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miércoles, febrero 26, 2014

Total Recall (Desafío Total): La Catarata

Llego con un par de años de retraso (cosas de no poder ir a los estrenos de cine), y el profe de física se me adelantó en su día. Aún así, voy a dedicar el post a la película Total Recall (Desafío Total). No, no me refiero a la de Verhoeven de 1990, sino al remake de 2012. Concretamente, voy a comentar algunos aspectos de la gigantesca estructura que conecta los dos únicos puntos habitados de la futura y apocalíptica Tierra: La Catarata.

Diagrama de La Catarata

Para el que no haya visto la película, La Catarata (poco acertada traducción de «The Fall», que también significa «caída», y es bastante más apropiado) es una especie de gigantesco tren subterráneo que une Gran Bretaña con Australia, atravesando la Tierra. En realidad, más que un tren, sería un ascensor. El vehículo tiene forma de gigantesco cilindro, del tamaño de un edificio de varias plantas, que cae por un tunel casi vertical. No es totalmente vertical, ya que el tunel se curva un poco para rodear el núcleo interno, como se nos muestra varias veces de forma esquemática en las pantallas que hay dentro del vehículo. A mitad de camino, al atravesar el núcleo externo, se experimentan unos minutos de ingravidez, que se aprovechan para dar la vuelta a los asientos, de forma que al volver la gravedad (que lógicamente, lo hace de forma invertida), el arriba y el abajo estén donde deban. El tiempo total de viaje es de 17 minutos. Hacia el final de la peli, justo al terminar de atravesar el núcleo y restablecerse la gravedad, vemos a los protagonistas salir al exterior y ser sometidos a un terrible viento, por lo que se debe deducir que el tunel tiene aire respirable, y la velocidad es soportable.

La idea de una estructura semejante no es nueva. Recuerdo leer de niño uno de los fantásticos libros de Ediciones Plesa, donde se planteaba dicho sistema, aunque con un tunel donde se había hecho el vacío, y conectando dos puntos menos separados en línea recta de forma que no se acercara demasiado al núcleo. Y parece ser que ya se planteó en tiempos de Newton.

Vamos a obviar todo lo relacionado con cómo constuir una estructura semejante, mantenerla, y acondicionar el vehículo para que sus ocupantes sobrevivan, teniendo en cuenta las extremas temperaturas y presiones que podemos encontrar en el interior de la Tierra. Supongamos que en el futuro se han descubierto nuevos y maravillosos materiales que lo permiten, y centrémonos únicamente en las leyes físicas.

Imagen de la película, con los personajes flotando en el interior del ascensor

Así que empecemos por lo que primero llama la atención: el periodo de ingravidez. Durante todo el viaje, la gravedad en el interior del ascensor es normal, hasta llegar a un punto en el que desaparece bruscamente, para luego volver también de forma brusca. Como podéis suponer, la realidad es diferente. La gravedad varía de forma gradual, no brusca. Y sólo hay un punto donde sea totalmente nula: justo en el centro de gravedad de nuestro planeta.

¿Cómo varía la gravedad a medida que descendemos por un tunel hasta el centro de la Tierra? Nos encontramos ante un problema que afortunadamente para nosotros, ya resolvió Newton en su día: la gravedad en el interior de una esfera. Para calcular la gravedad en un punto, trazamos una superficie esférica imaginaria, con centro en la esfera real, y radio igual a la distancia al punto en cuestión. La esfera queda dividida en dos partes: una esfera más pequeña, con el punto en su superficie, y una cáscara esférica, con el punto en su superficie interior. Si calculamos la gravedad debida a cada una de las partes, y las sumamos, obtendremos el resultado. Pero como la gravedad en cualquier punto del interior de una esfera hueca es nula, sólo debemos calcular la gravedad debida a la porción esférica que está justo debajo del punto. Si suponemos que la esfera es homogénea, de densidad constante, resulta que la masa disminuye de forma cúbica con el radio (linealmente con el volumen, y el volumen es proporcional al cubo del radio). Como sabéis, la gravedad es directamente proporcional al producto de las masas, e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia. Si juntamos ambos efectos, tenemos que la gravedad disminuye de forma lineal a medida que descendemos por el tunel.

Pero en realidad, la Tierra no es homogénea. La densidad del manto es mayor que la de la corteza, y la del núcleo mayor que la del manto. Usando los datos del llamado PREM, a medida que uno desciende, la gravedad se mantiene más o menos constante en la corteza y el manto, llegando a incrementarse al acercarse al núcleo exterior. Pero una vez traspasado ese punto, disminuye de forma más o menos lineal. Sólo se hace cero justo en el centro. Así que no, no se puede producir un periodo de ingravidez de varios minutos. Y teniendo en cuenta que el tunel no atraviesa siquiera el núcleo interno, no hay ningún punto del trayecto en el que la gravedad pueda ser nula.

¿O sí? Como ya he explicado muchísimas veces, caída libre e ingravidez son equivalentes. Alguien podría decir que al estar cayendo el ascensor, se experimentaría ingravidez en su interior durante todo el trayecto. Pero el ascensor no está en caída libre. En el tunel hay aire, como queda de manifiesto al final de la peli, cuando los protagonistas salen al exterior del ascensor. Eso quiere decir que tras unos segundos de caída, la fuerza de la resistencia del aire igualaría a la gravedad, alcanzándose la llamada velocidad terminal, y el ascensor descendería a velocidad más o menos constante. Esto implicaría que el aparato no tendría suficiente velocidad para la segunda parte del trayecto (la subida), y necesitaría algún tipo de propulsión.

Es mas. Dado que en la peli, al inicio del viaje no observamos ingravidez, podemos deducir que el ascensor nunca cae libremente, y que inicia su descenso de manera controlada. Esto es, nunca alcanza una aceleración de 1 g, sino que siempre será menor. Quedaos con este dato.

El tiempo de viaje del ascensor es de 17 minutos. Este es un dato que se repite varias veces a lo largo de la película. El diámetro medio terrestre es de unos 12.742 km. Puesto que el tunel no es recto y rodea el núcleo interno, la distancia sería algo mayor. Pero si hilamos fino, descubriremos que las islas británicas y Australia no están exactamente en sus respectivas antípodas. Las coordenadas geográficas de Londres, por ejemplo son 51° 30' 26" N, 0° 07' 39" O. Sus antípodas, por tanto, están en las coordenadas 51° 30' 26" S, 179° 52' 21" E, un punto situado en el océano, fuera de Australia, más allá de Nueva Zelanda. La distancia en línea recta desde Londres a Sydney, es algo menor que el diámetro terrestre. Así que vamos suponer que una cosa se cancela con la otra, y usemos el diámetro terrestre como distancia. Sólo queremos hacer una aproximación.

Pues bien, recorrer 12.742 km en 17 minutos, supone una velocidad media de casi 45.000 km/h. Para hacernos una idea, la velocidad de escape en la superficie de la Tierra es de 40.320 km/h. Es decir, la velocidad media del ascensor es superior a la de escape. Pero pienso, que es más ilustrativo tener en cuenta que la velocidad habitual de reentrada de los ya jubilados transbordadores espaciales de la NASA, era de unos 30.000 km/h. Y fijáos que lo que he calculado es una velocidad media. Puesto que el ascensor parte del reposo, y frena en su destino, la velocidad máxima es aún mayor. Obviamente, el ascensor no puede estar simplemente cayendo, sino que necesariamente debe llevar algún tipo de propulsión, superior a la de los actuales cohetes espaciales, pero tan pequeña que nunca la vemos en los planos generales. Y obviamente, a esa velocidad, ningún ser humano podría sobrevivir en el exterior del ascensor.

En la red hay varios sitios donde se explica cómo calcular el tiempo de caída libre a través de un tunel al que se le ha hecho el vacío, que atraviese el centro de la Tierra, y suponiendo que la densidad de nuestro planeta es la misma en cualquier punto. Podéis visitar Hyperphysics o Física de Película, por ejemplo, y descubrir que el tiempo total de viaje sería de poco más de 42 minutos. En WolframAlpha Blog van más allá, y han tendido en cuenta la variación de la densidad terrestre a lo largo del trayecto (aunque suponiendo una trayectoria totalmente vertical, atravesando el centro). A ellos les salen 46 minutos, pero en los comentarios lo corrigen, indicando que serían 38 (si al principio del viaje la aceleración de la gravedad no disminuye, tiene sentido que el tiempo sea menor que si consideramos que disminuye linealmente).

En cualquier caso, podemos ver que incluso con la cifra más favorable, el tiempo es muy superior al de la película. Entonces cabe preguntarse ¿a qué tipo de aceleración y posterior frenado es sometido el ascensor? Y fijaos que en caída libre, en el interior se experimentaría ingravidez durante todo el viaje. En el caso de estar sometido el vehículo a una aceleración superior a 1 g, los ocupantes deberían ser empujados hacia el techo. Y si bien los pasajeros van sentados y bien atados con unos arneses, en los planos que nos muestran parece que están bastante cómodos y despreocupados. No parece que estén sufriendo una gravedad invertida, es decir, no parece que estén «boca abajo».

Uno podría suponer que en esa época se ha descubierto algún sistema de gravedad artificial casi mágica, al estilo de Star Trek o Star Wars, de forma que en el interior se pueda tener la gravedad deseada (1 g ó 0 g), independientemente de la aceleración y gravedad real, y algún sistema de propulsión que es capaz de impulsar un gigantesco tren a velocidades superiores a la de escape, en el interior de una atmósfera (la resistencia y aislamiento térmico, ya lo hemos supuesto desde el momento en el que tenemos que atravesar el núcleo). Pero eso no explicaría lo que ocurre al final de la peli (tranquilos, sin spoilers):

Imagen de la película, que muestra a los protagonistas trepando por una escalerilla, en el exterior del ascensor.

Los protas salen al exterior del ascensor, justo tras restablecerse la gravedad (esto es, tras atravesar el núcleo externo), y son perseguidos por los villanos. Vemos como suben por una escalera vertical de servicio, con mucho viento, pero sin demasiadas dificultades, hasta llegar al techo del ascensor, donde se produce un enfrentamiento con los malos. Bueno, vamos a suponer que el tunel está hecho de un material que puede aislarles del calor del manto. Si la velocidad media es mucho mayor que la que sufre un vehículo espacial en la reentrada, los personajes habrían sido incapaces de sujetarse a una escalera vertical. Pero además, tendrían que haber muerto carbonizados. Como sabéis, en una reentrada, los vehículos espaciales se calientan mucho (pudiendo ser trágicamente mortal, si hay algún problema con el escudo térmico). Esto es debido a la enorme velocidad a la que se desplaza. El aire que se encuentra delante de ellos se comprime muy rápidamente, elevando su temperatura. En el caso que nos ocupa, la velocidad es mayor, y la densidad del aire también, por lo que la temperatura exterior debería ser incluso mayor que la que soporta un vehíclo espacial durante la reentrada.

Así que, tal y como está planteado en la peli, el comportamiento del ascensor no tiene sentido. Y fijáos que no es cuestión de tecnología. Es simple física.

19 comentarios:

  1. Hola Alf y seguidores,

    Genial entrada, como siempre. Llevo años siguiendo tu blog pero hasta ahora no me había atrevido a comentar ninguna entrada.

    Sólo por hilar un poco más fino. Al ir el túnel siempre a una cierta distancia del núcleo interno y no atravesarlo, ¿No habría un espacio de tiempo en el que la gravedad sería perpendicular o casi perpendicular al túnel? Si mi razonamiento no es incorrecto, eso haría que existiese un rozamiento mayor con las vías, carriles o lo que llevase para poder mantener la trayectoria. Esto, a su vez provocaría que fuese necesario un sistema de propulsión ya que durante un espacio mayor de tiempo la gravedad no sólo no contribuiría a la caída del ascensor sino que la perjudicaría.

    En fin, espero no haber metido demasiado la pata.

    Un saludo y gracias por el esfuerzo que haces por mantener el blog.

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    1. Tienes razón, aunque con determinados materiales puede conseguirse que el rozamiento sea independiente de la carga.

      Hay una cosa de lo que has comentado que es más interesante. La gravedad irá inclinándose a medida que la trayectoria se desvía de la vertical, llegando a ser perpendicular, y terminando el giro hasta completar los 180º. Entonces, para que el viaje sea cómodo, los asientos deberían ir inclinándose también al mismo tiempo, de forma que los pasajeros siempre tengan el abajo donde debe.

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  2. Una unica correccion, como Daniel Marin dice a menudo, no exiten las reentradas, solo entradas, a seca.
    Una nave SALE de la atmosfera y vuelve ENTRAR, no RE ENTRA, es decir, entra dos veces consecutivas.
    Hilando mas fino, el hecho de reentrar es fisicamente imposible en cualquier forma imaginable. Ejemplo; si estoy en una habitacion y salgo de ella solo puedo entrar en una ocaison, ya que una vez dentro no puedo volver a entrar sin salir antes.
    Reentrar implica repetir por segunda vez consecutivcamente el acto, pero por definicion, salir y entrar son actos univocos, si se esta dentro, solo se puede salir una vez y si se esta fuera solo se puede entrar una vez.

    De hecho, el prefijo RE es muy delicado ya que solo deberiamos usarlo en los verbos que implican repeticion; rebote. Y no en aquellos que son intrinsecamente univocos.

    Supongo que es una de esas tontadas del ingles que han quedado como "correctas" porque nadie se para a pensar y acepta como correcto lo que oye simplemente porque lo oye. Defectos del aprendizaje po rimpregnacion.

    J.Diaz

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    1. Sería interesante investigar si el término reentrada deriva del proceso de frendo de las cápsulas Apollo (skip reentry), en el cual hay una entrada inicial que se emplea para reducir velocidad, seguida de un pequeño rebote de subida para enfriar la cápsula y "tomar puntería", y una nueva entrada ya a menor velocidad y con el objetivo de aterrizar. Realmente son dos entradas, por lo que el término tendría sentido.
      http://en.wikipedia.org/wiki/Skip_reentry

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    2. Bueno, lamento discrepar con Daniel Marín, pero reentrar tiene todo el sentido, en castellano, en inglés y en latín y en lo que quieras.

      Para empezar, existe en inglés to reenter, que es volver a entrar, de un sitio de donde se ha salido: to enter again; return into. Como la nave espacial salió de la atmósfera terrestre, obviamente *vuelve* a ella, y por tanto reentra. El problema viene porque el castellano tiene un cierto matiz más dejado y no le gusta precisar tanto, si tú sales de casa, y vuelves a entrar, haces eso "*vuelves* a entrar", pero no "reentras", pero el verbo tendría todo el sentido, sin embargo se prefiere la perífrasis. Si no quieres decir reentrada para la nave espacial, entonces hay que hablar de "volver a entrar", y no puedes ponerla en participio "vuelta a entrar", ergo, "reentrada".

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    3. Y por liarse un poco más: la partícula proclítica re- del latín originalmente era red-, en ablativo, lo que indica que el aspecto de repetición, que se ha vulgarizado en todas las lenguas romances era minoritario respecto al de retroceso, alejamiento o retorno, típico ejemplo, eo, ir, redeo, volver, facio, fero, transportar, refero, llevar hacia atrás (en castellano dio "referir"), iaceo, yacer, reicio, rechazar, lego, coger, renir, relego, relegar, peto, dirigirse a, buscar, repeto, atacar (cast. repetir), así que el prefijo re- tiene vida más allá del vulgarismo "repetir", "volver a", y finalmente, la etimología del reenter inglés es el francés rentrer, "volver a casa", À trois heures du matin, je suis rentré chez moi (a las tres de la mañana, volví a casa), así que...

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  3. No deseo liarla en un tema tanjencial.

    Señor Llaurado, aunque sea cierto el origen en el hecho que usted comenta, no lo dudo, en ese caso solo seria aplicable a esa tecnica de entrada y seguirian siendo DOS entradas consecutivas o una interrupcion en la trayectoria de entrada, no una reentrada, y no seria, en todo caso, aplicable a otras situaciones en las que no usen ese procedimeinto, ¿no le parece?

    Señor anonimo, muy erudito, si señor, pero no, no me convence en absoluto. Que tecnicamente sea "correcto" desde el punto de vista filologico no impide que sea absurdo, no se puede entrar dos veces, solo una.
    Podemos hacer ochocientos experimentos a lo cazador de mitos y no se podra demostrar que pueda entrarse dos veces consecutivas, se entra y se sale, en cuanto a los argumentos linguisticos y exolinguisticos, pues bueno, no soy linguista y evidentemente no voy a intentar revatirle, pero si es cierto que no seria el primero en defender que no se debe anteponer una exotica explicacion gramatical a el uso logico y literal del lenguaje castellano, que , a diferencia de esos idiomas que menciona, se debe escribir literalmente.

    En fin, soy un ignorante, asi que permitame seguir sintiendo crujidos con los reentrada, nominaciones, a nivel de calle, etc.

    Atentamente.

    J. Diaz.

    Lamento divagar, no lo hare mas.

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    1. Sr. Diaz, victimismo no, por favor, es la peor costumbre hispanistana, y además es contraproducente.

      No estamos hablando de convencer a nadie, sino de auditar un problema y ver si tiene solución académica. Si de lo que se trata es de estética, que cada uno tiene la suya, y quiere usted votar sobre ella (porque en Hispanistán se votan chorradas, y no se permite votar sobre lo que es serio), entonces el que se calla soy yo. Yo le he dado más que sobradas pruebas de que el término es perfectamente correcto y concisamente adecuado, es más, es que decir "entrada" en la atmósfera terrestre no tiene sentido, tendría sentido si fuera de la Tierra a Júpiter, y entrase en la atmósfera joviana (por primera vez), pero no tiene sentido para volver a la atmósfera de donde ha salido.

      No estamos hablando de un capricho del idioma, que no tiene relevancia, sino de un término técnico, que precisamente sí la tiene. Así que no es cuestión de si le convenzo o no, es como si usted va al médico y no le convence, usted mismo.

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  4. Si el "tren" tuviese una propulsión dirigida hacia abajo, los pasajeros podrían tener la sensación de una gravedad dirigida "hacia arriba". Para que estuviesen cómodos, se deberían poner invertidos los asientos.

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  5. Anglicismo, latinismo... o derivado del klingon, lo mismo da. La RAE no acepta reentrada ni reentrar. Fin del problema.

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    1. En cuestiones científicas, la RAE no es ninguna referencia ni autoridad.

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  6. La RAE tampoco acepta enrutador (no digamos ya "ruter" o "router"). ¿Cómo llamamos entonces los informáticos o telecos a los dispositivos de red que permiten que Internet funcione?

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  7. Si se tiene en cuanta que la trayectoria no es polo-polo, el tren este debería tener una velocidad lineal debida a la rotación de la Tierra. Esta velocidad se mantiene, pero conforme te acercas al centro de la Tierra, al tener menor distancia hasta el centro, hace que en realidad la cápsula corra más (en sentido tangencial) de lo que debería. Por tanto la trayectoria en caída libre no pasaría por el centro, sin necesidad de hacer nada ni aplicarle fuerzas. Lo que no tengo nada claro es qué trayectoria seguiría ni dónde saldría.

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  8. Pues tienes mucha razón. Habría que tener en cuenta el efecto Coriolis, y ver cómo se aplica en este caso concreto.

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    1. ¿Quizá con una "caída" en espiral? Lo cierto es que lo digo sin saber mucho, pero quizá así podría corregirse . Claro que entonces puede que el túnel fuera tan largo que no mereciera la pena. ¿O sí? No sé. Divago.

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    2. Mmmm... no creo que hubiera que llegar a eso. El efecto Coriolis desviaría ligeramente la trayectoria, pero no tanto. Piensa que la Tierra hace una rotación completa en 24 horas, y el viaje tarda menos de una. Símplemente supondría un mayor rozamiento en un lado, y por tanto, pérdida mayor de energía que habría que compensar al final, en forma de propulsión.

      Si quisiéramos adaptar el tunel, trazando una curva, deberíamos hacer dos túneles, ya que en cada sentido, la desviación es diferente.

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  9. la he visto este fin de semana, al final creo que toda la peli es una excusa para volver a ver lo principal: la prostituta de tres tetas

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