Ant-Man: Jugando con la distancia interatómica

Me he decidido. Voy a sacar a MalaCiencia de su letargo, aunque no sé por cuánto tiempo. Y lo haré comenzando con la película Ant-Man, basada en el superhéroe de Marvel del mismo nombre. Aviso que hacia la mitad del post, contaré cosas del final. Pero no os preocupéis, cuando eso ocurra, lo indicaré claramente.

La premisa de la peli es que allá por los 80, el Dr. Hank Pym, descubre una manera de reducir el tamaño de los objetos. Ni corto ni perezoso, fabrica sendos trajes que le permiten encogerse a él y a su compañera, Janet van Dyne, adoptando las identidades del Hombre Hormiga y la Avispa, dedicándose desfacer entuertos. Ya en el presente, el Dr. Pym el ofrece a Scott Lang la posibilidad de sucederle como Hombre Hormiga. Más adelante, además del traje, el protagonista utiliza unos pequeños discos para cambiar el tamaño de otros objetos. Además, no sólo puede reducirlos, sino también hacerlos muy grandes.

La explicación que dan en la ficción para este fenómeno, es que se reduce el espacio entre átomos. De esa forma, el personaje tiene más densidad y más fuerza. Aunque no se dice explícitamente, hay que suponer que el proceso inverso, aumentar de tamaño un objeto, se produce aumentando el espacio entre sus átomos.

Bueno, hay una cosa que es cierta. Si el proceso de reducción se hace disminuyendo el espacio entre átomos, y sólo eso, la densidad aumenta. La masa de todo objeto es la suma de las masas de las partículas que lo componen. Si el número de átomos del cuerpo sigue siendo el mismo, y los átomos en sí no cambian (recordad: lo que varía es solamente la distancia entre ellos), entonces la masa del objeto reducido sigue siendo la misma que antes. Puesto que su volumen ha disminuido, y la densidad es el cociente entre masa y volumen, la densidad aumentará.

Pero ahí acaba la buena ciencia. Vamos a olvidarnos de las consecuencias que tendría para la estructura y propiedades de un cuerpo, el variar la distancia interatómica, o incluso cómo hacerlo, y centrémonos únicamente en lo que ocurriría si reducimos un hombre adulto hasta el tamaño de una hormiga, pero manteniendo su masa.

A lo largo de la película, el prota utiliza una hormiga voladora, a la que llama Anthony, a modo de montura, para poder desplazarse de un lado a otro con rapidez. Pero es imposible que una hormiga pueda soportar el peso de un hombre adulto. Y no digamos volar con él encima. La misma consideración debemos tener con la escena en la que Ant-Man corre sobre el cañón de una pistola, empuñada por uno de los sicarios del villano. Por muy fuerte que sea el tipo, sería muy difíl mantener la pistola levantada con el peso del prota sobre ella. Yo diría incluso que es imposible, dado que Ant-Man comienza a correr desde el extremo del cañón, y el sicario sujeta la pistola por la empuñadura (como es lógico). Aunque pueda sostener, digamos, unos 70 kg con los brazos extendidos, no podría hacerlo contra la palanca que supone la propia pistola (el cañón es más largo que la empuñadura).

Alerta spoiler. A partir de aquí, asumiré que habéis visto la película, y hablaré de elementos de la trama que pueden destripar el final.

El razonamiento anterior también se aplica al resto de objetos miniaturizados. Al final de la película, por ejemplo, se revela que el pequeño tanque de juguete que usaba Hank Pym como llavero, era en realidad un tanque de verdad. Difícilmente podría cargar encima un llavero de varias toneladas. Mucho menos alguien de tan avanzada edad.

Otra consideración a tener en cuenta es el hecho de que Ant-Man pueda caminar por superficies blandas, sin hundirse. Toda la fuerza de su peso estaría concentrada en la pequeñísima superficie de las plantas de sus diminutos pies. La presión (fuerza dividida entre superficie) que tendrían que soportar las superficies sería enorme. Pensad, por ejemplo, que os fabricáis unos pequeños zancos, cuya superficie de apoyo fuera de escasos milímetros cuadrados, y camináis con ellos. Los zancos se hundirían en la tierra, y harían marcas importantes en superficies como la madera.

Podemos hacer el razonamiento inverso, con los objetos pequeños que aumentan de tamaño. En la batalla final contra el supervillano (escena obligada de toda peli de superhéroes que se precie), el prota aumenta de tamaño un pequeño tren de juguete (concretamente, de la serie Thomas y sus amigos), de forma que se hace tan grande como una locomotora de verdad, rompe la pared de la casa y cae sobre un coche, aplastándolo. Bueno, por muy grande que sea, el juguete sigue teniendo una pequeña masa (no he pesado un trenecito de esos, pero es de suponer que su masa es de menos de 1kg), y por tanto no podría aplastar el coche (suponiendo que pudiera mantenerse como cuerpo sólido).

Finalmente, hay una última consideración que contradice totalmente el mecanismo establecido para reducir el tamaño de los objetos. El Dr. Hank Pym explica que el traje tiene un mecanismo de seguridad que impide reducirse hasta el nivel subatómico, dado que no habría vuelta atrás. Como era esperable gracias al principio de la pistola de Chejov, al final de la peli el prota no solo se salta esa salvaguarda, sino que va más allá del nivel subatómico (y consigue recuperarse, por supuesto). Bien, si la reducción de tamaño consiste en reducir el espacio interatómico, es imposible llegar a un tamaño subatómico. Un conjunto de átomos (y muy grande, por cierto; preguntadle a Avogadro), no puede ser menor que un átomo. Es completamente imposible.

Fijáos que el problema subyacente es la explicación concreta del mecanismo de reducción y aumento que usan en la peli. Si hubieran optado por un «lo hizo un mago» (en este caso, «lo hizo un genio»), no tendríamos este post.

Los Vengadores: La era de Ultrón. No basta con un guantelete de hierro.

Tras una muy prolongada inactividad (mil disculpas), voy a retomar este vuestro blog. Y para compensar el que las películas que suelo comentar no son precisamente novedades, voy a hacer lo nunca visto: comentar una película que aún no se ha estrenado. «¿Cómo?», os preguntaréis. Pues dado que no tengo una TARDIS ni contactos en la productora, haciendo un poco de trampa: con un trailer. Y sí, ya sé que en un mero trailer puede proporcionarse información muy incompleta, y que un supuesto error luego no lo sea. Pero creo que no es el caso. Ya lo veréis.

Hace poco fue noticia el segundo trailer de nueva película de Marvel, Los Vengadores: La era de Ultrón, y recordé algo que me chocó mucho en el anterior. La versión extendida del primer trailer comienza con los vengadores reunidos, pero de paisano, sin sus llamativos uniformes de trabajo. Thor explica que su martillo Mjolnir sólo puede ser alzado por alguien «digno», y varios de sus compañeros lo intentan (impagable el momento en el que el Capitán America lo mueve una pizca). Tony Stark lo intenta primero «a pelo», luego con el guantelete de su armadura de Iron Man, y finalmente con la ayuda de su amigo James Rhodes que usa el guantelete de su propia armadura (Máquina de Guerra). Por supuesto, no lo consiguen. Podéis ver el trailer completo en YouTube

El motivo es, obviamente, que ninguno de ellos es digno de poseer el poder de Thor, y por eso el Mjolnir no puede ser levantado. Pero aunque la explicación no fuera de tipo mágico, y en realidad el martillo simplemente pesara demasiado, Tony Stark tampoco habría podido levantarlo únicamente con un guante de su armadura.

¿Por qué? Vamos a ver qué fuerzas entran en juego cuando levantamos un objeto que tiene el tamaño adecuado para empuñarse, como un martillo o una botella. La fuerza que aplicamos para vencer la gravedad del objeto a levantar, no es ejercida por los músculos de la mano, sino por los del brazo. Los músculos de nuestra mano ejercen distintas fuerzas para presionar el objeto con nuestros dedos, y generar suficiente fricción para que lo que queremos levantar no se nos escurra. Si no hacemos suficiente fuerza con la mano, el objeto se nos caerá. Pero para levantarlo, la fuerza la hacemos con el brazo. Por tanto, aunque usemos un guantelete que nos permita hacer una presa con la mano de fuerza descomunal, no nos ayudaría en absoluto a levantar un objeto pesado.

Pero hay más. Tampoco serviría usar todo el brazo de la armadura, sin el torso. ¿Por qué? Pues porque una vez el brazo ejerza la fuerza suficiente para vencer la gravedad que sujeta el objeto que deseamos levantar, nuestra espalda, hombros y piernas deben ser capaces de soportar ese peso adicional. Por un lado, los músculos de nuestras piernas y torso deben ajustarse para compensar el desequilibrio introducido. Al añadir un peso adicional en un extremo, el centro de gravedad se desplaza hacia ese lado, y debemos hacer fuerza y cambiar la postura para no caernos. Así, si intentáramos levantar el Mjolnir llevando puesto únicamente uno de los brazos de la armadura de Iron Man, al flexionar el brazo robótico, nos caeríamos hacia el martillo, llevándonos un buen castañazo. O peor aún, podría pasar que el hueso del brazo se nos saliera de su sitio, como explicaba Masamune Shirow en el manga Ghost in the Shell.

Por otro lado, si conseguimos alzar el pesado objeto, los músculos y huesos de nuestro cuerpo, deben ser capaces de soportar dicho peso. Si no, las piernas se nos doblarían, incapaces de mantenerse. O tal vez los músculos de nuestro torso no sean capaces de mantenernos derecho. O peor, se nos rompería alguna vértebra o algún otro hueso, aplastado por el peso.

Así que en realidad, para intentar levantar un objeto muy pesado, hay que ponerse casi toda la armadura, salvo el otro brazo que no vamos a usar, y tal vez, el casco. Por lo que ya puestos, no veo motivo para no enfundarnos la armadura completa. Eso sí. Como he explicado al principio, sólo vale si creemos que el problema está en el peso y se soluciona con mucha fuerza. Y ya sabéis que para levantar el Mjolnir, ése no es el camino. Hay que ser digno.

Piratas del Caribe: Volcando un barco

Me he retrasado más de lo habitual en retomar el blog, pero aquí estamos de vuelta. Y lo haremos con una de las películas de la saga Piratas del Caribe. Concretamente con la tercera: En el fin del mundo. Ah, pero ¿tiene sentido hablar de mala ciencia en una pelicula con elementos sobrenaturales como seres mitológicos, dioses, maldiciones, muertos que vuelven del otro mundo y cosas así? Pues creo que en este caso concreto, sí, ya que hay una curiosa mezcla de buena y mala ciencia.

Veamos la escena. Los protagonistas tras rescatar a Jack Sparrow de una especie de «más allá», deben volver al mundo de los vivos. A partir de una especie de mapa mágico, Jack deduce que el barco en el que viajan, debe estar boca abajo en la puesta de sol, justo cuando se produce el famoso y esquivo rayo verde. Así que incita a la tripulación a recorrer la cubierta de un lateral a otro, haciendo oscilar el barco cada vez más. Cuando Barbosa se da cuenta de lo que pretende, baja a la cubierta inferior y da órdenes para dejar libre los cañones, balas y barriles de pólvora, para que se desplacen con las oscilaciones del barco. Finalmente, el barco vuelca, y al ponerse el sol (con su destello verde), se invierte todo, y se encuentran boca arriba en el mundo de los vivos.

Bueno, vamos a ver cómo funciona la física de un barco en flotación, a medida que desplazamos la carga. Hace tiempo expliqué nociones básicas de flotabilidad de una embarcación, donde vimos que hay que tener en cuenta dos puntos fundamentales. Uno es el centro de gravedad, que es el punto de aplicación de la fuerza de gravedad que empuja el barco hacia abajo. La ubicación de ese punto depende de la geometría del barco y de su distribución del peso. El otro punto es el centro de flotabilidad, que es el punto de aplicación de la fuerza correspondiente al principio de Arquímedes, que empuja el barco hacia arriba. La ubicación de este segundo punto depende únicamente de la geometría de la parte sumergida (es independiente de la distribución del peso).

En una situación normal de equilibrio, ambos puntos están en la misma vertical (idealmente, en algún punto de la línea central del barco). Las fuerzas son iguales, y de sentido opuesto, por lo que el barco permanece estático, en cuanto a flotabilidad se refiere.

Supongamos ahora que toda la tripulación se dirige al lado de babor (izquierda). Al cambiar la distribución del peso, el centro de gravedad se desplazará algo hacia ese mismo lado (hay más peso en ese lado). Como la geometría de la parte sumergida no ha cambiado, el centro de flotabilidad sigue en el mismo sitio. Tenemos ahora dos fuerzas iguales y opuestas, pero cuyos puntos de aplicación ya no están en la misma vertical. Esto es, un par de fuerzas, y produce una aceleración angular en el barco, que lo hace rotar sobre un eje longitudinal. Traducción: el barco se inclina hacia babor. Como el barco se inclina, la geometría de la parte sumergida cambia, y por tanto, el centro de flotabilidad cambia de posición. En un barco bien diseñado (esto es, que no vuelque a la mínima), al sumergirse más el lado de babor, el centro de flotabilidad se desplaza también hacia este lado, disminuyendo el par de fuerzas, hasta volver a encontrarse en la misma vertical que el centro de gravedad, momento en el que desaparece el par.

El barco no se detiene ahí. Ha adquirido un momento angular, por lo que seguirá inclinándose. Pero al hacerlo, el centro de flotabilidad continua desplazándose hacia babor (el centro de gravedad, sigue en el mismo sitio, ya que la tripulación se ha quedado en el borde), introduciendo nuevamente un par de fuerzas, pero esta vez, que se opone a la rotación adquirida. La velocidad angular disminuirá, hasta que el barco deje de inclinarse. Entonces, ese mismo par, hará que el barco comience a enderezarse. El centro de flotabilidad se desplazará ahora hacia estribor, hasta volver a estar en la misma vertical que el centro de gravedad. Nuevamente, la inercia hará que el barco siga enderezándose un poco, produciendo otra vez un par en sentido contrario. Así, el barco oscilará varias veces alrededor de la nueva posición de equilibrio.

Si cuando el barco ha alcanzado su máxima inclinación, la tripulación corre hacia el lado de estribor, el centro de gravedad se desplazará hacia estribor. Además, al estar el barco inclinado hacia babor, el centro de flotabilidad está desplazado hacia babor. La distancia entre ambos puntos es ahora mayor que antes, por lo que el par de fuerzas será también mayor. Esto hace que el barco no sólo se enderece más rápido, sino que se incline hacia el lado contrario (estribor). Al hacerlo con un par mayor, la aceleración es mayor, por tanto, también el momento angular. Traducción: el barco ha adquirido más inercia que antes, por lo que una vez se invierta el par, tardará un poco más en detenerse y comenzar a enderezarse. Esto implica que el barco se incline con un ángulo algo mayor que antes.

Repitendo la operación varias veces, conseguiremos que el barco se incline de un lado a otro, y que cada vez la inclinación sea mayor. Para toda embarcación, hay un ángulo máximo de estabilidad que, una vez traspasado, el barco vuelca. Esto es porque cuando inclinamos mucho un barco, parte del casco que debería estar sumergido, ya no lo está. La geometría sumergida cambia lo suficiente como para que el centro de flotabilidad se vuelva a acercar hacia el de gravedad, y cambie de lado. Esto es, si el barco se inclina hacia babor, llega un momento en el que en centro de flotabilidad se desplaza hacia estribor. Una vez está más a estribor que el centro de gravedad, el par de fuerzas se invierte, y en vez de enderezar el barco, lo hace volcar, hasta alcanzar una nueva posición de equilibrio, con el barco boca abajo.

Hay un factor que aún no he mencionado: la resistencia del agua. La fuerza de resistencia del agua se opone a todo movimiento, y es mayor cuanto mayor sea la velocidad. Esto pone un límite a la máxima oscilación que podemos obtener de esta manera. No estoy seguro de que el desplazamiento de unas pocas personas sea suficiente como para hacer volcar un barco de ese tamaño, pero no importa ahora.

Lo que sí quiero hacer notar es lo siguiente: en mitad del proceso, se deja suelta la carga de la cubierta inferior (aún por encima de la línea de flotación, ya que es por donde disparan los cañones), de forma que barriles, cañones y balas de cañón se desplacen libremente con cada inclinación. Se supone que eso facilita que con cada oscilación, la inclinación sea cada vez mayor, y en la peli vemos como la carga rueda de un lado a otro. Pero en realidad, esto no ocurriría.

Veamos por qué. Supongamos que la tripulación se desplaza a babor. El barco se inclina, hacia el mismo lado, y la carga se desliza también hacia babor. El centro de gravedad se desplaza a babor mucho más que antes, y el barco se inclina más. «¡Ah! Pero eso es lo que queríamos ¿no?». Sí. Pero ¿qué pasa cuando la tripulación vuelve a estribor? El centro de gravedad se desplaza a estribor, pero no tanto como antes, ya que tenemos la carga en el lado de babor. Es más, si la carga liberada pesa más que la tripulación (algo bastante razonable), el centro de gravedad ni siquiera llegaría a cruzar el centro del barco, y seguirá en el lado de babor, por lo que nunca podríamos volver a enderezar el barco. No digamos ya el inclinarlo hacia el otro lado.

Es posible seguir haciendo oscilar el barco, y aumentar la amplitud cada vez más. Pero dado que no podemos volver a inclinar el barco hacia el lado contrario (hacia estribor), la posición del barco oscilaría entre estar muy inclinado a babor, o poco inclinado a babor. Tal vez la mayor inclinación a babor producida por el peso adicional de los cañones, sea suficiente para hacer volcar el barco. Desde ese punto de vista, la escena de la peli tiene algo de buena ciencia. Pero la oscilación no se produciría tal y como nos la muestran, con el barco inclinándose de un lado a otro, y los cañones cambiando de lado en cada iteración, sino que el barco estaría siempre inclinado hacia el mismo lado, variando su ángulo con cada oscilación.

Supongo que alguno pensará «bueno, pero es que no están en el mundo real sino en algún lugar sobrenatural, donde tal vez las leyes de la física sean diferentes». Ya, pero entonces, tampoco serviría de nada el correr por el barco, ya que son esas mismas leyes las que harían que se inclinara.

Como curiosidad, para los interesados en el detalle, hay un análisis muy interesante, con estimaciones de peso dimensiones, resistencia del agua, etc, en la web Academia.edu.

Los diagramas son modificaciones sobre el original de Cmglee bajo CC BY-SA 3.0

Gravity: Escombros

Aunque en el primer post dedicado a Gravity mencioné que quería explicar dos errores importantes, los comentarios me han animado a tratar un tercer error, que también es parte fundamental de la trama. Me refiero a los escombros en sí, tras la destrucción del satélite ruso.

Como siempre, vamos primero a recordar lo que vemos en la película. Houston informa a los astronautas de que los rusos han destruido un satélite propio con un misil (algo bastante irresponsable, pero teniendo en cuenta el mundo en el que vivimos, creible). Al principio parece que no hay peligro, pero a los pocos minutos, Houston avisa que los restos del satélite han chocado con otros, provocando una reacción en cadena, y que deben abortar la misión inmediatamente. Al poco rato, vemos como un grupo de fragmentos choca contra el transbordador y desata el caos. Se mueven muy rápido, lo suficiente para causar daños terribles e imprimir una rotación considerable a la nave, pero no tanto como para que escapen a la visión del ojo humano. Se ve cómo se acercan, y se ven perfectamente cruzando la pantalla. Más adelante, el protagonista dice que los fragmentos volverán cada 90 minutos.

Bueno, lo primero que hay que tener en cuenta es que en una explosión, los fragmentos salen despedidos en todas direcciones. En nuestro planeta, tarde o temprano todos los fragmentos acaban aminorando y cayendo al suelo, debido al aire y la gravedad. Pero en el espacio profundo, los fragmentos mantendrían la velocidad inicial al no haber rozamiento. Además, todas las trayectorias serían rectas y divergentes desde el punto de la explosión, por lo que a medida que avanzan, se separan unos de otros. Es como un globo con puntos dibujados en su superficie, que se hincha. A medida que se hace más grande, la separación entre los puntos es mayor. Así que cuanto más lejos de la explosión, menos probabilidad hay de que te alcance un fragmento, aunque si lo hace, lo hará con la misma velocidad que tenía en el momento de la explosión.

Pero ¡cuidado! He dicho que eso es lo que ocurriría en el espacio profundo, lejos de cualquier campo gravitatorio, y suponiendo que el objeto destruido estaba en reposo con respecto a nosotros. En órbita, las cosas son algo distintas. El objeto que explota se mueve a gran velocidad a lo largo de una trayectoria curva, debido a la gravedad de nuestro planeta. Y las cosas cambian. Para entender qué ocurriría, hay que tener primero muy claras unas nociones básicas de mecánica orbital. Vamos a comenzar con las Leyes de Kepler:

Primera Ley: La órbitas son elipses, y el cuerpo orbitado está en uno de los focos. No olvidemos que la circunferencia es un caso particular de la elipse, en la que ambos focos coinciden en un único punto (el centro de la circunferencia). También conviene matizar que cuando el volumen del cuerpo orbitado no es despreciable, lo que está en el foco es el centro de gravedad de dicho cuerpo (en nuestro caso, el centro de la Tierra)

Segunda Ley: La línea imaginaria que une el cuerpo en órbita con el objeto orbitado (con el foco, en realidad), barre areas iguales en tiempos iguales. Esto implica que a menos que la trayectoria sea una circunferencia (donde la velocidad sería constante), la velocidad del objeto varía a lo largo de la misma, alcanzando su máximo en el punto de mínima distancia o perigeo, y su mínimo en el punto de máxima distancia o apogeo.

Tercera Ley: El cuadrado del periodo orbital (tiempo que tarda el objeto en dar una vuelta completa) es proporcional al cubo del semieje mayor de la elipse. Es decir, cuanto mayor sea la distancia en el apogeo, menor será la velocidad media del objeto.

Hay un detalle muy importante sobre el tema de la velocidad, que conviene tener también claro: La velocidad en un punto dado, depende no sólo de la distancia en ese punto, sino también de la forma de la trayectoria. Algo lógico si tenemos en cuenta que nos basta con conocer la posición y velocidad del objeto en un punto concreto, para calcular toda la trayectoria. O dicho de otro modo, para una posición y velocidad concretas, sólo existe una órbita posible.

Ahora, ¿cómo afecta la velocidad? ¿Cómo varían órbitas que se tocan en un punto, pero con diferente velocidad? Bien, voy a comenzar con un ejemplo sencillo. Imaginad dos órbitas circulares a distinta altura, y en el mismo plano. Llamemos «A» (de alta) al objeto en la órbita más alta, y «B» (de baja) al objeto en la órbita más baja. Ambos objetos se mueven a velocidad constante (segunda ley), siendo mayor la de B (tercera ley, puesto que el semieje mayor de una circunferencia coincide con el radio de la misma). Imaginad ahora una órbita eliptica, también en el mismo plano, y que es tangencial a las dos anteriores. Esto es, su apogeo toca la órbita de A, y su perigeo toca la órbita de B. Llamemos «E» (de elíptica) a este objeto. El objeto E tiene mayor velocidad en el perigeo que en el apogeo (segunda ley), y en término medio, se moverá más despacio que B y más rápido que A (tercera ley, puesto que su semieje mayor es mayor que el radio de la circunferencia de B, y menor que el de la circunferencia de A).

Pero ¿y si lo comparamos la velocidad exacta de E en el apogeo y perigeo con la de A y B? Pues sucede algo muy curioso. En el perigeo (punto más cercano y rápido), la velocidad de E es mayor que la de B En el apogeo (punto más lejano y lento), la velocidad de E menor que la de A. Es decir, aunque la velocidad media de E está entre la de A y B, su velocidad máxima es mayor que la de B, y su velocidad mínima es menor que la de A. Recordad esto, que es muy importante para lo que sigue.

De momento nos estamos limitando a cuerpos en órbita, cuando sólo la fuerza de gravedad está actuando. ¿Qué ocurre cuando se ejerce una fuerza adicional, como la propulsión de un vehículo o el impulso de una explosión? Pues que la trayectoria se modifica. Una vez cesa dicha fuerza adicional, si no se ha alcanzado la velocidad de escape, la nueva trayectoria sigue siendo una elipse. Además, el punto en el que se dejó de ejercer la fuerza, pertenece a esta nueva elipse. Esto parece una perogrullada, pero implica algo que no hay que olvidar: Si no se vuelve a modificar la trayectoria, el objeto volverá periódicamente a ese mismo punto.

La forma en la que se modifica la elipse, hace que la mecánica orbital sea bastante antiintuitiva. Pero en el fondo no es tán difícil razonar sobre ello. Una fuerza aplicada se traduce en un cambio de velocidad, que no olvidemos, es un vector, esto es, tiene una dirección. Al final del proceso, lo único que nos importa es esa nueva velocidad (recordad que sólo necesitamos la posición y velocidad en un punto para calcular toda la trayectoria).

¿Qué ocurre aceleramos o deceleramos en la misma dirección? La dirección y sentido de la nueva velocidad es la misma, pero no su módulo (su intensidad). Estaremos cambiando la excentricidad de la órbita, y de una forma muy curiosa. Si aceleramos, estamos alejando la posición que tendrá nuestro objeto tras 180º de recorrido. Si frenamos, estaremos acercando esa misma posición. En el caso concreto de que hagamos la maniobra en el apogeo o perigeo, estaremos modificando la distancia del punto opuesto, sin modificar la orientación de los ejes de la elipse. Por ejemplo, si aceleramos en el apogeo de una órbita elíptica, estamos aumentando la distancia del perigeo, y por tanto, disminuyendo la excentricidad, pudiendo llegar a hacerla circular. O también, si aceleramos en una órbita circular, estaremos dándole excentricidad, y situando el apogeo en el punto opuesto de donde estamos. Así es como funcionan las órbitas de transferencia de Hohmann, para subir o bajar una órbita circular.

¿Qué ocurre si «viramos» a la izquierda o derecha? El módulo de la velocidad sigue siendo el mismo, pero la dirección ha cambiado en el plano horizontal (fijaos que para ello no basta con impulsar de forma lateral el objeto, sino que hay que decelerar la misma cantidad en la dirección original). La forma y tamaño de la órbita sería la misma, pero habremos cambiado su inclinación. Por ejemplo, si partimos de una órbita circular ecuatorial, podríamos obtener una órbita también circular y a la misma altura, pero con una inclinación de 15º.

¿Qué ocurre si «subimos» o «bajamos» en nuestra trayectoria? Es decir, ¿qué ocurre si damos un impulso radial hacia arriba o hacia abajo? El efecto es muy curioso, ya aunque obviamente estamos alejando o acercando ese punto en concreto hacia la Tierra, el punto opuesto (situado a 180º) siempre subirá, ya que en ambos casos estamos aumentando la velocidad total. Además, estaremos cambiando también la orientación de los ejes de la elipse.

Todos estos casos están resumidos con dibujos, en SpaceTEC. Lo importante es darse cuenta de que tras la explosión, cada fragmento recibe un impulso en una dirección diferente, por lo que cada uno adopta una órbita diferente. Habrá órbitas de distinta excentricidad, distinto periodo y distinta inclinación. Además, todas las órbitas se cruzan en el punto de la explosión. No todos los fragmentos pasan por ese punto de cruce al mismo tiempo, ya que no todos tienen el mismo periodo, pero aquellos que sí lo tengan, podrían chocar, alterando nuevamente sus órbitas. Y por supuesto, en el caso de una reacción en cadena (un fragmento choca contra un satélite, lanzando más fragmentos al espacio), tendríamos aún muchas más fragmentos en diferentes órbitas.

No olvidemos tampoco las enormes velocidades que tienen. En el primer post que dediqué a la película, comenté que la velocidad del Hubble es de 27.000 km/h. Eso es 30 veces la velocidad de crucero de un avión comercial. O más de 20 veces la velocidad del sonido a nivel del mar. Si eso no os impresiona, pensad que el periodo orbital es de unos 90 minutos. Es decir, el Hubble da una vuelta alrededor de la Tierra cada hora y media. A esa velocidad, viajaríamos de Madrid a Barcelona en 67 segundos, esto es, poco más de un minuto. Es por eso que la basura espacial puede llegar a ser tan peligrosa. No por el tamaño del fragmento, sino por su velocidad.

En la película nos muestran algo totalmente diferente. Lo primero que llama la atención es que el movimiento de los fragmentos es visible. No tienen la vertiginosa velocidad que he mencionado. Bueno, podría ocurrir que estuvieran en una órbita muy similar a la de los protas, de forma que la diferencia de velocidad no fuera tan grande.

El problema está en que vemos un grupo de fragmentos juntos, en la misma trayectoria. Eso no es posible. Los fragmentos deberían haber salido en distintas direcciones, separándose rápidamente. Recordad que tada uno de ellos debe seguir una trayectoria diferente. Además, el hecho de que periódicamente vuelvan a pasar, sólo es aplicable si mantenemos nuestra órbita, y nuestro periodo orbital es el mismo que el de los fragmentos. Una vez modifiquemos nuestra órbita (y los protas lo hacen al ir a la ISS), esos fragmentos en concreto ya no son una amenaza, aunque pueden serlo otros en otras órbitas.

Gravity: Órbitas

En el anterior post mencioné que había dos errores especialmente destacables en la película Gravity, y comenté el primero de ellos. Pues bien, hoy toca el segundo.

Primero vamos a ponernos en situación. Al inicio de la peli, los protas están reparando (o actualizando) el telescopio espacial Hubble. Vemos cómo el Hubble y el transbordador en el que han viajado (uno de los ya fuera de servicio STS), están enganchados por el brazo del vehículo. Cuando se produce el accidente, el transbordador queda completamente inutilizado, así que el personaje de George Clooney decide que irán hasta la ISS, donde podrán usar una cápsula Soyuz que sigue allí. Para ello, la única propulsión que cuentan es con la de una MMU que estaba usando el prota en el momento del desastre (una mochila propulsora, que también están actualmente fuera de servicio).

Bueno, contrariamente a lo que pueda parecer, el Hubble, la ISS, y todos los objetos que hemos puesto en órbita, no estan flotando estáticamente en el espacio. Recordad que un objeto en órbita se mantiene allí arriba, no porque la gravedad terrestre haya desaparecido, sino porque el objeto está dando vueltas alrededor de nuestro planeta, a una velocidad tal que la fuerza centrífuga iguala a la gravitatoria (sí, ya sé que es una explicación muy simplista, pero es algo que ya he detallado muchas veces: ^[1], ^[2], ^[3], ^[4], ^[5] y ^[6]). Además, la velocidad depende de la altura de la órbita. Concretamente, disminuye con la distancia.

El Hubble, se encuentra a una altura de 559 km, moviéndose a una velocidad media de unos 27.000 km/h. La ISS se encuentra a unos 415 km de altura, y se mueve a una velocidad media de 27.743 km/h. Como veis, así de primeras, vemos que la diferencia de altura es de 144 km, y la de velocidad de 743 km/h. La MMU de Clooney tendría que ser capaz como mínimo de acelerar o decelerar esa diferencia, y permitir recorrer esa distancia antes de que se les agote el oxígeno.

Pero hay más. Estamos suponiendo el caso más favorable, en el que ambas órbitas están en el mismo plano, y los protas bajan hasta la órbita de la ISS justo en el momento de mayor aproximación. La realidad es aún peor, ya que las órbitas de la ISS y el Hubble tienen distinta inclinación. ¿Y qué es eso de la inclinación? Pues es el ángulo que el plano de la órbita forma con el ecuador. Una órbita ecuatorial, esto es, en la que el objeto siempre está sobre el ecuador (como en los satélites geoestacionarios), tiene una inclinación de 0º. Una órbita polar, esto es, en la que el objeto cruza los polos, tiene una inclinación de 90º.

Pues bien, la inclincación de la órbita del Hubble es de 25,5º y la de la ISS de 51,65º. Como veis, una diferencia bastante considerable. Eso implica por un lado que para que se produzca el máximo acercamiento entre ambos objetos, tiene que darse la suerte de que en ese momento, se encuentren los dos en la zona donde los planos de las órbitas se cortan. Por otro lado, la velocidad relativa de un objeto con respecto al otro es aún mayor. Si recordamos cómo operar con vectores (y si no, podéis hacerlo en la web HyperPhysics, recordando que la resta es igual que la suma, pero rotando 180º el sustraendo), en el momento del cruce, la diferencia de velocidad sería de 12.405 km/h . Ya no sólo es la improbable suerte de que ambos artefactos se crucen en el momento adecuado, sino que una MMU (que ya ha gastado combustible en las piruetas fardonas del prota), sea capaz de obtener ese incremento de velocidad.

El mismo razonamiento se puede aplicar al posterior viaje desde la ISS a la Tiangong, únicamente con los cohetes de aterrizaje de una Soyuz, si bien, dado que la estación china aún no está en órbita, no sabemos qué altura e inclinación tendrá.

Gravity: movimiento y fuerzas

Por fin he tenido ocasión de ver Gravity, película por la que algunos de vosotros me habíais preguntado. Antes de empezar con la mala ciencia, diré que la peli es bastante realista en cuanto al movimiento de objetos en ingravidez (¿o debería decir caída libre?) y sin rozamiento. También es destacable la ausencia de sonido en el exterior (salvo cuando algún personaje golpea algo, ya que el sonido se propaga a través del traje y el propio cuerpo), algo que con la música adecuada, puede llegar a ser más dramático que unos efectos sonoros.

Pese a todo, hay varios errores. Dos de ellos creo que son especialmente destacables, ya que son parte importante de la trama, y son bastante fáciles de ver. Hoy comentaré el que creo más importante de los dos. Aviso que lo que voy a comentar es un gran spoiler, así que los que no hayáis visto la película, pensáoslo bien antes de seguir.

Alerta spoiler

Bien, si habéis llegado hasta aquí, supondré que habéis visto la peli, o que no os importa que os desvelen sorpresas.

Cuando los personajes de George Clooney y Sandra Bullock llegan a la ISS, donde tienen previsto usar la Soyuz allí atracada para viajar hasta la Tiangong, al MMU de Clooney se le acaba el combustible. Eso hace que sean incapaces de «frenar» adecuadamente, por lo que se golpean contra la estructura exterior varias veces mientras intentan asirse de alguna manera, girando y rebotando, llegando a romper la cinta con la que están unidos entre los dos. En un momento dado, el pie de ella se engancha con las cuerdas del paracaidas de la Soyuz (que estaba desplegado), deteniéndo su movimiento. Su compañero no tiene tanta suerte, pero pasa junto a ella de forma que puede aferrar con la mano el trozo de cinta que sigue enganchada a él. Se produce un tirón donde ella casi pierde el agarre, pero finalmente quedan estáticos. Entonces, él afirma que no puede salvarle, que si lo intenta ella se soltará, y valientemte desengancha su extremo de la cinta. Él se aleja lentamente, y las tensas cuerdas del paracaidas abierto, tiran de ella hacia atrás.

Bueno, puede que quede muy dramático, pero la situación no tiene demasiado sentido. Recordemos un momento la Primera Ley de Newton, que nos dice básicamente que el estado de movimiento de un cuerpo sobre el que no actua ninguna fuerza, permanece inalterado. Si el cuerpo está en reposo, permanecerá en reposo, y si está en movimiento, permanecerá en movimiento rectilíneo y uniforme. En un paseo espacial, sucede precisamente eso. A esas alturas no hay (apenas) aire que produzca resistencia al movimiento. Es por eso por lo que un astronauta (o un vehículo) en órbita, se puede desplazar indefinidamente sin propulsión. Hasta ese punto, el movimiento en el espacio estaba muy bien reflejado en la película, como en los angustiosos primeros minutos cuando la protagonista, tras salir despedida, no tiene forma de detenerse, y se va alejando inexorablemente del transbordador y sus compañeros.

«¡Ah! pero sí que hay fuerzas en realidad, ¿no?», preguntaréis. Sí, pero no. Para los más puntillosos, vamos a recordar brevemente los detalles de un cuerpo en órbita. A esas distancias, la gravedad sigue siendo una fuerza considerable. Un cuerpo en órbita en realidad está en caída libre alrededor del objeto orbitado (en este caso, nuestro planeta). A la distancia y velocidad adecuadas, la gravedad curva la trayectoria del cuerpo, haciendo que describa una circunferencia en vez de una línea recta, manteniendo constante la velocidad (en el caso más genérico, las trayectorias son elipses y la velocidad varía con la distancia, pero la circunferencia es un caso particular, muy fácil de explicar, y la que se busca en la ISS). Para entenderlo más fácilmente, vamos a usar el cuerpo en órbita como nuestro sistema de referencia. Al ser un sistema de referencia no inercial, debemos incluir una fuerza ficticia en nuestro balance, que actua sobre todos los elementos de nuestro sistema: la fuerza centrífuga. En una órbita circular, la fuerza centrifuga y la fuerza gravitatoria sobre cada elemento, son exactamente iguales, pero en sentido opuesto, por lo que se cancelan mutuamente.

Vale, asi que podemos olvidar las fuerzas externas en un cuerpo en órbita. Vamos a centrarnos enconces en el resto de fuerzas que actuan sobre los protagonistas. Cuando el pie se enreda con las cuerdas del paracaidas, sobre el personaje de Sandra Bullock no actuaba ninguna fuerza, y por tanto se desplazaba en línea recta y con velocidad constante. Cuando la cuerda se tensa, la fuerza de dicha tensión se opone al movimiento del personaje, frenándola hasta detenerse. Cuando su compañero pasa cerca, ella agarra la cinta. Él sigue su movimiento a velocidad constante, hasta que la cinta se tensa. Cuando esto ocurre, aparecen dos fuerzas iguales y opuestas. Una frena a Geroge Clooney, y la otra empuja a Sandra Bullock. Pero entonces, la cuerda del paracaídas se tensa más, generando otra pareja de fuerzas opuestas: una que la frena a ella, y otra que acelera la estación espacial (y que como es mucho más masiva que un astronauta, pues el cambio en su estado de movimiento es despreciable).

Ciertamente, si el pie de la protagonista estaba precariamente sujeto por las cuerdas, el tirón de su compañero podía haber hecho que se soltara, condenando a ambos. Pero el detalle es que toda la conversación entre los dos, él diciendo que no pueden salvarse ambos, y ella insistiendo que que no se suelte, ocurre después, del tirón. Es decir, una vez ambos astronautas están en reposo con respecto a la estación. Llegados a este punto, no hay ningún peligro de que él la arrastre a ella. El movimiento relativo de ambos es el mismo, y no hay ninguna fuerza que lo modifique. Podrían estar de esa forma indefinidamente. Es más, si alguno de los elementos tiene algo de elasticidad, las propias fuerzas de tensión que se habían generado, tirarían levemente de ellos durante un instante, hasta que la tensión desapareciera. Y si no, un leve tirón por parte de ella, haría que él se acercase poco a poco, incluso si soltase la cuerda después. De hecho, cuando él se suelta, tiene que tirar un poco de la cinta para liberar el mosquetón. Esa simple acción, haría que se acercase a la estación.

Vale, ella se estaba quedando sin oxígeno, y tenía que entrar en la estación cuanto antes. Tal vez él calculara que no tenía tiempo de esperarle. Pero tras soltar la cinta, él se aleja, y las cuerdas del paracaídas tiran de ella hacia atrás, destensándose. Incluso la cinta que los unía se afloja. Esto sólo es posible si una fuerza estuviera tirando constantemente de él, alejándolo. Pero ¿qué fuerza? No puede ser su propia inercia, ya que el tirón de la cinta y las cuerdas lo ha detenido. ¿Qué tira de él hacia el exterior?

En fin, está claro que el heróico sacrificio del astronauta era una necesidad de guion, para que la pobre protagonista se quedara sola. Pero tal y como está resuelta, la situación no es posible.

Total Recall (Desafío Total): La Catarata

Llego con un par de años de retraso (cosas de no poder ir a los estrenos de cine), y el profe de física se me adelantó en su día. Aún así, voy a dedicar el post a la película Total Recall (Desafío Total). No, no me refiero a la de Verhoeven de 1990, sino al remake de 2012. Concretamente, voy a comentar algunos aspectos de la gigantesca estructura que conecta los dos únicos puntos habitados de la futura y apocalíptica Tierra: La Catarata.

Para el que no haya visto la película, La Catarata (poco acertada traducción de «The Fall», que también significa «caída», y es bastante más apropiado) es una especie de gigantesco tren subterráneo que une Gran Bretaña con Australia, atravesando la Tierra. En realidad, más que un tren, sería un ascensor. El vehículo tiene forma de gigantesco cilindro, del tamaño de un edificio de varias plantas, que cae por un tunel casi vertical. No es totalmente vertical, ya que el tunel se curva un poco para rodear el núcleo interno, como se nos muestra varias veces de forma esquemática en las pantallas que hay dentro del vehículo. A mitad de camino, al atravesar el núcleo externo, se experimentan unos minutos de ingravidez, que se aprovechan para dar la vuelta a los asientos, de forma que al volver la gravedad (que lógicamente, lo hace de forma invertida), el arriba y el abajo estén donde deban. El tiempo total de viaje es de 17 minutos. Hacia el final de la peli, justo al terminar de atravesar el núcleo y restablecerse la gravedad, vemos a los protagonistas salir al exterior y ser sometidos a un terrible viento, por lo que se debe deducir que el tunel tiene aire respirable, y la velocidad es soportable.

La idea de una estructura semejante no es nueva. Recuerdo leer de niño uno de los fantásticos libros de Ediciones Plesa, donde se planteaba dicho sistema, aunque con un tunel donde se había hecho el vacío, y conectando dos puntos menos separados en línea recta de forma que no se acercara demasiado al núcleo. Y parece ser que ya se planteó en tiempos de Newton.

Vamos a obviar todo lo relacionado con cómo constuir una estructura semejante, mantenerla, y acondicionar el vehículo para que sus ocupantes sobrevivan, teniendo en cuenta las extremas temperaturas y presiones que podemos encontrar en el interior de la Tierra. Supongamos que en el futuro se han descubierto nuevos y maravillosos materiales que lo permiten, y centrémonos únicamente en las leyes físicas.

Así que empecemos por lo que primero llama la atención: el periodo de ingravidez. Durante todo el viaje, la gravedad en el interior del ascensor es normal, hasta llegar a un punto en el que desaparece bruscamente, para luego volver también de forma brusca. Como podéis suponer, la realidad es diferente. La gravedad varía de forma gradual, no brusca. Y sólo hay un punto donde sea totalmente nula: justo en el centro de gravedad de nuestro planeta.

¿Cómo varía la gravedad a medida que descendemos por un tunel hasta el centro de la Tierra? Nos encontramos ante un problema que afortunadamente para nosotros, ya resolvió Newton en su día: la gravedad en el interior de una esfera. Para calcular la gravedad en un punto, trazamos una superficie esférica imaginaria, con centro en la esfera real, y radio igual a la distancia al punto en cuestión. La esfera queda dividida en dos partes: una esfera más pequeña, con el punto en su superficie, y una cáscara esférica, con el punto en su superficie interior. Si calculamos la gravedad debida a cada una de las partes, y las sumamos, obtendremos el resultado. Pero como la gravedad en cualquier punto del interior de una esfera hueca es nula, sólo debemos calcular la gravedad debida a la porción esférica que está justo debajo del punto. Si suponemos que la esfera es homogénea, de densidad constante, resulta que la masa disminuye de forma cúbica con el radio (linealmente con el volumen, y el volumen es proporcional al cubo del radio). Como sabéis, la gravedad es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Si juntamos ambos efectos, tenemos que la gravedad disminuye de forma lineal a medida que descendemos por el tunel.

Pero en realidad, la Tierra no es homogénea. La densidad del manto es mayor que la de la corteza, y la del núcleo mayor que la del manto. Usando los datos del llamado PREM, a medida que uno desciende, la gravedad se mantiene más o menos constante en la corteza y el manto, llegando a incrementarse al acercarse al núcleo exterior. Pero una vez traspasado ese punto, disminuye de forma más o menos lineal. Sólo se hace cero justo en el centro. Así que no, no se puede producir un periodo de ingravidez de varios minutos. Y teniendo en cuenta que el tunel no atraviesa siquiera el núcleo interno, no hay ningún punto del trayecto en el que la gravedad pueda ser nula.

¿O sí? Como ya he explicado muchísimas veces, caída libre e ingravidez son equivalentes. Alguien podría decir que al estar cayendo el ascensor, se experimentaría ingravidez en su interior durante todo el trayecto. Pero el ascensor no está en caída libre. En el tunel hay aire, como queda de manifiesto al final de la peli, cuando los protagonistas salen al exterior del ascensor. Eso quiere decir que tras unos segundos de caída, la fuerza de la resistencia del aire igualaría a la gravedad, alcanzándose la llamada velocidad terminal, y el ascensor descendería a velocidad más o menos constante. Esto implicaría que el aparato no tendría suficiente velocidad para la segunda parte del trayecto (la subida), y necesitaría algún tipo de propulsión.

Es mas. Dado que en la peli, al inicio del viaje no observamos ingravidez, podemos deducir que el ascensor nunca cae libremente, y que inicia su descenso de manera controlada. Esto es, nunca alcanza una aceleración de 1 g, sino que siempre será menor. Quedaos con este dato.

El tiempo de viaje del ascensor es de 17 minutos. Este es un dato que se repite varias veces a lo largo de la película. El diámetro medio terrestre es de unos 12.742 km. Puesto que el tunel no es recto y rodea el núcleo interno, la distancia sería algo mayor. Pero si hilamos fino, descubriremos que las islas británicas y Australia no están exactamente en sus respectivas antípodas. Las coordenadas geográficas de Londres, por ejemplo son 51° 30' 26" N, 0° 07' 39" O. Sus antípodas, por tanto, están en las coordenadas 51° 30' 26" S, 179° 52' 21" E, un punto situado en el océano, fuera de Australia, más allá de Nueva Zelanda. La distancia en línea recta desde Londres a Sydney, es algo menor que el diámetro terrestre. Así que vamos suponer que una cosa se cancela con la otra, y usemos el diámetro terrestre como distancia. Sólo queremos hacer una aproximación.

Pues bien, recorrer 12.742 km en 17 minutos, supone una velocidad media de casi 45.000 km/h. Para hacernos una idea, la velocidad de escape en la superficie de la Tierra es de 40.320 km/h. Es decir, la velocidad media del ascensor es superior a la de escape. Pero pienso, que es más ilustrativo tener en cuenta que la velocidad habitual de reentrada de los ya jubilados transbordadores espaciales de la NASA, era de unos 30.000 km/h. Y fijáos que lo que he calculado es una velocidad media. Puesto que el ascensor parte del reposo, y frena en su destino, la velocidad máxima es aún mayor. Obviamente, el ascensor no puede estar simplemente cayendo, sino que necesariamente debe llevar algún tipo de propulsión, superior a la de los actuales cohetes espaciales, pero tan pequeña que nunca la vemos en los planos generales. Y obviamente, a esa velocidad, ningún ser humano podría sobrevivir en el exterior del ascensor.

En la red hay varios sitios donde se explica cómo calcular el tiempo de caída libre a través de un tunel al que se le ha hecho el vacío, que atraviese el centro de la Tierra, y suponiendo que la densidad de nuestro planeta es la misma en cualquier punto. Podéis visitar Hyperphysics o Física de Película, por ejemplo, y descubrir que el tiempo total de viaje sería de poco más de 42 minutos. En WolframAlpha Blog van más allá, y han tendido en cuenta la variación de la densidad terrestre a lo largo del trayecto (aunque suponiendo una trayectoria totalmente vertical, atravesando el centro). A ellos les salen 46 minutos, pero en los comentarios lo corrigen, indicando que serían 38 (si al principio del viaje la aceleración de la gravedad no disminuye, tiene sentido que el tiempo sea menor que si consideramos que disminuye linealmente).

En cualquier caso, podemos ver que incluso con la cifra más favorable, el tiempo es muy superior al de la película. Entonces cabe preguntarse ¿a qué tipo de aceleración y posterior frenado es sometido el ascensor? Y fijaos que en caída libre, en el interior se experimentaría ingravidez durante todo el viaje. En el caso de estar sometido el vehículo a una aceleración superior a 1 g, los ocupantes deberían ser empujados hacia el techo. Y si bien los pasajeros van sentados y bien atados con unos arneses, en los planos que nos muestran parece que están bastante cómodos y despreocupados. No parece que estén sufriendo una gravedad invertida, es decir, no parece que estén «boca abajo».

Uno podría suponer que en esa época se ha descubierto algún sistema de gravedad artificial casi mágica, al estilo de Star Trek o Star Wars, de forma que en el interior se pueda tener la gravedad deseada (1 g ó 0 g), independientemente de la aceleración y gravedad real, y algún sistema de propulsión que es capaz de impulsar un gigantesco tren a velocidades superiores a la de escape, en el interior de una atmósfera (la resistencia y aislamiento térmico, ya lo hemos supuesto desde el momento en el que tenemos que atravesar el núcleo). Pero eso no explicaría lo que ocurre al final de la peli (tranquilos, sin spoilers):

Los protas salen al exterior del ascensor, justo tras restablecerse la gravedad (esto es, tras atravesar el núcleo externo), y son perseguidos por los villanos. Vemos como suben por una escalera vertical de servicio, con mucho viento, pero sin demasiadas dificultades, hasta llegar al techo del ascensor, donde se produce un enfrentamiento con los malos. Bueno, vamos a suponer que el tunel está hecho de un material que puede aislarles del calor del manto. Si la velocidad media es mucho mayor que la que sufre un vehículo espacial en la reentrada, los personajes habrían sido incapaces de sujetarse a una escalera vertical. Pero además, tendrían que haber muerto carbonizados. Como sabéis, en una reentrada, los vehículos espaciales se calientan mucho (pudiendo ser trágicamente mortal, si hay algún problema con el escudo térmico). Esto es debido a la enorme velocidad a la que se desplaza. El aire que se encuentra delante de ellos se comprime muy rápidamente, elevando su temperatura. En el caso que nos ocupa, la velocidad es mayor, y la densidad del aire también, por lo que la temperatura exterior debería ser incluso mayor que la que soporta un vehíclo espacial durante la reentrada.

Así que, tal y como está planteado en la peli, el comportamiento del ascensor no tiene sentido. Y fijáos que no es cuestión de tecnología. Es simple física.

G.I. Joe y el hielo que se hunde

Este fin de semana, pusieron en la tele la película G.I. Joe, y recordé algo que alguno de vosotros me comentó hace tiempo, sobre la batalla final (alerta: mini-spoiler). La base de Cobra está sumergida en el Ártico, y sobre ella está la superficie congelada del mar. Durante la batalla, el hielo de la superficie se rompe, y vemos enormes bloques de hielo hundiéndose, que ponen en peligro a los contendientes. Sí, habéis leído bien: el hielo se hunde en el agua.

Bueno, creo que no sorprenderé a nadie si digo que el hielo flota en el agua. Es algo que todos hemos visto de una forma u otra, aunque sea en una bebida. El motivo es muy simple: el hielo es menos denso que el agua, dado que cuando ésta se congela, aumenta su volumen. Eso es algo que a todos nos enseñaron de pequeños. Y posiblemente muchos de vosotros lo hayáis visto directamente. ¿A alguno se le ocurrió alguna vez en verano, meter una botella de agua en el congelador para que se enfriara rápido, y olvidarse luego de ella? Si es así, sabréis que el aumento de volumen del agua al congelarse, es capaz de romper la botella.

Esto que todos sabemos, y que nos parece tan normal, es en realidad un comportamiento anómalo. De hecho, se le llama «comportamiento anómalo del agua». ¿Por qué es anómalo? Como sabéis (también nos lo enseñaron en el colegio), el calor dilata los cuerpos. Eso quiere decir que normalmente, un cuerpo disminuye su volumen a medida que disminuye la temperatura, Es decir, su densidad aumenta. Sin embargo, el agua tiene una peculiaridad. Por encima de los 4 ºC, se comporta como cualquier otro líquido: aumentando el volumen al calentarse, y disminuyéndolo al enfriarse. Pero por debajo de 4 ºC, al agua se dilata a medida que se enfría. Al llegar a 0 ºC se produce el cambio de estado (de líquido a sólido) y el volumen aumenta de forma muy brusca. Una vez en estado sólido, el hielo se comporta normalmente, disminuyendo su volumen a medida que la temperatura desciende. Pero este descenso es mucho más gradual, de forma que incluso un bloque de hielo a -90 ºC (la temperatura natural más baja jamás registrada a nivel del suelo, es de -89,2 ºC), sigue teniendo menos densidad que el agua a 0 ºC.

Aquí podéis ver una gráfica con la variación de densidad del hielo/agua con respecto a la temperatura. Como veis (y si no, os lo cuento yo), entre 0 ºC y 4 ºC, la densidad del agua se mantiene en torno a 1 kg/l (1.000 kg/m³). Justo por debajo de 0 ºC, la densidad disminuye bruscamente a 0,917 kg/l. A medida que disminuye la temperatura, la densidad aumenta poco a poco, pero nunca llega a alcanzar la del agua a 0 ºC (ni siquiera alcanza la del agua a 100 ºC). Es decir, la densidad del hielo es siempre menor que la del agua. Por tanto, el hielo siempre flota en el agua.

Esta anomalía es de vital importancia. Cuando lagos, ríos y mares se congelan en invierno, se forma una capa de hielo en la superficie. Esto impide que se congele toda la masa de agua, permitiendo que el ecosistema de su interior pueda sobrevivir. Y recordad, que la vida comenzó precisamente en el mar.

Así que ya sabéis. Cada vez que os toméis una copa y veáis flotar los cubitos de hielo (sí, aunque la densidad del alcohol etílico es de 0,789 kg/l, las bebidas como el whisky, el vodka o la ginebra, tienen una densidad mayor que la del hielo), pensad que ese peculiar fenómeno permite que estéis ahí, disfrutando de la misma.

El hombre de acero: Elementos alienígenas

Hoy voy a hablar de la reciente actualización de Superman: la película El hombre de acero. Como ya sabéis los que conocéis este sitio, no voy a hablar de si son posibles los poderes de un kryptoniano. No. Una de las cosas que me ha llamado la atención de esta peli, lo suficiente para comentarla aquí, es algo más sencillo.

Sin revelar la trama (aunque lo más básico es conocido por todo el mundo), una expedición científica encuentra una nave alienígena (kryptoniana, por supuesto) el el Ártico. Uno de los personajes dice que el material de la nave contiene un elemento que no existe en la tabla periódica, lo que revela su origen extraterrestre.

Bueno, vamos a repasar algunos conceptos básicos de la química del colegio. La tabla periódica recoge todos los elementos químicos conocidos, ordenados por su número atómico. Este número atómico, corresponde con el número de protones del núcleo, e identifica un elemento químico. Cuando Dmitri Mendeléyev elaboró la primera tabla periódica, existían huecos que correspondían a elementos químicos aún no descubiertos. Con el paso del tiempo, el descubrimiento de nuevos elementos ha rellenado esos huecos, e incluso se ha ampliado con elementos sintetizados, no presentes en la naturaleza. A día de hoy, la tabla tiene 118 elementos, sin huecos, siendo el último elemento el ununoctio (Uuo).

Así que un elemento nuevo, necesariamente tiene que tener un número atómico mayor. Como ya comenté hace tiempo, los elementos por encima de los transactínidos (con número atómico mayor que 103) son inestables y de vida media muy corta. Cierto que podría existir una isla de estabilidad de elementos superpesados, pero lo que esperan los científicos es que esos elementos sean más estables que sus compañeros, y no se desintegren en cuestión de segundos. Es decir, sería un elemento radiactivo, con una vida media más larga, pero igualmente inestable, de forma que con el tiempo iría desapareciendo. No digamos tras miles de años, que es lo que se supone que lleva la nave kryptoniana en el Ártico.

Pero lo que más me llama la atención es esa tendencia a asociar lo alienígena a "elementos fuera de la tabla periódica". La tabla periódica no es un compendio de elementos terrestres, sino de elementos a secas. De hecho, varios de ellos (la mayoría de los transuránidos) no existen de forma natural en nuestro planeta, y han sido creados por el hombre. En realidad, el descubrir un elemento nuevo en una estructura artificial, lo que indicaría es que alguien ha descubierto la isla de estabilidad, y ha sintetizado un elemento nuevo en cantidad suficiente. Podría ser tanto una civilización alienígena como un laboratorio secreto.

También es curioso que cuando la trama necesita algún tipo de material novedoso o con propiedades extrañas, siempre se recurre a un elemento nuevo. En realidad, los avances en materiales se producen normalmente por la nueva combinación de elementos ya conocidos, no por el descubrimiento de elementos nuevos (que de momento, son bastante póco útiles debido a su corta vida). Tenemos por ejemplo el kevlar, conocido por su uso en chalecos antibalas, o al teflón, que a todos os sonará de las sartenes. Ambos materiales son polímeros, esto es, compuestos orgánicos. Los elementos que los componen son viejos conocidos: carbono, hidrógeno, oxígeno, nitrógeno, fluor. Lo que da al material sus deseadas características es la disposición de los elementos, no la presencia de elementos exóticos.

Y también podríamos jugar con aleaciones o cerámicas. En ese aspecto, el irrompible adamantium de los cómics Marvel es una aleación, no un elemento nuevo, lo que lo hace un poco más verosimil (hasta que hay que explicar como meterlo en los huesos de Lobezno). Una honrosa excepción en el tópico de «los materiales con propiedades extraordinarias, son elementos químicos desconocidos».

Pacific Rim: Monstruos voladores y caídas

Siguiendo con mi puesta al día, he visto hace poco Pacific Rim. Partiendo de la base de que la peli trata de monstruos y robots gigantes, hay una escena que me llama especialmente la atención. No voy a reventar ninguna sorpresa de la trama (tampoco es que haya muchas), por lo que podéis seguir leyendo aunque no hayáis visto la película.

En la escena en cuestión, un kaiju (monstruo gigante) con alas, agarra al jaeger (robot gigante) con las patas, y se lo lleva a gran altura. Cuando están tan altos que suenan alarmas indicando que el nivel de oxígeno es muy bajo, los pilotos se acuerdan de que el jaeger tiene una espada retractil, y la usan para cortar al kaiju. El bicho suelta al robot, que comienza a caer, y se oye la voz del ordenador diciendo que están a 15.000 metros. Casi al instante el jaeger comienza a calentarse por la fricción como en una reentrada, dejando una estela incandescente.

Lo primero es hacerse una idea de qué supone 15 km de altura. Veamos, los aviones de pasajeros, vuelan a una altura de crucero de entre 9 y 12 km. El jubilado Concorde lo hacía a 18 km. A estas altitudes, la presión atmosférica es muy baja (más o menos, una décima parte de la que hay a nivel del mar), pero aún hay suficiente aire para producir una sustentación con las alas y el empuje adecuado.

¿Puede el kaiju sobrevivir a esa altura? Bueno, es un monstruo alienígena de otra dimensión, así que no sabemos nada de su biología. Hay un caso documentado de un buitre moteado que fue engullido por la turbina de un avión, a unos 11 km de altura, así que podria ser.

¿Puede volar a esa altura con un jaeger? Esto es más peliagudo. A más altura, como hay menos aire, se necesitan alas de más superficie, o un mayor empuje, para conseguir una sustentación adecuada. Sin datos precisos, sólo podemos comparar las proporciones del kaiju con las de un buitre moteado (ya que sabemos que puede llegar a 11 km de altura). Es difícil conseguir una imagen del kaiju en cuestión con las alas completamente extendidas, y a la vez sin salirse del cuadro. Aún así, da la impresión de que la proporción entre alas y cuerpo, es mayor en el buitre que en el kaiju, aunque no he podido medirlo. En cualquier caso, el monstruo de la película carga un jaeger de miles de toneladas. Si nos fiamos de la wiki de la película, el jaeger (Gipsy Danger) tiene una masa de 1.980 toneladas, y el kaiju (Otachi) de 2.690 t. Es decir, el bicharraco está llevando una carga de algo más del 70% de su propio peso. Con estos datos, no parece probable que el kaiju pueda subir a tanta altura. Pero como desconocemos la fuerza muscular del monstruo, pues vamos a aceptar barco como animal acuático (no-premio para el que identifique la referencia).

Hay otro detalle sobre el vuelo del kaiju que llama mucho la atención. Desde que el kaiju comienza a ascender (no cuenta cuando vuela a ras de la ciudad, golpeando al jaeger contra los edificios) hasta que se dice que están a 15.000 metros, pasa menos de un minuto. La cota de altura se menciona una vez que el kaiju ha soltado al jaeger, por lo que en realidad, alcanza más altura en menos tiempo, pero vamos a darles un margen. Ascender 15 km en un minuto, supone viajar a una velocidad de 900 km/h, es decir, la velocidad de crucero de un avión de pasajeros. Un poco exagerado ¿no? Sobre todo teniendo en cuenta que un avión despegando viaja a menos velocidad, y además, no asciende de forma totalmente vertical.

Bueno, vamos a suponer que el director ha usado el recurso de la elipsis, y en realidad, la ascensión duró más. Imaginemos que la ascensión duró 4 minutos. Eso supondría una velocidad vertical de 225 km/h. El vencejo real es el ave que puede volar más rápido en horizontal, y puede alcanzar los 250 km/h. Pero ojo, no es lo mismo volar en horizontal que ascender con una carga que supone el 70% de tu propio peso. Además, esos 225 km/h que debería alcanzar el kaiju es únicamente la componente vertical. El bicho avanzaba a la vez que ascendía, por lo que su velocidad total debía ser aún mayor. E incluso así, 4 minutos es demasiado tiempo para que los pilotos reaccionen y se acuerden de que su jaeger tiene una espada. Así que, o bien el kaiju es capaz de ascender más rápido que un avión a reacción, o los pilotos son de una incompetencia inadmisible.

Bien, hasta ahora, todo lo que he mencionado, aunque improbable, no es totalmente imposible. Estamos hablando de un monstruo alienígena de otra dimensión, del que desconocemos sus caracteristicas biológicas. Pero lo que sigue, es una mala ciencia en toda regla.

El jaeger cae desde 15.000 metros de altura, y en seguida se ve envuelto en aire incandescente, debido al calor de la reentrada... ¡Eh! Esperad un momento. ¿Reentrada? ¿Desde 15.000 metros? Esa altura corresponde a la zona baja de la estratosfera. Como ya he mencionado antes, los aviones comerciales tienen una altura de crucero de entre 9.000 y 12.000 metros. Y recordemos que el famoso salto de Felix Baumgartner se hizo desde una altura de 39.068 metros, es decir, más del doble de la altura desde la que cae el jaeger. Y Felix no cayó envuelto en llamas.

Como el propio nombre sugiere, una reentrada se produce cuando un cuerpo fuera de la atmósfera terrestre, vuelve a entrar en ella (siendo puristas, la atmósfera se extiende hasta más allá de algunas órbitas bajas, pero su densidad es tan pequeña que es prácticamente despreciable, salvo por sus efectos a largo plazo). Un cuerpo fuera de nuestra atmósfera, puede alcanzar velocidades inmensas, debido a la ausencia de rozamiento. De hecho, para que un objeto esté en órbita, debe ir a gran velocidad. La ISS, por ejemplo, se desplaza a una media de 28.000 km/h. Si un cuerpo en órbita no frena antes de entrar en la atmósfera (y eso supondría un enorme gasto de combustible para un vehiculo), la velocidad es tan grande que el aire que encuentra a su camino es comprimido muy rápidamente, aumentando drásticamente su temperatura.

En la peli, el jaeger simplemente cae. Y además, comienza su caída dentro de la atmósfera. Así que no tiene ningún sentido ese efecto de reentrada (salvo por que alguien piense que quede molón).

Star Trek Into Darkness: Gravedad, caída libre y distancias

Estoy intentando ponerme al día con los últimos estrenos, y este fin de semana he visto Star Trek Into Darkness. Si en su día comenté que la peli anterior me había encantado, con esta ha ocurrido todo lo contrario. Me ha decepcionado mucho. Y no, no es porque haya mucha pirotecnia (me encanta el cine palomitas), ni porque no capture el espíritu original (la anterior tampoco lo hacía), ni porque contradiga cosas establecidas (es una línea temporal alternativa). No. El problema es que el guion tiene agujeros por los que cabría el Enterprise y toda la Flota Estelar. Pero esto es MalaCiencia, así que no mencionaré esas inconsistencias (por mucho que quiera mencionar lo de sumergir el Enterprise para... no, no lo haré).

Voy a hablar (o escribir) nuevamente de la gravedad y la caída libre (y más cosas). Pero en este caso, sí que se trata de un caso de mala ciencia. Primero, describamos la escena. Alerta Spoilers:

Hacia el final de la peli (último aviso: SPOILERS), el Enterprise huye a velocidad warp (o de curvatura, o factorial, o como se quiera traducir) de la nave del villano, el Vengance. Desgraciadamente para los protas, el Vengance es más rápido, y los alcanza sin problemas. Les dispara, y los saca de la velocidad warp en las proximidades de nuestra Luna. Tras unos cuantos disparos más, el Enterprise queda para el arrastre, y una nube de escombros flota entre ambas naves. Pero como Kirk y Spock son hombres de muchos recursos, (y Scotty está de polizón en el Vengance), consiguen dar la vuelta a la situación, y hacen explotar unos torpedos en el interior del Vengance. Pero justo en ese momento, el Enterprise se queda sin potencia, y cae hacia la Tierra. Como ni siquiera funciona la gravedad artificial, los tripulantes caen en distintas direcciones, dependiendo de la orientación de la nave, según se precipita incontroladamente contra nuestro planeta.

Bueno, empecemos con unas cifras. Nada más salir del warp, Sulu informa que se encuentran a 237.000 km de la Tierra. La distancia media entre la Luna y la Tierra es de 384.400 km, lo que colocaría al Enterprise algo más allá de la mitad de esa distancia (a unos 3/5 de la distancia Tierra-Luna, desde la Tierra). Sin embargo, los planos sugieren que las naves están muy cerca de la Luna, tal vez en órbita alrededor de ella. En uno de ellos, incluso se ve a las naves contendientes más lejos de la Tierra que la propia Luna. Así que la distancia que indica Sulu no corresponde en absoluto con lo que las imágenes nos muestran.

Bueno, la órbita lunar no es circular, sino elíptica. ¿Es posible que la Luna estuviera en ese momento, más cerca? Da igual, ya que el perigeo lunar, es decir, la mínima distancia entre la Luna y la Tierra, es de 363.295 km. Así que no, no hay forma de que estuvieran a 237.000 km y además, más lejos de la Tierra que la Luna. Lo curioso es que si nos acordamos que en EEUU utilizan normalmente las millas como unidad de distancia, resulta que 237.000 millas equivale a unos 381.400 km. Vaya, es este caso ahora sí sería posible que las naves están algo más allá de la Luna. Por tanto, parece que alguien cometió un error confundiendo unidades (porque Sulu dice claramente kilómetros, no millas).

Otra cosa digna de mención, es que la luz tarda 1,3 segundos en ir de la Tierra a la Luna. El Enterprise se dirigía hacia la Tierra, desde Qo'nos, el mundo natal de los Klingon, tardando escasos minutos (saltándose las distancias y velocidades establecidas en las series). Puesto que las distancias que separan las estrellas es del orden de años luz (Próxima Centauri, la estrellla más cercana a nuestro sistema solar, está poco más de 4 años luz), es evidente que su velocidad era de varias veces la velocidad de la luz. ¿Cuántas veces? Bueno, vamos a suponer que la velocidad era de un año luz por minuto. Es un valor deliberadamente bajo, ya que Qo'nos no está en Próxima ni Alfa Centauri, por lo que debe estar a más de 5 años luz de distancia, y el viaje se hace en menos de 5 minutos. Aún así, eso es unas 500.000 veces la velocidad de la luz, y quiere decir que recorrerían la distancia de la Tierra a la luna en dos millonésimas de de segundo, y atravesarían el Sistema Solar de punta a punta, en milésimas de segundo. Teniendo en cuenta que no salieron voluntariamente de la velocidad warp, sino que fue consecuencia del ataque del Vengance, y aparecen en las proximidades de la Luna ¿a dónde querían ir? En un instante se iban a pasar de largo todo el Sistema Solar. Si es que van como locos.

Vamos ahora con la caída. Tras la explosión en el interior del Vengance, el Enterprise se queda sin energía. Vemos cómo las luces se apagan, tanto en un plano externo, como en uno en el interior del puente. Como consecuencia de ello, cae hacia la Tierra mientras la tripulación intenta restablecer la energía desesperadamente. En uno de los planos, vemos al Enterprise ladeándose, y golpeando algún escombro, al ser atraido por la gravedad terrestre.

Pero eso no tiene ningún sentido. Recordemos que las naves y los escombros estaban flotando en las proximidades de la Luna, y que se mantuvieron allí durante un buen rato. Insisto: los escombros estaban flotando, manteniendo su posición relativa con respecto a las naves. Y es obvio que los escombros no tenían ninguna propulsión propia. Entonces ¿por qué de pronto comienza a caer el Enterprise de forma dramática? ¿Por qué sólo el Enterprise y no los escombros?

Uno podría estar tentado de justificarlo apelando a la enorme masa de la nave. Como el Enterprise tiene una masa mucho mayor que los escombros, pues es atraido con una fuerza mayor. Después de todo, la gravedad es directamente proporcional al producto de las masas ¿no? Sí, pero como la aceleración que produce una fuerza sobre un cuerpo es igual al cociente entre la fuerza y la masa, resulta que la aceleración debida a la gravedad de un planeta es la misma, sin importar la masa del objeto. Es decir, un objeto con una masa 100 veces la de otro, será atraido por la Tierra cor una fuerza 100 veces mayor que éste. Pero precisamente por eso, la aceleración de ambos objetos será la misma. Así que no tiene sentido que mientras que los escombros permanecen estables, el Enterprise caiga, «barriendo» los que encuentra a su paso.

Y no es sólo eso. Desde esa distancia, las cosas tardan en caer mucho tiempo. Para hacernos una idea, el viaje de vuelta del Apolo XI duró unas 60 horas. Y lo que hicieron básicamente fue dejarse caer desde las proximidades de la Luna. Así, sería perfectamente posible que desde que salieron de la velocidad warp, las naves (y los escombros que se generan después) estuvieran ya cayendo durante esos minutos que dura el enfrentamiento. Sin embargo, en la peli, el Enterprise tarda escasos minutos en caer y entrar en la atmósfera terrestre. Además, el Enterprise pasa de estar estable, a caer dando vueltas. No tiene ningún sentido.

Y ahora vamos con lo que ocurre en el interior del Enterprise, durante la caída. A medida que la nave cae, se inclina a ratos. Se nos dice que el sistema de gravedad artificial ha fallado, por lo que cada vez que el Enterprise se inclina, desde la persectiva de los tripulantes, lo que antes era el suelo, pasa a ser una pared. Es decir, los tripulantes se ven atraidos en todo momento hacia la Tierra, en vez de al suelo de la nave.

Pero como ya sabéis los habituales de este blog, la caída libre y la ingravidez son equivalentes. En el interior de un contenedor en caída libre (y sin rozamiento del aire), los objetos de su interior se comportan como si estuvieran ingrávidos. De hecho, la ingravidez absoluta no existe. Los astronautas en el interior de un vehículo espacial, flotan porque el vehículo está en órbita, que es lo mismo que decir que está en caída libre. El Enterprise cae hacia la Tierra, sin impulsores, y durante gran parte del tiempo está fuera de la atmósfera, es decir, está en caída libre sin rozamiento. Si la gravedad artificial ha dejado de funcionar, los tripulantes deberían estar simplemente flotando en su interior, en vez de precipitarse por pasillos verticales.

Uno podría estar tentado de pensar que no es que la gravedad artificial deje de funcionar completamente, sino que lo hace de forma incorrecta, y se orienta de forma equivocada. Pero el montaje de toda la secuencia, muestra claramente que cada vez que la gravedad cambia de dirección, es porque el Enterprise se inclina. Es más, cuando ocurre la primera vez, Spock y Sulu hacen referencia a los estabilizadores, y a intentar tener energía para al menos estabilizar la nave y permitir una evacuación. Estos diálogos, junto con el montaje, deja claro que la idea de los guionistas era que la gravedad en el interior de la nave fuera siempre dirigida hacia la Tierra. Es decir, que no había gravedad artificial alguna.

Y esto es todo, en lo que a ciencia se refiere. Lo de que nadie se de cuenta de que hay una batalla al lado de la Capital de la Federación, de forma que no se envíen otras naves a ver qué está ocurriendo, lo dejaré para el que se dedique a los agujeros argumentales.

El interior de una Tierra hueca

Últimamente estoy releyendo los álbumes de «Valérian: agente espacio-temporal» (posteriormente renombrados como «Valérian y Laureline»). En la historia «El país sin estrella», aparece un concepto clásico de la ciencia ficción: un planeta hueco, con un sol en su interior, y habitantes en la superficie interna. Como digo, el concepto es un clásico, pues ya lo había utilizado Edgar Rice Burroughs (sí, el de Tarzán y John Carter de Marte) en su serie de Pellucidar (no he leído ninguna novela, pero sí vi en su día la adaptación cinematográfica de «En el corazón de la Tierra»). Y puede que los que hayan disfrutado en su infancia de los libros de «Elige tu propia aventura», recuerden «El reino subterráneo».

En todas las versiones de este tipo de ambientación, la idea es la misma: el planeta en cuestión es hueco, y la corteza es bastante densa. De esta forma, la masa de la corteza es suficiente para que su gravedad mantenga sujetos a ella, tanto a los habitantes del exterior como del interior. El sol interno se encuentra exactamente en el centro, proporcionando luz y calor a ese mundo subterráneo e invertido.

¿Cómo se calcula la gravedad en un caso así? En el colegio nos enseñaron la famosa Ley de Gravitación, que nos dice que la gravedad es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, y que se puede expresar con la igualmente famosa fórmula: F = G·M·m/r². Pero para aplicar esta fórmula, debemos suponer que la masa de cada objeto está concentrada en un punto (que llamamos centro de gravedad). Esta simplificación es perfectamente válida cuando queremos calcular las trayectorias de planetas y otros objetos astronómicos, que estén muy alejados entre sí. Pero en otros casos (como el que nos ocupa), no nos vale. Los cuerpos reales tienen volumen, y su masa está distribuida por ese volumen.

¿Qué hacemos entonces? Pues dividimos nuestros objetos de estudio en trozos muy pequeños, de forma que cada uno de esos trozos pueda considerarse un punto, aplicamos la fórmula para cada punto, y sumamos todos los pequeños resultados. Llevando este planteamiento a su extremo, consideraríamos que el objeto está formado por infinitos puntos de tamaño cero, y calcularíamos la suma de sus infinítamente pequeñas propiedades. Es decir, realizamos un cálculo integral.

Como nunca he puesto en este blog una operación matemática más complicada que una multiplicación (bueno, alguna vez he puesto una potencia), y no quiero empezar ahora, remitiré a los interesados en el desarrollo matemático, a la estupenda web HyperPhysics, o a la Wikipedia. ¿Y cuál es el resultado? Pues el propio Isaac Newton ya lo desarrolló en su famoso libro «Philosophiæ naturalis principia mathematica». Para cualquier punto en el interior de una esfera hueca homogénea, ya sea cerca del centro, o en la misma superficie interior de dicha esfera, la fuerza gravitatoria total es siempre la misma: cero.

Sí. Cero. Si imaginamos un planeta hueco, con una densidad más o menos uniforme en su corteza (al menos, con simetría esférica, es decir, que para cada «capa» esférica, la densidad sea la misma en cualquier punto), en su interior hueco, la gravedad sería nula. Sus supuestos habitantes flotarían, a menos que se agarraran al terreno de alguna forma.

La situación va a peor si encima imaginamos que en el interior de nuestro planeta hueco, hay una pequeña estrella. Ese objeto tendrá masa, lógicamente, por lo que tendrá su campo gravitatorio. ¿Y hacia donde empujaría esa gravedad a cualquier objeto? Pues hacia la propia estrella. Así que los supuestos habitantes del interior del planeta hueco, ya no es que tuvieran que agarrarse a algo para no flotar, sino que literalmentemte, caerían hacia su sol interior.

Hemos supuesto que el planeta es más o menos homogéneo. La simetría esférica de la densidad de la corteza es necesaria para que la gravedad sea cero en el interior hueco del planeta. Pero sabemos que los planetas no son tan simétricos. Hay irregularidades, protuberancias, oquedades, distintos materiales, etc. Así que en un planeta real, es posible que estas irregularidades rompan el equilibrio de fuerzas, y que en algunos lugares, la resultante de la fuerza gravitatoria no sea cero. Pero estas diferencias por lo general serían muy pequeñas. Y fijaos que no sólo hace falta una pequeña fuerza para no flotar, sino que hay que contrarrestar la gravedad de la estrella interior.

Bueno, supongamos que en alguna región del planeta hay algún mineral extremadamente denso, de forma que la diferencia de fuerzas gravitatorias fuera significativa. Tenemos otro problema. No sólo mantendría a los habitantes en el suelo, sino que atraería al sol interno hacia esa zona, por lo que en poco tiempo, achicharraría toda vida posible, antes de colisionar contra la corteza y producir un cataclismo de proporciones planetarias.

Así que, me temo que, ni Pellucidar, ni el planeta sin estrella de Valerian, ni cualquier otro mundo similar, son posibles. Por mucho que nos pueda fascinar una idea así.