que ver con el campo magnético terrestre, sino con la geometría de nuestro planeta, y con el sol. Veamos, debido a la forma casi esférica de la Tierra (y de cualquier paneta), el sol incide de forma más o menos perpendicular en las regiones próximas al ecuador. A medida que nos alejamos de él, y nos acercamos a los polos, los rayos inciden de forma cada vez más oblicua y la energía debe repartirse por una superficie mayor, calentando así en menor medida (podemos experimentar con una linterna sobre una pared, y ver como la mancha de luz aumenta cuanto más oblicuo esté el haz). Además, desde nuestro punto de vista, el sol alcanza mayores elevaciones sobre el horizonte cuanto más cerca estemos del ecuador. Y cuánto más cerca esté el sol del horizonte, más cantidad de atmósfera debe atravesar su radiación hasta llegar a nosotros, y por tanto, también calienta menos.

Hay otro detalle fundamental que influye enormente en el clima: la inclinación del eje de rotación terrestre. Si el eje terrestre fuera perpendicular al plano de la órbita, el sol incidiría siempre de forma perpendicular en el ecuador, en el momento del mediodía solar. Pero nuestro eje de rotación forma un ángulo de 23° 26′ 21″ con la perpendicular, por lo que dependiendo de en qué punto de la órbita nos encontremos, el sol incidirá de forma diferente. Así, únicamente en los equinoccios el sol incide de forma perpendicular sobre el ecuador (en el momento del mediodía solar). El resto del año, la latitud donde el sol incide perpendicularmente al mediodía, va cambiando, llegando a su máximo alejamiento del ecuador en los solsticios, y lógicamente ocurre a la latitud de 23° 26′ 21″ (norte o sur, dependiendo del soslticio). Y justo en esta latitud es donde se encuentran los trópicos. Y es que la latitud de los trópicos no es un valor elegido al azar, sino que corresponde con la inclinación del eje terrestre.

Lo mismo sucede con los círculos polares. Estos se encuentran a 66° 33′ 39″ de latitud, que es precisamente el resultado de restar a 90º, la inclinación del eje terrestre. Es evidente ver que durante los solsticios, el sol incidirá de forma tangencial (es decir, lo vemos en el horizonte) justo en esa latitud. En el solsticio de verano, el sol nunca se llegará a ocultar (el famoso sol de medianoche), y en el de invierno, nunca llegará a salir. En los equinoccios, sin embargo, el sol incide de forma tangencial únicamente en los polos.

Por si fuera poco, además de la burrada de relacionar los tipos de clima con el campo magnético, la película ni siquiera es consistente consigo misma. Si el «eje magnético» gira 90º y se alinea con el ecuador, y si cerca de los polos magnéticos hace frío, y lejos de ellos calor; habrá lugares en el ecuador donde siga haciendo calor. Veamos, imaginemos que los polos magnéticos se desplazan a 0º de laltitud, y uno está a 90º de longitud oeste, y el otro a 90º este. Según esa idea (absurda), a 0º y º180º de longitud, debería seguir habiendo un clima cálido. Sin embargo, en la peli, toda la franja entre 30º N y 30º S se congela.

Otra idea totalmente errónea es el concepto de tienen de glaciación. Una glaciación es un enfriamiento global del planeta, en el que los hielos avanzan desde los polos hacia latitudes más bajas. Todo el planeta se enfría. En la peli, sin embargo, lo que describen es una «inversión climática», de forma que mientras las latitudes bajas se enfrían, los polos se calientan. De hecho, al final de la peli, aparece un noticiario en el que la presentadora dice que están emitiendo desde "el Trópico de Nueva York". Sin comentarios.

Bueno, podría comentar más cosas, pero creo que la burrada de hoy empequeñece cualquier otro error.

Cero Absoluto (1)

Tras unas merecidas (y cortas) vacaciones, aquí estoy de nuevo. Y el irme a pasarlas a la costa levantina, me ha permitido ver una película de esas a las que podría dedicar cientos de artículos. Se trata de Cero Absoluto, una cutrepelícula canadiense que pusieron hace un par de semanas en Canal 9, y que en su día pretendió aprovechar el tirón de El Día de Mañana, llegando incluso a plagiar la escena inicial. Como no es muy conocida, os comento el argumento: un científico, que previamente había logrado alcanzar en laboratorio la temperatura del cero absoluto, descubre en la Antártida unos restos arqueológicos (cuevas con restos humanos y pinturas rupestres) y concluye que la periódica inversión del campo magnético terrestre es la causa de las glaciaciones. Al investigar más, ya en Miami, descubre que en pocas horas el campo magnético terrestre cambiará su orientación, provocando una inversión climática en la que las latitudes altas tendrán climas calidos, y en las tropicales se llegará al cero absoluto. Como es típico en estas pelis, nadie le cree (salvo unos amigos), hasta que se desencadena la catástrofe.

Bueno, ¿por dónde empezar? supongo que lo primero es hablar del cero absoluto y de su imposibilidad de alcanzarlo. El cero absoluto es la mínima temperatura teórica posible, y corresponde a –273,15 ºC, o a 0 K. Precisamente por ser la mínima temperatura, es el origen de la escala Kelvin. No solamente no puede existir ningún cuerpo por debajo de dicha temperatura, sino que tampoco puede alcanzarse. Y no es por cuestiones técnicas, sino que es un límite físico, como la velocidad de la luz. Es una consecuencia de la Tercera Ley de la Termodinámica. Y «con la Termodinámica hemos topado». Recordaréis que en alguna ocasión he mencionado que las Leyes de la Termodinámica son las leyes más «leyes» de toda la física.

Uno puede intentar aproximarse lo más posible a la temperatura de 0 K, pero nunca alcanzarla. En la peli, sin embargo, se alcanza dicha temperatura en dos ocasiones. La primera en un laboratorio, al principio, para que veamos que el prota es muy listo. Y la segunda, en el climax de la peli, que ocurre de forma natural debido a las condiciones climáticas, y en toda la franja comprendida entre los 30º N y 30º S de latitud, en todo el planeta.

Por si eso tuviera poco delito, el descenso de temperatura desde, pongamos 35 ºC, a los –273,15 ºC, se produce en menos de 4 horas (que es el plazo que da el científico, cuando descubre lo que va a pasar). No voy a calcular cifras, pero intentad imaginar la enorme cantidad de calor que debe «evacuarse» en tan corto periodo de tiempo. Recordad que el calor es directamente proporcional a la temperatura y a la masa.

Otra cosa muy importante que los guionistas olvidan es que el aire se puede licuar y congelar, como cualquier gas. Mientras ocurre el brusco descenso de temperatura, los protas se refugian en un edificio (que vaya buen aislamiento que tiene, para que puedan sobrevivir cuando la temperatura exterior desciende tanto). Cerca del final, se ven obligados a salir al exterior para sortear un obstáculo y luego vuelven a entrar (protegidos por unos estupendos trajes, con un aislamiento térmico tan bueno como el del edificio). Cuando esto ocurre, nos muestran en repetidas ocasiones (para darle emoción a la cosa), una pantalla con la cuenta atrás hasta el 0 K, un diagrama con la orientación del campo magnético terrestre (consistente en una especie de brújula) y la temperatura en kelvins, grados Celsius y grados Fahrenheit. Se puede ver perfectamente como la temperatura es de unos pocos kelvins (menos de 20, creo recordar) y descendiendo. Pues bien, el nitrógeno (que supone un 78% de nuestra atmósfera) se licua a 77,35 K y se congela a 63,14 K. El oxígeno (un 21%) se licua a 90,18 K y se congela a 50,35 K. Es decir, por debajo de 50 K, nuestra atmósfera (al menos, el 99%) debería estar en estado sólido. Sin embargo, los personajes se mueven en una atmósfera perfectamente gaseosa. Incluso cuando se llega finalmente a 0 K, se nos muestra una panorámica de la ciudad y la playa cubiertas de hielo, con viento soplando y desplazando los copos de nieve que caen.

Es más, cuando eso sucede, dos de los personajes corren desesperadamente hacia un laboratorio especial (que debe tener aún mejor aislamiento) para protegerse, mientras detrás de ellos «el frío avanza», en una secuencia también plagiada de El Día de Mañana. Uno de ellos, se detiene a recojer unos papeles de contratos millonarios que se le han caído, y claro, el frío le alcanza, congelándose instantáneamente (en toda peli de este tipo, tiene que haber un personaje antipático y ambicioso, que muere víctima de su propia ambición), mientras el científico listo y protagonista, lo contempla impotente a pocos metros de distancia. Pero el pasillo sigue conteniendo aire gaseoso. Y además, el prota no parece tener frio, pese a que a poca distancia la temperatura ambiental es de 0 K.

Bueno, de momento, creo que está bien. En el siguiente artículo ¿qué tiene que ver el campo magnético con la diferencia de clima según la latitud?.

El Sexto Día y su «turbohelicóptero»

Hace varios días (creo que semanas), pusieron en la tele (por enésima vez) la película El Sexto Día, protagonizada por Arnold Schwarzenegger. Ya la había visto hace mucho, pero recordé una escena cerca del final, que en su día anoté mentalmente, y debió quedar enterrada bajo otras «notas mentales».

Antes de ponerme con la escena en cuestión, es necesario explicar cómo funciona un helicóptero futurista que aparece en la peli, llamado Whispercraft. En la peli, estos helicópteros funcionan normalmente como los actuales, salvo que las dos palas del rotor principal son bastante más anchas de lo habitual. Junto al rotor, hay dos motores a reacción, como los de los aviones. El aparato, es capaz entonces de entrar en un «modo avión», en el que los reactores se encienden y las palas dejan de rotar, desplazándose un poco hacia detrás y actuando como alas.

Bien, una vez teniendo claro cómo funciona, vayamos con la escena: Hacia el final de la peli, el amigo Arnold está en uno de esos Whispercrafts, en modo helicóptero, dirigiéndose a toda velocidad hacia un rascacielos. Para intentar evitar el choque, levanta el morro del aparato y se eleva, pero no lo suficiente para sortear el edificio, que se acerca cada vez más. Al levantarlo más, se dispara una alarma avisando que el helicóptero está entrando en pérdida (con el inevitable luminoso que reza «stall»). Así que el Schwarzenegger desiste, y mientras se acerca cada vez más al edificio, en