Arrow: Coordenadas geográficas

Hace ya varios meses me decidí a despertar este blog, pero la verdad es no esoy cumpliendo con ello. Sigue estando aletargado. Pero a veces, ocurren cosas que lo hacen despertar.

Soy un seguidor de la terna Arrow, The Flash y Legends of Tomorrow. Para ver estas series hay que tener bastante suspensión de la incredulidad. Sobre todo con Legends of Tomorrow, que está superando a Doctor Who en cuanto a incoherencias con viajes en el tiempo. Pero hay cosas que directamente no tienen ningún sentido, y van más allá de lo absurdo.

Eso pasó en el episodio de Arrow de hace unas semanas, que formaba parte del crossover llamado «Invasion!» (basado en el evento con mismo nombre que ocurrió en los cómics DC, a finales de los 80). No, no voy a hablar de superpoderes, ni de alienígenas, ni de viajes en el tiempo, ni de magia, ni de tecnología imposible. No. Lo que voy a comentar es algo muy sencillo, pero que supera todo.

Veréis, al final del episodio de The Flash, Oliver y compañía (es decir, Green Arrow y algunos compañeros) son abducidos por los dominadores (los alienígenas que atacan la Tierra) mediante alguna tecnología teletransportadora, a lo Star Trek. En el episodio de Arrow, Felicity y Cisco ponen sus cabezas a trabajar para averiguar dónde los tienen. No voy a entrar en cómo lo hacen, que es una mezcla de entender tecnología alienígena nunca vista y algo de esoterismo. Os reproduzco el siguiente diálogo:

FELICITY: La señal viene de... no es posible. Latitud -3.127, longitud -23.7987.

CISCO: Pero eso no tiene ningún sentido. Las coordenadas geográficas no tienen números negativos.

FELICITY: Quiero decir, las tienen. Sólo cuando... ¡Oh, Dios mío! Creo que sé dónde están.

Y entonces hay un corte que nos muestra a Oliver y sus amigos (tras intentar escapar), mirando perplejos el espacio exterior, dentro de una nave alienígena.

Recapitulemos por si alguien se ha perdido. Según los guionistas de Arrow, las coordenadas geográficas tienen valores positivos en la Tierra, y negativos en el espacio. Sí. Así como lo estáis leyendo.

Bueno, vamos a repasar lo que nos enseñaron en el colegio sobre las coordenadas geográficas. Para ello, debemos recordar que la Tierra tiene una forma más o menos esférica (aunque ya sabemos que no es una esfera perfecta). Eso quiere decir que cualquier punto de su superficie puede representarse mediante dos coordenadas, siendo cada una de ellas un ángulo con respecto a un plano fijo.

Pues bien. La latitud de un punto es el ángulo que forma dicho punto con el ecuador, expresado en grados. Eso quiere decir que todos los puntos del ecuador tienen latitud cero, y que los polos tienen latitud 90. Obviamente, necesitamos indicar si el ángulo es hacia el norte o hacia el sur. Por convenio se considera que hacia el norte la latitud es positiva, y hacia el sur, negativa. Eso quiere decir que la latitud del polo sur es -90.

Por otro lado, la longitud de un punto es el ángulo que forma dicho punto con el meridiano cero. Dicho meridiano es una línea de norte a sur, que establecemos como referencia. En la actualidad, como muchos sabréis, se usa el meridiano de Greenwich, llamado así porque pasa por el antiguo observatorio astronómico de Greenwich, Londres. Al igual que con la latitud, necesitamos indicar el sentido del ángulo, es decir, hacia el este o hacia el oeste del meridiano. Por convenio, se considera el este como positivo y el oeste como negativo.

Como podéis ver, las coordenadas geográficas pueden tener perfectamente valores negativos. Es algo normal. Es más, como habréis podido deducir, sólo una cuarta parte de la superficie terrestre tiene coordenadas geográficas positivas. El resto, tiene al menos una coordenada negativa. Por curiosidad, si vais a Google Maps y ponéis en la caja de búsqueda «-3.127, -23.7987» veréis que las coordenadas corresponden a un punto en el Oceano Atlántico.

Fijaos que en ningún momento he mencionado la altura. Eso es porque la latitud y longitud son coordenadas para situar un punto en una superficie esférica. Son bidimensionales (obvio, pues son dos valores). Unas mismas coordenadas pueden corresponder con varios puntos distintos, todos ellos en la misma vertical (de hecho, corresponde a todos los infinitos puntos de dicha vertical). Pensad por ejemplo en un edificio de varias plantas. Si pensamos que los pisos están distribuidos de la misma forma, la puerta de entrada de cada planta, por ejemplo, tendrá las mismas coordenadas en cada una. Por tanto, no tiene ningún sentido que unas coordenadas geográficas indiquen un punto en el espacio. En todo caso, representarían la proyección de dicho punto en la superficie terrestre, con lo que no serviría de mucho.

Así que como veis, el que unas coordenadas geográficas negativas indiquen un punto en el espacio exterior, es algo totalmente absurdo. No tiene ni pies ni cabeza. Y no, no vale eso de que «es una serie de ciencia ficción». Eso vale para los alienígenas, superpoderes, viajes en el tiempo y demás. Pero no para cambiar un sistema de coordenadas definido.

Fringe: Espectro electromagnético

Hoy toca Fringe otra vez. Como comenté en el envío anterior, en los primeros capítulos ya vi dos cosas muy destacables, y hoy voy a comentar la segunda. En el tercer capítulo de la primera temporada, aparece lo que denominan «red fantasma», que es una red de comunicaciones clandestina que usan «los malos», indetectable por medios convencionales. La explicación es que hay un espectro desconocido de ondas, que son las que usan para comunicarse. Como es un espectro que nadie más ha descubierto, es un medio de comunicación totalmente seguro (no hay nadie inesperado escuchando). El «científico loco» dice literalmente: «un espectro de ondas, fuera del rango de las ya descubiertas».

Bueno, eso del espectro desconocido, o por descubrir, no tiene ningún sentido. El espectro electromagnético no es algo que se descubra o que permanezca oculto, ya que no es algo físico. Es simplemente un nombre que se le da a todo el rango posible de frecuencias, desde el cero hasta el infinito (sin incluir ninguno de los dos, pues por definición, una frecuencia cero no es una oscilación, y el infinito es un concepto abstracto e inalcanzable).

Es como si decimos, por ejemplo, que hay por ahí una nueva escala de temperaturas desconocida, fuera del rango conocido. No me refiero a escalas en el sentido de unidades, sino a un nuevo rango de temperaturas. A un nuevo concepto de tempraratura. O pensad en un nuevo rango de distancias desconocido. O en una nueva recta real desconocida (y antes de que alguien lo mencione, que os conozco, que piense primero si una frecuencia imaginaria tiene algún sentido). Si el «rango conocido» abarca desde el cero al infinito (o desde el menos infinito al infinito, en el caso de los números reales, por ejemplo), es imposible que exista un «rango desconocido».

Si a lo que se refería era a que no utilizaban ondas electromagnéticas como todo el mundo, sino alguna otra cosa, la mención al espectro por descubrir, sigue sin tener sentido. ¿Diríais que el espectro de ondas sonoras (estén en el rango audible o no) son un «espectro fuera del rango» del electromagnético? Pues no. Decimos que son ondas diferentes, y que no tienen nada que ver una con la otra. Sin embargo, la explicación del espectro desconocido sugiere que se está hablando del mismo tipo de ondas pero con unas frecuencias desconocidas (que no están entre cero e infinito).

La única posibilidad coherente es que se usara una región no utilizada normalmente para comunicaciones. Cuando se hacen barridos de frecuencias para detectar una transmisión, es lógico ceñirse a las bandas utilizadas habitualmente. Pero eso no es usar un rango desconocido de ondas, sino un rango conocido y no explotado. Y de hecho, casi todo el rango utilizable para transmitir información, ya se usa, por lo que hay poco margen para encontrar un hueco en el que a nadie se le ocurra espiar. Si empezamos por las ondas de más baja frecuencia, y subimos a partir de ahí, tenemos los distintos tipos de radiofrecuencia (onda larga, corta, UHF, etc), que ya se utilizan para comunicaciones. Luego vienen las microondas, que también se utilizan para el mismo propósito (móviles, y enlaces entre torres de comunicaciones). Subimos y tenemos los infrarrojos, que ya se usan en los mandos a distancia (no solo de la tele, sino que hay periféricos inalámbricos para ordenadores, que también usan este rango para comunicarse). Más arriba está la luz visible, que se usa, por ejemplo, en las fibras ópticas. Por encima está la radiación ultravioleta, rayos X y gamma. Estos últimos rangos ya no se usan para comunicaciones (al menos sin cable) y por una muy buena razón: son radiaciones ionizantes, es decir, arrancan electrones de los átomos que golpean, y son muy dañinas para el ser humano. Si tenemos un aparato que emita esas frecuencias de forma indiscriminada, nos cargaríamos a gran parte de la población (y si queremos montar una red clandestina, eso es algo que llamaría mucho la atención, me parece).

Pero usar un rango no explotado en comunicaciones, no es lo que nos dicen en la serie. Nos hablan de un rango desconocido del espectro, o de un «espectro paralelo». Y eso no es que sea físicamente imposible, es que el concepto en sí mismo carece de sentido (como pensar en lo que hay más al norte del polo norte, o en un nuevo día de la semana desconocido).

Números racionales e irracionales

Todas las cosas tienen su final, y las vacaciones no son una excepción, así que aquí estoy de vuelta. El no ir a trabajar en periodos como éste, me permite ver de vez en cuando el concurso Saber y Ganar. El martes de la semana pasada (o el lunes, no estoy seguro), una de las preguntas que le hicieron a un concursante trataba sobre los números irracionales. Tras una introducción al número Pi, se le pregunta al concursante por qué el número π es un número irracional, y se le ofrecen tres posibles respuestas (los textos no son literales, ya que estoy escribiendo de memoria):

1. Es la raíz cuadrada de un número negativo.
2. Cada decimal se obtiene como la suma de los dos anteriores.
3. Tiene un número infinito de decimales.

Tras poner una cara un poco rara, el concursante contestó que en realidad, ninguna de las tres respuestas era correcta, pero que si debía responder con una de las tres, elegía la tercera.

Y es que un número irracional, si bien tiene un número infinito de decimales, no es la característica que lo define. No todos los números con infinitos decimales son irracionales, como podemos comprobar con el conocido 1/3 (0,3333...). En general cualquier fracción irreducible en cuyo denominador haya factores primos distintos del 2 y el 5, tendrá infinitos decimales.

La definición correcta de número irracional es algo que se estudia en el colegio: un número es irracional si no puede expresarse como una fracción (o razón, de ahí su nombre) de dos enteros. Como ejemplos clásicos tenemos el mencionado π, la raíz cuadrada de 2 (y en general, cualquier raíz cuadrada de un número entero que no sea el cuadrado de un otro entero), o el número e. Una característica de todo número irracional es que tiene infinitos decimales, pero a diferencia de con los números racionales, no hay una secuencia que se repita. Así, 1/3 tiene infinitos decimales, pero siempre es «3». La fracción 1/7, por ejemplo, también tiene infinitos decimales (0,142857142857...), pero en este caso es «142857» la secuencia que se repite. Con los numeros irracionales, sin embargo, no ocurre eso.

No puedo resistirme a comentar una curiosidad. Antes he mencionado que cualquier fracción en cuyo denominador haya un factor primo distinto de 2 y 5, tendrá infinitos decimales. Podéis hacer todas las pruebas que queráis. ¿Por qué si el denominador es únicamente factor de 2 y 5 no aparecen infinitos decimales, y el el resto de casos sí? Pues porque utilizamos un sistema en base 10, y precisamente 10 es factor de 2 y 5 (2x5=10).

¿Como? Bueno, en el colegio nos enseñaron también que el sistema de numeración que utilizamos (esto es, la forma que tenemos para representar los números) es posicional y en base 10. Es posicional porque dependiendo de la posición de un dígito, tiene un valor u otro. Así, en el número 147, el 1 nos está indicando en realidad «1 centena» (100), el 4 «4 decenas» (40), y el 7, «7 unidades» (7). Nuestro sistema es además en base 10 (o decimal), porque utilizamos 10 dígitos distintos para representar todos los números, de forma que cada posición equivale a una potencia de 10. Es decir, 147 es 100 + 40 + 7, que a su vez es 1·10² + 4·10¹ + 7·10⁰.

Fijáos ahora en lo siguiente. ¿Qué ocurre en esta representación si multiplicamos un número entero por 10? Fácil, que estamos «añadiendo un cero a la derecha». Así, en nuestro ejemplo anterior, 147 x 10 = 1470. ¿Y si multiplicamos un número con decimales? Pues que estamos «desplazando la coma a la derecha». Así, 1,25 x 10 = 12,5. Como consecuencia, cualquier número con una cantidad finita de decimales, al ser multiplicado por 10 tantas veces como decimales tenga, obtenemos un número entero. Si multiplicamos 1,25 por 10, dos veces, obtendremos 125.

Pensemos ahora en términos de fracciones. Si tenemos una fracción (irreducible) cuyo denominador sea únicamente factor de 2 ó 5, y multiplicamos una y otra vez por 10, llegará un momento en el que el numerador sea divisible por el denominador, puesto que estamos multiplicando por 2 y por 5. Cuando lleguemos a ese punto, tendremos un número entero. Pero si en el denominador hay otros factores distintos de 2 y 5, no importa cuantas veces multipliquemos el numerador por 10 (cuánto desplacemos la coma a la derecha). Nunca será divisible entre el denominador (quedarán decimales a la derecha de la coma).

Menciono esto como curiosidad, porque el que un número racional tenga una cantidad finita o infinita de decimales, depende del sistema numérico de representación. Así, en base 10, 1/5 es 0,2 (un solo decimal), mientras que en base 2 (o binario) sería 0,001100110011.. repitiendo «0011» hasta el infinito.

Lotería de Navidad

Últimamente parece que el universo conspira contra mí para impedirme actualizar el blog, pero uno es suficientemente tenaz, y esperar a que el universo se descuide. Así que aquí estoy de nuevo.

Mientras suena en la tele los inconfudibles «cantos» de los niños del Colegio de San Ildefonso, no puedo evitar recordar las supersticiones de mucha gente a la hora de comprar un décimo de la Lotería de Navidad, o las supuestas probabilidades con que nos han bombardeado los informativos.

Así, mucha gente es reacia a comprar números demasiado altos o demasiado bajos, o números con varios dígitos iguales, o números capicuas, o en general, cualquier número al que consideren «feo» (expresión escuchada infinidad de veces). Para rematar, los informativos de televisión nos repiten constantemente unas estadísticas de las cuales deducen que hay números o terminaciones con más probabilidad que otros.

Y la realidad es que, a menos que los bombos y las bolitas estén trucados, todos los números tienen las mismas probabilidades de salir. Tanto el 35.862 como el 11.111 están en el bombo, y se supone que todas las bolitas pesan lo mismo y tienen el mismo tamaño.

El evitar determinados números, es algo puramente psicológico. Hay tendencia a creer que en un sorteo, o en tiradas de dados, o en cualquier otro experimento consistene en la repetición del mismo suceso aleatorio, los resultados deben ser diferentes y uniformemente distribuidos. En el caso de la lotería (o la ONCE, por ejemplo), hay tendencia a pensar que los números «medianos» tienen más probabilidad de salir que los «extremos» (como el 1 ó el 99.999) Y eso no es asi. Al tirar un dado, por ejemplo, la probabilidad de que salga un número concreto es de 1 entre 6 (1/6). No es más probable el 3 que el 1. Y eso es así independientemente de que haya tirado el dado antes. Si jugando al parchís he sacado dos 6 consecutivos, la probabilidad de que me salga un tercer 6 (y volver a casa con la última ficha movida) es la misma de que me salga un 5, por ejemplo. Ó un 1. Ó un 4. Lo que es uniforme es la probabilidad (1/6 para todos los números), no el resultado.

Esta idea está muy bien explicada en un episodio de la serie Numb3rs. En el episodio en cuestión, el genio matemático le pide a su hermano y sus compañeros del FBI, que se dispongan en el despacho de forma aleatoria. Al hacerlo, resulta que se colocan más o menos equiespaciados. Entonces el matemático les explica que no se han colocado de forma aleatoria, sino que deliberadamente han buscado una distribución uniforme por la sala, y que en un suceso realmente aleatorio, habría «vacíos» y «aglomeraciones» de personas. Volviendo al ejemplo del parchís (o de cualquier juego donde se lancen dados), seguro que habréis experimentado cómo en determinados momentos, parece que hay numeros que siempre salen, o que nunca lo hacen (¿quién no ha sufrido en el parchís, el no sacar el primer 5 para salir durante turnos y turnos?).

Las estadísticas sobre terminaciones merecen una mención especial. Los días previos al sorteo, se nos ha repetido muchas veces las terminaciones que más y menos han salido a lo largo de la historia del mismo, concluyendo así que hay terminaciones con más probabilidad de salir que otras. Pero esto no es necesariamente así. Es cierto que ante la repetición del mismo suceso aleatorio, a medida que aumenta el número de repeticiones, la distribución de los resultados se aproxima más a la distribución de probabilidad. Así, si tiramos 100 veces una moneda al aire, seguramente veamos que han salido aproximadamente 50 caras y 50 cruces. Insisto en lo de aproximadamente, ya que también podría ser que hubieramos sacado 52 caras y 48 cruces. Ó 55 y 45. Esto es lo que se conoce como ley de los grandes números. Pero lo que nos dice la ley es que a medida que aumentamos el numero de repeticiones del suceso, la distribución de resultados se aproxima más a la distribución de probabilidad. No nos dice que sea igual.

En el caso concreto de la Lotería de Navidad, el número de sorteos a lo largo de la historia creo que anda en torno a los 200 (no llega). Uno esperaría que la ocurrencia de cada terminación fuera de 10% cada una, puesto que esa es su probabilidad, pero no tiene por qué ser exactamente así. 200 no parece un número demasiado elevado de repeticiones, y una terminación ha podido aparecer más veces que otra, por puro azar, sin implicar que sea más probable. Esas estadísticas, por tanto, sólo deben tomarse como curiosidad.

Cube: factorizando números

Cube es una de esas películas que aparecen de vez en cuando, que muestra cómo con pocos medios y una premisa aparentemente simple (aparentemente), se puede hacer una película intensa que no deja indiferente. Pero si la comento aquí no es para hablar de sus bondades (o carencias) artísticas, sino de la ciencia tras ella. En este caso, las matemáticas. Y para ello es imprescindible resumir algunos puntos importantes del argumento (incluyendo algunos que sólo se revelan muy avanzada la peli).

La historia es la siguiente: Un reducido y heterogéneo grupo de personas se ve atrapada (sin saber cómo ni por qué) en un extraño recinto formado por habitaciones cúbicas interconectadas. Algunas habitaciones tienen trampas mortales (y muy desagradables), mientras que otras son seguras. En la entrada de cada habitación, hay una secuencia de tres números de tres dígitos (es decir, entre 000 y 999), y uno de los personajes, una matemática, descubre que las habitaciones en las que uno de los números es primo, son las peligrosas. La chica les va guiando de forma segura, estudiándo los números, hasta que descubren que su hipótesis es errónea. En realidad, las trampas están en aquellas habitaciones en las que uno de los números es la potencia de un primo, es decir, números del tipo X^y, donde X es un número primo (obviamente, eso incluye a los números primos, puesto que X¹=X). En este momento, la matemática se desespera, ya que dice que es imposible. Que los cálculos son astronómicos, y que no puede hacerlo. Para suerte de todos, uno de los personajes atrapados es un autista con síndrome del sabio que es capaz de factorizar un número en un instante, y decir cuántos factores primos distintos tiene. Esto es, con un número que sea potencia de un primo, como 3, 9 (3²) o 16 (2⁴), el personaje diría «1»; mientras que el con el 63 (3²·7), por ejemplo, diría «2», pues tiene dos primos distintos como factores (el 3 y el 7).

Pues bien, realmente no era necesaria la presencia del autista. Los números son de 3 dígitos, como ya he dicho, por lo que el mayor de todos sería 999. Y factorizar un número tan pequeño no lleva tanto tiempo. Fijáos en lo siguiente: hay que detectar los números que son potencias de un número primo, ya que son las habitaciones con trampas. Pero como la chica es capaz de averiguar con rapidez si un número es primo o no (ya que lo hizo durante gran parte de la peli), la dificultad añadida está en ver si un número no primo, es potencia de un primo. Para eso es necesario factorizarlo, por lo que debemos probar si es divisible por 2, por 3, por 5, por 7, por 11, y así hasta completar todos los números primos hasta 999 ¿verdad? Pues no. No es necesario ir tan lejos.

Pensemos en lo siguiente ¿Cuál es el mayor número primo, menor que 1000? Tranquilos, no os rompáis la cabeza. Buscando alguna tabla de primos en Internet, o creándonos nuestro propio programilla en un ordenador, vemos que es 997. «No vale, los personajes ni tenían ordenador, ni calculadora, ni tablas, ni nada» diréis algunos. Cierto, pero veréis más adelante que da igual que hagamos este razonamiento con un número primo o no. Es sólo una forma de mostraros algo. Fijáos que cualquier potencia de 997, con exponente mayor que 1, es necesariamente mayor que 1.000. No creo que sea necesario calcular 997² para demostrarlo. Así que podemos descartar las potencias de dicho primo. Pero vayamos más allá. ¿Cuánto es, por ejemplo, 100² (no, 100 no es primo, ya lo sé)? Pues Fácil, 10.000. Obviamente, también podemos descartar todos los números primos mayores que 100, pues cualquier potencia de un número mayor que 100, con exponente mayor que 1, es mayor que 1.000 (y mayor que 10.000). Eso nos deja con aún menos números primos. Vayamos todavía más allá. ¿Hasta qué número debemos probar? Parece evidente que para cualquier número mayor que la raíz cuadrada de 1.000, su cuadrado será mayor que 1.000 (para todo número mayor que 1, si X>Y, entonces X²>Y²), y por tanto, cualquier otra potencia mayor, será también mayor. ¿Cuánto es la raíz cuadrada de 1.000? Bueno, realmente no importa su valor exacto, pues lo que buscamos el el mayor número primo, cuyo cuadrado sea menor que 1.000. Y este número es 31, ya que 31²=961, mientras que 32²=1.024.

«¡Trampa, trampa! Seguro que has usado una calculadora». Bueno, en realidad no, ya que 1.024 es un número muy significativo para todo el que trabaje con ordenadores, puesto que es 2¹⁰, que se puede expresar como, (2⁵)², es decir 32². Pero tenéis razón, entiendo que la chica era matemática, no informática, y no tenía por qué venirle a la cabeza eso. En cualquier caso, 31 es el 11º número primo, por lo que únicamente habría tenido que realizar 11 multiplicaciones hasta llegar a dicha conclusión (en realidad, bastantes menos, pues seguro que habría empezado a probar por un número mayor que 2, y que 7, y que 13). Por supuesto, estamos partiendo de la base que la chica conocía de antemano cuáles son al menos los primeros 11 números primos. Pero si no se los sabía de memoria, en poco tiempo hubiera podido averiguarlo.

Sigamos. ¿Qué ocurre si un número no es divisible por ninguno de esos 11? Pues hemos encontrado un primo. ¿Seguro? Sí. Fijáos que si el número no es primo, entonces debe estar formado por el producto de potencias de uno o más primos. Pero si todos los cuadrados de números mayores que 31, son mayores que 1.000, la única posibilidad para un número no primo con un primo mayor que 31 como factor, es que el resto de factores primos sea menor que 31. Y ya hemos comprobado la división por esos números. Veamos un ejemplo. El siguiente primo después de 31 es 37. Como ya sabemos, 37² es mayor que 1.000 (1369). El producto de 37 y 31 también lo es (1147). Tenemos que ir hasta el 23, para ver que su producto con 37 ya es un número menor que 1.000 (851) y por tanto, puede aparecer en una habitación. Pero ese número es divisible entre 23 (obviamente), cosa que ya habríamos detectado antes. Es fácil ver que esto mismo se cumple para el resto de números por encima de 31. Todo número no primo menor que 1.000, tiene necesariamente algún factor primo menor o igual que 31. Es decir, si un número menor que 1.000 no es divisible por ninguno de los 11 primeros primos, entonces es primo. Bueno, pero ese no era el problema ¿no? La matemática sabía calcular rápidamente si el número era primo o no. Cierto, pero es importante tener esto muy claro, para el siguiente paso.

Hemos dicho que debemos comprobar si un número es divisible por los 11 primeros primos. Aunque hay técnicas que no hacen necesarias una división (por ejemplo, en el cole nos enseñaron que todos los números pares son divisibles por 2, todos los números acabados en 0 ó 5 son divisibles por 5, y todos los números cuya suma de dígitos sea un múltiplo de 3, es divisible por 3), hagámoslas igualmente, comenzando con el 2 como divisor y siguiendo en orden creciente por esos 11 primos. Quedémonos con el cociente de la primera división entera que encontremos (con resto cero), es decir, no sigamos probando con el resto de primos. Repitamos el proceso con dicho cociente, y así sucesivamente hasta llegar a un número que no sea divisible por ninguno de los primeros 11 primos. Ese número, será necesariamente también primo. Y ya habremos factorizado completamente el número original.

Así que tenemos que para factorizar un número menor que 1.000, basta con intentar dividirlo de forma sucesiva por los siguientes números: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ó 31. No son operaciones complicadas, los números involucrados no son demasiado grandes (dividendos menores que 1.000 y divisores menores que 32) y no serían demasiadas operaciones. Desde luego, no puede considerarse como «cálculos astronómicos».

Como curiosidad, he hecho un pequeño programilla para averiguar el número de divisiones a realizar para factorizar cada número, siguiendo el método descrito, y en el peor de los casos (que ocurre para 851, 943 y 989), es de 20. Y eso si hacemos el cálculo «a lo bruto». De un vistazo podemos saber si un número es divisible por 2 ó 5, y quitarnos de encima dos divisiones si ya vemos que no son divisibles. Y con una simple suma, podemos saber si no es divisible por 3. Además, parece evidente que el cociente será más pequeño que el número original, y podremos descartar algún primo más.

El cálculo puede ser algo tedioso en algunos casos, pero en nigún caso podría considerarse «astronómico».

Ampliando imágenes (III)

Ya he comentado en un par de ocasiones la dificultad de ampliar una imagen más allá de su resolución original. Normalmente no suelo repetirme, pero en el episodio de esta semana de CSI: NY, se superan a sí mismos, y merece ser mencionado. Veamos, en el episodio, hay dos crímenes sin relación, pero en edificios contiguos. Resulta que en el primer crimen, uno de los elementos de la investigación es un vídeo grabado de forma oculta, con la cámara de un teléfono móvil, y que podría ser el móvil del crimen (valga el juego de palabras). El vídeo se centra en una chica, casi en primer plano, y de fondo se atisba el edificio donde se comete el segundo crimen. Cuando la encargada de dicho caso se da cuenta, se pone a analizar la grabación. Tras un proceso que sólo podemos calificar de «mágico», obtiene un vídeo de la ventana donde se comete el segundo crimen, donde puede ver perfectamente a la asesina. La resolución es perfecta, y la cámara está fija, a pesar de que la grabación se hizo desde un móvil, sujeto por una persona, y con otros elementos delante.

Aquí se mezclan varios elementos, que hacen que en el mundo real, esto nunca pueda ocurrir. Por un lado, tenemos el nivel de detalle del vídeo. Creo que todos sabemos más o menos la baja calidad de un vídeo hecho por un móvil. Además de la baja calidad de la óptica del aparato, lo más importante aquí es la baja resolución. Como comenté en aquellas dos ocasiones, no se puede aumentar el nivel de detalle más allá de la resolución original. Se pueden interpolar datos para que la apariencia no sea tan pixelada, pero estaremos «inventando» datos. Como dije entonces, «de donde no hay, no se puede sacar».

Pero además, tenemos otro factor importante: el movimiento de la cámara. El vídeo estaba tomado por una chica, que tenía oculto el móvil en la ropa (o en un bolso). La chica se movía, y efectivamente, cuando vemos el vídeo completo, comprobamos que la cámara se mueve. Si alguna vez habéis grabado vídeo con zoom, habréis comprobado que cuanto mayor es el nivel de zoom, más difícil es mantener la imagen fija, si sujetamos la cámara con una mano. Un leve movimiento, se traduce en un enorme desplazamiento en la imagen. Eso es debido a que cuando ampliamos la imagen, no estamos acercando la cámara al objeto de nuestra grabación, sino únicamente aumentando el tamaño de una zona de la imagen. Y al hacerlo, también aumentan lógicamente los pequeños desplazamientos debidos a movimientos de la cámara.

En fin, me gustaría saber qué clase de tratamiento de imagen puede obtener a partir de un vídeo movido de baja resolución, una ampliación a cámara fija, de alta definición.

Y ya que hablo de CSI: NY, no quiero terminar sin mostrar mi indignación por la eliminación injustificada por parte de Tele 5, de los créditos iniciales de la serie. Y es que tras el teaser del episodio (esos primeros segundos antes de los créditos), cortan y se saltan los créditos de inicio, para ir directamente a la continuación del mismo. Ya me molesta cuando lo hacen en una serie, al emitir dos episodios seguidos (sólo ponen los créditos del primer episodio). Pero es que en este caso no tiene ningún sentido. ¿O es que en T5 no saben que CSI: Miami y CSI: NY son dos series diferentes?

Asteroide: calculando trayectorias

Hace unas semanas, pusieron en la tele otra de esas cutrepelículas catastróficas que tanto me gusta ver: Asteroide. De todas las burradas que se vieron, de momento me quedo con una: durante varias veces a lo largo de la película, los científicos que siguen la trayectoria del pedrusco dicen que «la órbita no se estabiliza», que está influyendo en ella el Sol, la Luna, la Tierra, en fin, muchas cosas, y que no pueden predecir hacia dónde irá.

Bueno, un cuerpo que se mueva por el Sistema Solar, ciertamente está siendo afectado por la gravedad de muchos otros cuerpos. Pero no es tan impredecible como se nos sugiere en la película (y pese a todo, saben desde muy pronto que va a chocar con la Tierra). La famosa Ley de Gravitación Universal fue enunciada por Isaac Newton allá por 1685. Y sólo necesitamos saber eso, las posiciones y masas de los planetas y demás objetos, y muchas matemáticas. ¿Muchas matemáticas? Entonces sí es complicado ¿no? Bueno, para un astrónomo, no debería serlo.

Aunque con más de dos cuerpos en juego, ya no es posible calcular de forma analítica la trayectoria de los mismos (como expliqué hace tiempo, al escribir sobre el problema de los tres cuerpos), sí se puede hacer a base de muchas observaciones y análisis numérico. Ya a mediados del siglo XIX, se tenían suficientes medios para calcular con gran precisión la trayectoria de un planeta, teniendo en cuenta no sólo el Sol, sino el resto de planetas. Fue así como se descubrió que la órbita observada de Urano no coincidía con la calculada, y se dedujo la existencia de un planeta más lejano. Los cálculos fueron tan precisos, que se descubrió dicho planeta (estamos hablando de Neptuno, claro), a menos de un grado de la posición calculada.

También fue así como se descubrió que la precesión de la órbita de Mercurio observada no coincidía con la calculada. ¿El qué? Veamos, los planetas describen órbitas en torno al Sol, y estas órbitas tienen forma de elipse con el Sol en uno de sus focos, de forma que tenemos un punto de máximo acercamiento al Sol, llamado perihelio, y otro de máximo alejamiento, llamado afelio. Pero estas elipses no están fijas, sino que poco a poco se van desplazando, «girando» también alrededor del Sol, de forma que los afelios y perihelios se desplazan poco a poco. Este desplazamiento se denomina precesión. Según la Ley de Gravitación Universal de Newton, es debido a las perturbaciones de los demás planetas. Es decir, en un sistema con una estrella y un único planeta, no existiría esta precesión.

La precesión del perihelio de Mercurio es de algo más de 1,5º por siglo (concretamente, 5.600 segundos de arco, es decir, 1º 33' 20''). Sin embargo, la precesión calculada utilizando las leyes de Newton y los datos disponibles, diferían en 43 segundos de arco con la observada. El margen de error debido a la precisión de la época era bastante menor, por lo que no se trataba de errores de cálculo o de observación. Así que si la perturbación de la órbita de Urano era debida a Neptuno, la de Mercurio también debía ser provocada por planeta. Estaría más cerca del Sol que Mercurio, y se le bautizó como Vulcano (no, no es el de Star Trek). Luego resultó que no había ningún planeta más, y la precesión observada se puede explicar con la Relatividad General, de Einstein (de hecho, fue una de las pruebas a la que se sometió).

Pero lo importante de estas dos historias es comprobar que ya a mediadios del siglo XIX, se podían calcular los movimientos de cuerpos celestes con muchísima precisión, incluyendo en dichos cálculos las perturbaciones debidas a los planetas. Entonces ¿qué clase de científicos eran los de la peli, que ni con potentes ordenadores son capaces de calcular las perturbaciones de la Tierra y la Luna, en la trayectoria del asteroide?

Más sobre probabilidades y ruletas

Esta misma semana reproduje un correo que recibí, sobre un supuesto método para ganar a la ruleta. Los comentarios del envío me han recordado un episodio de la serie Los Serrano (¿quién decía que aquí no se hablaba de series españolas?). En el episodio en cuestión, el inseparable trío Resines-Bonilla-Fiti conoce a un inspector de Hacienda que resulta que es un experto en teoría de la probabilidad. Ni cortos ni perezosos se lo llevan a un casino, donde arrasan en la ruleta. En la última jugada, como no podía ser de otra forma (en las series convencionales hay que volver al status quo inicial), apuestan todo a un color (rojo o negro, no me acuerdo) y pierden.

Un auténtico experto en probabilidades sabría que da igual el número al que apueste, ya que cualquier número tiene las mismas probabilidades de salir. Hay gente que tiene la creencia de que la probabilidad de que salga un número depende de los números anteriores. Y no es así. La ruleta no tiene memoria. La probabilidad de que salga un número es siempre la misma: 1 entre 37 (o 1 entre 38 en las ruletas americanas con doble cero). Si sale un 6, por ejemplo, la probabilidad de que en la siguiente tirada salga otra vez un 6 es la misma que antes. Y la misma de que salga un 7. Y la misma de que salga un 29.

Cualquier persona con un mínimo conocimiento de cálculo probabilístico lo sabe, y eso son cosas que se enseñan (o enseñaban en mi época) en el colegio. No digamos ya un supuesto experto. Y la escena en la que pierden todo es simplemente ridícula. Aunque un color tuviese más posibilidades que el otro de salir (cosa que no debe ocurrir en una ruleta bien equilibrada), nunca existe la certeza. Y además tenemos el famoso cero, que ni es rojo ni negro, y tiene una probabilidad de 1 entre 37 de salir (como todos los números).

Las únicas posibilidades de que las probabilidades sean distintas es con una ruleta en malas condiciones o un croupier metódico.

En el primer caso, es posible que el plato de la ruleta esté algo inclinado, o que algunas casillas estén más desgastadas que otras, o que tenga cualquier otro defecto físico que provoque que haya números que salgan más que otros. Pero los casinos se cuidan mucho de tener sus ruletas en perfecto estado, y comprobar que todos los números salen más o menos con la misma probabilidad (digo más o menos, porque por pura matemática, es imposible tener la certeza absoluta con un número finito de jugadas).

En el caso de un croupier muy metódico, que siempre gira la ruleta y lanza la bola de la misma forma, el recorrido de la bola (rebotes incluídos) será bastante parecido en cada jugada.

Pero en ambos casos, hay que realizar un estudio previo muy metódico, apuntando los números que salen junto con la posición inicial de la ruleta, y ver si hay algunos números que salen más que otros. Eso supone estar horas mirando y apuntando, sin apostar nada. Y aún así, seguramente la diferencia no será muy grande. Habría que hacer muchas apuestas de poco dinero para, tal vez, sacar una pequeña ganancia cada noche. Y si el casino se da cuenta, seguramente reajustará la ruleta, y tus cálculos anteriores ya no servirán para nada.

Hay una frase atribuída a Einstein que dice así: "La única forma de ganar dinero en la ruleta, es robarlo de la mesa". Y así será mientras no seamos capaces de medir la velocidad y peso de la bola, la velocidad de la ruleta, coeficientes de rozamiento y elasticidad diversos, y demás magnitudes físicas, y realizar los cálculos necesarios, todo en los pocos segundos que transcurren entre que el croupier lanza la bola hasta que dice "no va más".

Probabilidades y ruletas de casinos

Hace unos días recibí un correo electrónico de Josema Vinau hablándome de un método bastante conocido para ganar a la ruleta, pero que aplicando las matemáticas de forma implacable, demuestra no ser en realidad tan bueno. Como está tan bien explicado, he decidido reproducirlo aquí:

Te escribo para contarte lo que no se si llega a ser un caso de malaciencia o simplemente un caso de malasmatematicas. Lo que definitivamente es, es un mito muy difundido y que muchos casinos online utilizan en para atraer incautos a traves de correos spam.

El caso es que el otro día viendo un episodio de la serie Las Vegas, que trata de la vida en un casino, había una conversación entre dos amigos en la que uno le preguntaba al otro por su método para jugar a la ruleta. El amigo le contestaba que utilizaba el truco de apostar el doble que en la apuesta anterior. Éste, que resulta ser un metodo muy difundido, es en realidad muy poco practico para intentar "romper la banca".

Para aquellos que no hayan oido hablar de este metodo, lo explicaré brevemente. Consiste en apostar solamente al rojo y al negro. En la ruleta, si aciertas el color ganas el doble de lo apostado, y si lo fallas, lógicamente pierdes tu apuesta. El caso es que el metodo consiste en hacer una apuesta inicial. Si se gana, pues has ganado tu apuesta inicial, y si se pierde, tendremos que jugar otra vez apostando el doble de la apuesta anterior hasta que ganemos. Al final, siempre se ganara la apuesta inicial, y por lo tanto, y siempre segun los defensores del metodo, es una forma facil y segura de ganar dinero. Y esto es cierto, al menos sobre el papel, pero cuando pensamos un poco mas acerca del método resulta que no lo es tanto.

El truco está en que en la vida real disponemos de dinero limitado, esto es, cuando tú vas al casino a jugar no llevas infinitos euros, lo que hace que solo puedas doblar tu apuesta anterior un numero dado de veces.

Imaginemos que vamos al casino con 31 euros, y que la apuesta inicial es de 1 euro. Imaginemos que perdemos, por lo que hemos de apostar 2 euros en la segunda, 4 en la tercera, 8 en la cuarta, 16 en la quinta y? ¡uy! ¡nos quedamos sin dinero para seguir doblando nuestra apuesta! Resulta que hemos perdido 1+2+4+8+16=31 euros debido a este detalle. O sea, que con el dinero que fuímos al casino tan solo somos capaces de aguantar 5 apuestas perdidas, y si se da este caso perdemos 31 euros.

Claro, pero los defensores del metodo dicen que es muy poco probable que perdamos 5 veces seguidas, y lo es, pero no tanto como dicen. Logicamente, perderemos 5 veces seguidas 1 vez de cada 2 elevado a 5, que es una vez de cada 32, mientras que las otras 31 veces ganaremos. Recordemos que el método dice que cada vez que ganamos, nuestras ganancias son la apuesta inicial, es decir 31 veces 1 euro. Pero ahora vemos que cada vez que perdemos nuestras perdidas son tambien 2 elevado a 5 menos 1, lo que es exactamente 31 euros. Esto hace que ni ganemos ni perdamos.

Pero aqui vienen los defensores del método a decirnos que lo que podemos hacer es ir al casino no con 31 euros, sino con 1023 (para simplificar cálculos). Así podremos aguantar muchas más apuestas, reduciendo exponenciamente la posibilidad de quedarnos sin dinero. Y efectivamente, esto es cierto, asi reduciremos la posibilidad exponencialmente, pero tambien aumentaremos las perdidas exponencialmente. Podeis comprobarlo vosotros mismos, pero veréis que al final si vamos con 1023 euros podemos aguantar 10 apuestas. Ganaremos 1023 de cada 1024 apuestas, ganando 1 euro en cada una de ellas. Perderemos una apuesta de cada 1024, perdiendo 1023 euros.

Es más, estos cálculos son independientes de la apuesta inicial. Si aumentamos la apuesta inicial lo unico que haremos sera reducir el numero de apuestas que podemos soportar, y no incrementaremos ni un céntimo nuestras perdidas o ganancias.

Todo esto es válido, claro está, si jugamos un número elevado de veces, es decir, si intentamos ?romper la banca?.

Pero entonces, si uno ni gana ni pierde, tampoco lo hace la banca? ¿donde esta entonces el beneficio del juego? Pues resulta que no todas las casillas son rojas o negras. Hay una casilla que es el cero, que basicamente significa que todo el mundo pierde y la banca se queda con todo. Es más, en la ruleta de los casinos estadounidenses hay otra casilla ?doble cero? con el mismo significado. Es aqui donde la banca hace negocio, y por supuesto, donde la banca gana, el resto de los jugadores pierden.

Por ultimo me gustaria decir que en los casinos es muy típica la norma de poner un límite al dinero apostado en una jugada, asi como el mínimo dinero de la apuesta, lo que limita el número de partidas que puedes perder. De nuevo en el ejemplo de los casinos estadounidenses, el mínimo y máximo en las apuestas limitan a un máximo de 5 partidas perdidas.

Bueno, pues eso es todo, que me gustaria que la moraleja de esto es que no se crean lo que los correos spam de casino online cuentan, incluso si parece matematicamente correcto.

Gracias Josema. Correos de este tipo siempre serán bienvenidos.

Ampliando imágenes

Ayer pusieron el primer episodio de la serie CSI: NY, largamente esperada por los seguidores de CSI y CSI: Miami. Había una escena en la que los protas ven la grabación de la cámara de seguridad de una tienda de empeños. El cliente (y sospechoso) iba con una gorra y agachaba la cabeza, por lo que no se le podía ver la cara. Entonces se les ocurre ampliar la imagen para ver la cara del cliente en el reflejo del ojo del vendedor. "No hay problema" dice uno, y ¡voilà! vemos una ampliación de ojo en cuestión con un reflejo perfectamente nítido de la gorra del cliente. Lástima, no se le ve la cara.

El ampliar una imagen para ver algún detalle revelador es un recurso explotado hasta la saciedad en las películas o series policiacas o de intriga, que en la inmensa mayoría de los casos se realiza de forma totalmente irreal. Aunque lo del reflejo en el ojo se lleva la palma. Y es que no se puede ampliar una imagen de la manera que se ve en las películas.

Cualquier dispositivo capaz de tomar imágenes, ya sean estáticas o en movimiento, tiene un límite de resolución. En una cámara convencional, viene determinado por el grano de la película fotográfica. En una cámara digital, por la resolución del CCD. Esta limitación de resolución puede entenderse como una limitación de la información que captura la cámara. Y no se puede ir más allá, o estaríamos "inventando" información que no está presente en el original.

Bueno, esto es un poco lioso, así que vamos con un ejemplo.

Pinchando en la pequeña imagen de la izquierda, tenemos una foto del Palacio de Comunicaciones, en Madrid, que obtuve de madridman.com, una página con fotos de esta ciudad que encontré navegando por la web. Es bastante grande, de 1024 píxeles de ancho por 768 de alto. No es la más alta que se puede obtener con una buena cámara digital, pero es bastante mayor que la de una cámara de seguridad normalita. Supongamos que queremos saber cuál es la matrícula del taxi blanco que mira hacia nosotros. Pues vamos a ampliar...

¡Oh, vaya! No se distingue. Lógico, pues la resolución de la imagen no es suficiente. Lo único que hemos conseguido es ampliar el tamaño de los pequeños cuadraditos (píxeles) que forman la imagen. Si ampliamos más, simplemente veremos cuadrados más grandes.

¡Eh, un momento! En las pelis siempre hay algún programita que mejora la calidad de la imagen. Cierto. Podemos intentar mejorar el aspecto de la imagen mediante distintas técnicas de interpolación. Bien, utilicemos por ejemplo la interpolación cúbica que está presente en el editor de imagenes GIMP.

Bueno, la cosa ha mejorado sensiblemente, pero seguimos sin poder distinguir la matrícula. Es más, en esta nueva imagen, ni siquiera distinguimos bien el rectángulo blanco de la misma. Esto es debido a que la interpolación no puede suplir la ausencia de información. Lo único que hace cualquier algoritmo de interpolación, por bueno que sea, es "inventar" información a partir de la existente.

"Ya, pero es que has usado un programa gratuito. Seguro que con el Photoshop o algún programa profesional se pueden mejorar más la cosa" pensarán algunos. Tal vez (aunque en mi opinión, el GIMP tiene poco que envidiar al Photoshop), pero pese a todo, no se podrá distinguir la matrícula. Pensemos por ejemplo que nos dan una novela con sólo el 10% de las páginas, estando las demás arrancadas. Podemos imaginar en mayor o menor medida algo de lo que ocurre en los capítulos que nos faltan, a partir de lo que tenemos, pero no coincidirá con lo que en realidad había escrito. Ni en nuestros mejores sueños podremos reconstruir todo el libro. Nos falta información.

Dado que en la mayoría de las películas lo que se amplía es una cara, vamos a probar con caras en vez de con matrículas. Tal vez se consigan mejores resultados. Bueno, pues vamos a probar con unos tipos que cruzan la calle (justo debajo del autobús).

Por supuesto, no basta con ampliar la imagen así sin más. Así que vamos a realizar la misma interpolación que con la matrícula.

Otra cosa ¿verdad? Pero aún así no podemos distinguir las caras. Sólo podemos apreciar que el del fondo es calvo, y tal vez tenga perilla (aunque puede ser una sombra), que la chica de blanco lleva un moño, que el chico de violeta no tiene barba... Poco más. Desde luego, nunca sabremos quienes eran esas personas.

Este pequeño experimento lo hemos realizado con una imagen relativamente buena y con bastante resolución. En CSI: NY se utilizaba una imagen congelada de la grabación en vídeo de una cámara de seguridad, por lo que los resultados serían peores. Y no es una cuestión de tener ordenadores más potenes o mejor software. Los algoritmos de interpolación no hacen milagros. Es una cuestión de pura y simple matemática. De donde no hay, no se puede sacar.

Stargate y las coordenadas

Ayer pusieron en la tele la película Stargate (no confundir con la serie), una película de Roland Emmerich, que luego se haría mucho más famoso con Independence Day y Godzilla. Más o menos al principio, hay una escena en la que cualquiera con un mínimo conocimiento de matemáticas, es decir, cualquiera que haya ido al colegio de pequeño, habrá dicho "¿Cómo?". Me refiero al momento en el que James Spader explica qué significan los siete símbolos que aparecen en una tablilla encontrada junto al Stargate. Se supone que se trata de coordenadas para establecer un punto en el espacio, que sería el punto de destino del Stargate una vez se active. Y al explicarlo, nos dice que los seis primeros símbolos definen seis puntos que son el centro de cada cara de un cubo (o hexaedro), desde los cuales se trazan tres rectas que se cortan. El punto de corte es el destino. El último símbolo, representa el origen de coordenadas, en este caso, la Tierra. Además, lo explica de forma que parece que la única forma posible de definir un punto de en espacio es de esa manera.

Veamos, como todo el mundo que no se haya dormido en las clases de mates sabe, un punto en el espacio se define principalmente de dos formas posibles. Una es como la intersección de dos rectas. Efectivamente, si dos rectas se cortan, lo hacen en un único punto. Y no es necesario que sean perpendiculares ni que se inscriban dentro de un cubo. Basta con que se corten. Y basta con dos. La otra manera es la más conocida: mediante tres coordendas (a las que normalmente se les llama con las tres últimas letras del alfabeto).

La explicación del cubo y las tres rectas que se cortan que se da en la peli, es sencillamente absurda. Un punto no se define mediante la intersección de tres rectas, sino de dos. Por otro lado, si un símbolo define un punto (los seis de las caras del cubo, y el origen), y existen símbolos que definen cada punto, ¿por qué hace falta todo eso? Al final de la peli, Spader descubre el símbolo del planeta de destino, y así pueden utilizarlo como origen y volver a la Tierra. Bien ¿no sería más fácil que ese símbolo estuviera en el Stargate de la Tierra?

Está claro que por motivos de guion, era necesario lo de la secuencia de símbolos, y que el último representara de algún modo el origen. Así se crearía la tensión dramática de estar atrapados en el otro planeta, y la resolución final de la deducción del último símbolo. Vale, eso lo acepto, pero podían haberse buscado cualquier otra manera de justificarlo, en vez de caer en una falacia matemática tan evidente.

Hay que decir que, al menos, algo de lo que dice Spader es correcto. Sin establecer un origen o referencia, las coordenadas no significan nada.

Triangulación

Independence Day (también conocida como ID4), es otra de esas películas de las que todo el mundo al menos ha oído hablar, y posiblemente haya visto la mayoría. Es además una de esas películas llenas de errores de bulto, como el famoso final en el que le cuelan a la nave madre alienígena un virus informático. Pero hoy, de lo que voy a hablar es de un error que habrá pasado desapercibido para gran parte del público. Poco antes del espectacular ataque alienígena, Jeff Goldblum y su papi van hasta la Casa Blanca. Una vez ahí, Goldblum saca una antena, la coloca sobre el capó del coche y se pone a teclear cosas en su ordenador portátil, y le dice a su padre que va a averiguar dónde está exactamente el presidente, triangulando la posición de su teléfono móvil. "¿Puedes hacer eso?" le pregunta el padre. "Cualquier técnico en antenas puede", contesta. Bueno, obviando la problemática de averiguar qué señal de entre todas es la que debe utilizar (es de suponer que dentro del edificio habría gran cantidad de teléfonos móviles en funcionamiento), cualquier técnico en antenas podría, con el equipo adecuado, pero además diría que tal y como se hace en la peícula es imposible triangular nada.

¿Qué es eso de la triangulación? Pues la triangulación es algo muy parecido la paralaje, que comenté en un envío anterior, con la diferencia de que no es necesario tener un "fondo" sobre el que medir. Aplicado a localizar una emisión de ondas de radio (como un teléfono móvil), es necesario disponer de dos antenas direccionales. ¿Qué es una antena direccional? Muy sencillo, es una antena que sólo capta emisiones en una única dirección. Eso quiere decir, que hay que orientarla en la dirección en la que se encuentra el emisor para poder recibir la señal. Con una antena de estas, podemos conocer la dirección en la que se encuentra el emisor, pero sólo eso. No podemos saber a qué distancia está. ¿Y qué hacemos? Pues muy fácil, utilizar una segunda antena a una determinada distancia de la primera, y medir la dirección en la que se encuentra el emisor desde ella. Si en un mapa trazamos sendas rectas desde cada antena, siguiendo las direcciones que hemos medido, el punto donde se corten será el lugar donde se encuentre el emisor.

Si sabemos un poco de trigonometría, no es necesario ningún mapa. La recta que une los dos puntos desde los que hemos medido, y las dos rectas que se cortan en el emisor, forman un triángulo. Conociendo uno de sus lados (la distancia entre nuestras antenas) y los dos ángulos contiguos (las direcciones que hemos medido) podemos conocer el tamaño de sus otros dos lados. Y por eso se llama a este método triangulación, como muchos habrán ya adivinado, porque se basa en "dibujar" un triángulo.

Y muchos se habrán dado cuenta también del error de la película. Se necesitan dos antenas algo separadas (cuanto más juntas, más precisa debe ser la medida), y en la película sólo se utiliza una. Bueno, para ser sinceros, se puede hacer sólo con una, pero para ello debemos realizar primero una medición, movernos hasta otro punto, y realizar una segunda medición. Con esto tendríamos el lado y los dos ángulos del triángulo. Y eso tampoco ocurre en la película, ya que el coche está quieto mientras Jeff Goldblum trastea con su portátil.

Nuevamente un caso de "oír campanas y no saber dónde". Se ve que al guionista de turno le sonaba eso de la triangulación, y lo metió en el guion sin encomendarse a nadie.