Cube: factorizando números

Cube es una de esas películas que aparecen de vez en cuando, que muestra cómo con pocos medios y una premisa aparentemente simple (aparentemente), se puede hacer una película intensa que no deja indiferente. Pero si la comento aquí no es para hablar de sus bondades (o carencias) artísticas, sino de la ciencia tras ella. En este caso, las matemáticas. Y para ello es imprescindible resumir algunos puntos importantes del argumento (incluyendo algunos que sólo se revelan muy avanzada la peli).

La historia es la siguiente: Un reducido y heterogéneo grupo de personas se ve atrapada (sin saber cómo ni por qué) en un extraño recinto formado por habitaciones cúbicas interconectadas. Algunas habitaciones tienen trampas mortales (y muy desagradables), mientras que otras son seguras. En la entrada de cada habitación, hay una secuencia de tres números de tres dígitos (es decir, entre 000 y 999), y uno de los personajes, una matemática, descubre que las habitaciones en las que uno de los números es primo, son las peligrosas. La chica les va guiando de forma segura, estudiándo los números, hasta que descubren que su hipótesis es errónea. En realidad, las trampas están en aquellas habitaciones en las que uno de los números es la potencia de un primo, es decir, números del tipo X^y, donde X es un número primo (obviamente, eso incluye a los números primos, puesto que X¹=X). En este momento, la matemática se desespera, ya que dice que es imposible. Que los cálculos son astronómicos, y que no puede hacerlo. Para suerte de todos, uno de los personajes atrapados es un autista con síndrome del sabio que es capaz de factorizar un número en un instante, y decir cuántos factores primos distintos tiene. Esto es, con un número que sea potencia de un primo, como 3, 9 (3²) o 16 (2⁴), el personaje diría «1»; mientras que el con el 63 (3²·7), por ejemplo, diría «2», pues tiene dos primos distintos como factores (el 3 y el 7).

Pues bien, realmente no era necesaria la presencia del autista. Los números son de 3 dígitos, como ya he dicho, por lo que el mayor de todos sería 999. Y factorizar un número tan pequeño no lleva tanto tiempo. Fijáos en lo siguiente: hay que detectar los números que son potencias de un número primo, ya que son las habitaciones con trampas. Pero como la chica es capaz de averiguar con rapidez si un número es primo o no (ya que lo hizo durante gran parte de la peli), la dificultad añadida está en ver si un número no primo, es potencia de un primo. Para eso es necesario factorizarlo, por lo que debemos probar si es divisible por 2, por 3, por 5, por 7, por 11, y así hasta completar todos los números primos hasta 999 ¿verdad? Pues no. No es necesario ir tan lejos.

Pensemos en lo siguiente ¿Cuál es el mayor número primo, menor que 1000? Tranquilos, no os rompáis la cabeza. Buscando alguna tabla de primos en Internet, o creándonos nuestro propio programilla en un ordenador, vemos que es 997. «No vale, los personajes ni tenían ordenador, ni calculadora, ni tablas, ni nada» diréis algunos. Cierto, pero veréis más adelante que da igual que hagamos este razonamiento con un número primo o no. Es sólo una forma de mostraros algo. Fijáos que cualquier potencia de 997, con exponente mayor que 1, es necesariamente mayor que 1.000. No creo que sea necesario calcular 997² para demostrarlo. Así que podemos descartar las potencias de dicho primo. Pero vayamos más allá. ¿Cuánto es, por ejemplo, 100² (no, 100 no es primo, ya lo sé)? Pues Fácil, 10.000. Obviamente, también podemos descartar todos los números primos mayores que 100, pues cualquier potencia de un número mayor que 100, con exponente mayor que 1, es mayor que 1.000 (y mayor que 10.000). Eso nos deja con aún menos números primos. Vayamos todavía más allá. ¿Hasta qué número debemos probar? Parece evidente que para cualquier número mayor que la raíz cuadrada de 1.000, su cuadrado será mayor que 1.000 (para todo número mayor que 1, si X>Y, entonces X²>Y²), y por tanto, cualquier otra potencia mayor, será también mayor. ¿Cuánto es la raíz cuadrada de 1.000? Bueno, realmente no importa su valor exacto, pues lo que buscamos el el mayor número primo, cuyo cuadrado sea menor que 1.000. Y este número es 31, ya que 31²=961, mientras que 32²=1.024.

«¡Trampa, trampa! Seguro que has usado una calculadora». Bueno, en realidad no, ya que 1.024 es un número muy significativo para todo el que trabaje con ordenadores, puesto que es 2¹⁰, que se puede expresar como, (2⁵)², es decir 32². Pero tenéis razón, entiendo que la chica era matemática, no informática, y no tenía por qué venirle a la cabeza eso. En cualquier caso, 31 es el 11º número primo, por lo que únicamente habría tenido que realizar 11 multiplicaciones hasta llegar a dicha conclusión (en realidad, bastantes menos, pues seguro que habría empezado a probar por un número mayor que 2, y que 7, y que 13). Por supuesto, estamos partiendo de la base que la chica conocía de antemano cuáles son al menos los primeros 11 números primos. Pero si no se los sabía de memoria, en poco tiempo hubiera podido averiguarlo.

Sigamos. ¿Qué ocurre si un número no es divisible por ninguno de esos 11? Pues hemos encontrado un primo. ¿Seguro? Sí. Fijáos que si el número no es primo, entonces debe estar formado por el producto de potencias de uno o más primos. Pero si todos los cuadrados de números mayores que 31, son mayores que 1.000, la única posibilidad para un número no primo con un primo mayor que 31 como factor, es que el resto de factores primos sea menor que 31. Y ya hemos comprobado la división por esos números. Veamos un ejemplo. El siguiente primo después de 31 es 37. Como ya sabemos, 37² es mayor que 1.000 (1369). El producto de 37 y 31 también lo es (1147). Tenemos que ir hasta el 23, para ver que su producto con 37 ya es un número menor que 1.000 (851) y por tanto, puede aparecer en una habitación. Pero ese número es divisible entre 23 (obviamente), cosa que ya habríamos detectado antes. Es fácil ver que esto mismo se cumple para el resto de números por encima de 31. Todo número no primo menor que 1.000, tiene necesariamente algún factor primo menor o igual que 31. Es decir, si un número menor que 1.000 no es divisible por ninguno de los 11 primeros primos, entonces es primo. Bueno, pero ese no era el problema ¿no? La matemática sabía calcular rápidamente si el número era primo o no. Cierto, pero es importante tener esto muy claro, para el siguiente paso.

Hemos dicho que debemos comprobar si un número es divisible por los 11 primeros primos. Aunque hay técnicas que no hacen necesarias una división (por ejemplo, en el cole nos enseñaron que todos los números pares son divisibles por 2, todos los números acabados en 0 ó 5 son divisibles por 5, y todos los números cuya suma de dígitos sea un múltiplo de 3, es divisible por 3), hagámoslas igualmente, comenzando con el 2 como divisor y siguiendo en orden creciente por esos 11 primos. Quedémonos con el cociente de la primera división entera que encontremos (con resto cero), es decir, no sigamos probando con el resto de primos. Repitamos el proceso con dicho cociente, y así sucesivamente hasta llegar a un número que no sea divisible por ninguno de los primeros 11 primos. Ese número, será necesariamente también primo. Y ya habremos factorizado completamente el número original.

Así que tenemos que para factorizar un número menor que 1.000, basta con intentar dividirlo de forma sucesiva por los siguientes números: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ó 31. No son operaciones complicadas, los números involucrados no son demasiado grandes (dividendos menores que 1.000 y divisores menores que 32) y no serían demasiadas operaciones. Desde luego, no puede considerarse como «cálculos astronómicos».

Como curiosidad, he hecho un pequeño programilla para averiguar el número de divisiones a realizar para factorizar cada número, siguiendo el método descrito, y en el peor de los casos (que ocurre para 851, 943 y 989), es de 20. Y eso si hacemos el cálculo «a lo bruto». De un vistazo podemos saber si un número es divisible por 2 ó 5, y quitarnos de encima dos divisiones si ya vemos que no son divisibles. Y con una simple suma, podemos saber si no es divisible por 3. Además, parece evidente que el cociente será más pequeño que el número original, y podremos descartar algún primo más.

El cálculo puede ser algo tedioso en algunos casos, pero en nigún caso podría considerarse «astronómico».

Ampliando imágenes (III)

Ya he comentado en un par de ocasiones la dificultad de ampliar una imagen más allá de su resolución original. Normalmente no suelo repetirme, pero en el episodio de esta semana de CSI: NY, se superan a sí mismos, y merece ser mencionado. Veamos, en el episodio, hay dos crímenes sin relación, pero en edificios contiguos. Resulta que en el primer crimen, uno de los elementos de la investigación es un vídeo grabado de forma oculta, con la cámara de un teléfono móvil, y que podría ser el móvil del crimen (valga el juego de palabras). El vídeo se centra en una chica, casi en primer plano, y de fondo se atisba el edificio donde se comete el segundo crimen. Cuando la encargada de dicho caso se da cuenta, se pone a analizar la grabación. Tras un proceso que sólo podemos calificar de «mágico», obtiene un vídeo de la ventana donde se comete el segundo crimen, donde puede ver perfectamente a la asesina. La resolución es perfecta, y la cámara está fija, a pesar de que la grabación se hizo desde un móvil, sujeto por una persona, y con otros elementos delante.

Aquí se mezclan varios elementos, que hacen que en el mundo real, esto nunca pueda ocurrir. Por un lado, tenemos el nivel de detalle del vídeo. Creo que todos sabemos más o menos la baja calidad de un vídeo hecho por un móvil. Además de la baja calidad de la óptica del aparato, lo más importante aquí es la baja resolución. Como comenté en aquellas dos ocasiones, no se puede aumentar el nivel de detalle más allá de la resolución original. Se pueden interpolar datos para que la apariencia no sea tan pixelada, pero estaremos «inventando» datos. Como dije entonces, «de donde no hay, no se puede sacar».

Pero además, tenemos otro factor importante: el movimiento de la cámara. El vídeo estaba tomado por una chica, que tenía oculto el móvil en la ropa (o en un bolso). La chica se movía, y efectivamente, cuando vemos el vídeo completo, comprobamos que la cámara se mueve. Si alguna vez habéis grabado vídeo con zoom, habréis comprobado que cuanto mayor es el nivel de zoom, más difícil es mantener la imagen fija, si sujetamos la cámara con una mano. Un leve movimiento, se traduce en un enorme desplazamiento en la imagen. Eso es debido a que cuando ampliamos la imagen, no estamos acercando la cámara al objeto de nuestra grabación, sino únicamente aumentando el tamaño de una zona de la imagen. Y al hacerlo, también aumentan lógicamente los pequeños desplazamientos debidos a movimientos de la cámara.

En fin, me gustaría saber qué clase de tratamiento de imagen puede obtener a partir de un vídeo movido de baja resolución, una ampliación a cámara fija, de alta definición.

Y ya que hablo de CSI: NY, no quiero terminar sin mostrar mi indignación por la eliminación injustificada por parte de Tele 5, de los créditos iniciales de la serie. Y es que tras el teaser del episodio (esos primeros segundos antes de los créditos), cortan y se saltan los créditos de inicio, para ir directamente a la continuación del mismo. Ya me molesta cuando lo hacen en una serie, al emitir dos episodios seguidos (sólo ponen los créditos del primer episodio). Pero es que en este caso no tiene ningún sentido. ¿O es que en T5 no saben que CSI: Miami y CSI: NY son dos series diferentes?

Asteroide: calculando trayectorias

Hace unas semanas, pusieron en la tele otra de esas cutrepelículas catastróficas que tanto me gusta ver: Asteroide. De todas las burradas que se vieron, de momento me quedo con una: durante varias veces a lo largo de la película, los científicos que siguen la trayectoria del pedrusco dicen que «la órbita no se estabiliza», que está influyendo en ella el Sol, la Luna, la Tierra, en fin, muchas cosas, y que no pueden predecir hacia dónde irá.

Bueno, un cuerpo que se mueva por el Sistema Solar, ciertamente está siendo afectado por la gravedad de muchos otros cuerpos. Pero no es tan impredecible como se nos sugiere en la película (y pese a todo, saben desde muy pronto que va a chocar con la Tierra). La famosa Ley de Gravitación Universal fue enunciada por Isaac Newton allá por 1685. Y sólo necesitamos saber eso, las posiciones y masas de los planetas y demás objetos, y muchas matemáticas. ¿Muchas matemáticas? Entonces sí es complicado ¿no? Bueno, para un astrónomo, no debería serlo.

Aunque con más de dos cuerpos en juego, ya no es posible calcular de forma analítica la trayectoria de los mismos (como expliqué hace tiempo, al escribir sobre el problema de los tres cuerpos), sí se puede hacer a base de muchas observaciones y análisis numérico. Ya a mediados del siglo XIX, se tenían suficientes medios para calcular con gran precisión la trayectoria de un planeta, teniendo en cuenta no sólo el Sol, sino el resto de planetas. Fue así como se descubrió que la órbita observada de Urano no coincidía con la calculada, y se dedujo la existencia de un planeta más lejano. Los cálculos fueron tan precisos, que se descubrió dicho planeta (estamos hablando de Neptuno, claro), a menos de un grado de la posición calculada.

También fue así como se descubrió que la precesión de la órbita de Mercurio observada no coincidía con la calculada. ¿El qué? Veamos, los planetas describen órbitas en torno al Sol, y estas órbitas tienen forma de elipse con el Sol en uno de sus focos, de forma que tenemos un punto de máximo acercamiento al Sol, llamado perihelio, y otro de máximo alejamiento, llamado afelio. Pero estas elipses no están fijas, sino que poco a poco se van desplazando, «girando» también alrededor del Sol, de forma que los afelios y perihelios se desplazan poco a poco. Este desplazamiento se denomina precesión. Según la Ley de Gravitación Universal de Newton, es debido a las perturbaciones de los demás planetas. Es decir, en un sistema con una estrella y un único planeta, no existiría esta precesión.

La precesión del perihelio de Mercurio es de algo más de 1,5º por siglo (concretamente, 5.600 segundos de arco, es decir, 1º 33' 20''). Sin embargo, la precesión calculada utilizando las leyes de Newton y los datos disponibles, diferían en 43 segundos de arco con la observada. El margen de error debido a la precisión de la época era bastante menor, por lo que no se trataba de errores de cálculo o de observación. Así que si la perturbación de la órbita de Urano era debida a Neptuno, la de Mercurio también debía ser provocada por planeta. Estaría más cerca del Sol que Mercurio, y se le bautizó como Vulcano (no, no es el de Star Trek). Luego resultó que no había ningún planeta más, y la precesión observada se puede explicar con la Relatividad General, de Einstein (de hecho, fue una de las pruebas a la que se sometió).

Pero lo importante de estas dos historias es comprobar que ya a mediadios del siglo XIX, se podían calcular los movimientos de cuerpos celestes con muchísima precisión, incluyendo en dichos cálculos las perturbaciones debidas a los planetas. Entonces ¿qué clase de científicos eran los de la peli, que ni con potentes ordenadores son capaces de calcular las perturbaciones de la Tierra y la Luna, en la trayectoria del asteroide?

Ampliando imágenes

Ayer pusieron el primer episodio de la serie CSI: NY, largamente esperada por los seguidores de CSI y CSI: Miami. Había una escena en la que los protas ven la grabación de la cámara de seguridad de una tienda de empeños. El cliente (y sospechoso) iba con una gorra y agachaba la cabeza, por lo que no se le podía ver la cara. Entonces se les ocurre ampliar la imagen para ver la cara del cliente en el reflejo del ojo del vendedor. "No hay problema" dice uno, y ¡voilà! vemos una ampliación de ojo en cuestión con un reflejo perfectamente nítido de la gorra del cliente. Lástima, no se le ve la cara.

El ampliar una imagen para ver algún detalle revelador es un recurso explotado hasta la saciedad en las películas o series policiacas o de intriga, que en la inmensa mayoría de los casos se realiza de forma totalmente irreal. Aunque lo del reflejo en el ojo se lleva la palma. Y es que no se puede ampliar una imagen de la manera que se ve en las películas.

Cualquier dispositivo capaz de tomar imágenes, ya sean estáticas o en movimiento, tiene un límite de resolución. En una cámara convencional, viene determinado por el grano de la película fotográfica. En una cámara digital, por la resolución del CCD. Esta limitación de resolución puede entenderse como una limitación de la información que captura la cámara. Y no se puede ir más allá, o estaríamos "inventando" información que no está presente en el original.

Bueno, esto es un poco lioso, así que vamos con un ejemplo.

Pinchando en la pequeña imagen de la izquierda, tenemos una foto del Palacio de Comunicaciones, en Madrid, que obtuve de madridman.com, una página con fotos de esta ciudad que encontré navegando por la web. Es bastante grande, de 1024 píxeles de ancho por 768 de alto. No es la más alta que se puede obtener con una buena cámara digital, pero es bastante mayor que la de una cámara de seguridad normalita. Supongamos que queremos saber cuál es la matrícula del taxi blanco que mira hacia nosotros. Pues vamos a ampliar...

¡Oh, vaya! No se distingue. Lógico, pues la resolución de la imagen no es suficiente. Lo único que hemos conseguido es ampliar el tamaño de los pequeños cuadraditos (píxeles) que forman la imagen. Si ampliamos más, simplemente veremos cuadrados más grandes.

¡Eh, un momento! En las pelis siempre hay algún programita que mejora la calidad de la imagen. Cierto. Podemos intentar mejorar el aspecto de la imagen mediante distintas técnicas de interpolación. Bien, utilicemos por ejemplo la interpolación cúbica que está presente en el editor de imagenes GIMP.

Bueno, la cosa ha mejorado sensiblemente, pero seguimos sin poder distinguir la matrícula. Es más, en esta nueva imagen, ni siquiera distinguimos bien el rectángulo blanco de la misma. Esto es debido a que la interpolación no puede suplir la ausencia de información. Lo único que hace cualquier algoritmo de interpolación, por bueno que sea, es "inventar" información a partir de la existente.

"Ya, pero es que has usado un programa gratuito. Seguro que con el Photoshop o algún programa profesional se pueden mejorar más la cosa" pensarán algunos. Tal vez (aunque en mi opinión, el GIMP tiene poco que envidiar al Photoshop), pero pese a todo, no se podrá distinguir la matrícula. Pensemos por ejemplo que nos dan una novela con sólo el 10% de las páginas, estando las demás arrancadas. Podemos imaginar en mayor o menor medida algo de lo que ocurre en los capítulos que nos faltan, a partir de lo que tenemos, pero no coincidirá con lo que en realidad había escrito. Ni en nuestros mejores sueños podremos reconstruir todo el libro. Nos falta información.

Dado que en la mayoría de las películas lo que se amplía es una cara, vamos a probar con caras en vez de con matrículas. Tal vez se consigan mejores resultados. Bueno, pues vamos a probar con unos tipos que cruzan la calle (justo debajo del autobús).

Por supuesto, no basta con ampliar la imagen así sin más. Así que vamos a realizar la misma interpolación que con la matrícula.

Otra cosa ¿verdad? Pero aún así no podemos distinguir las caras. Sólo podemos apreciar que el del fondo es calvo, y tal vez tenga perilla (aunque puede ser una sombra), que la chica de blanco lleva un moño, que el chico de violeta no tiene barba... Poco más. Desde luego, nunca sabremos quienes eran esas personas.

Este pequeño experimento lo hemos realizado con una imagen relativamente buena y con bastante resolución. En CSI: NY se utilizaba una imagen congelada de la grabación en vídeo de una cámara de seguridad, por lo que los resultados serían peores. Y no es una cuestión de tener ordenadores más potenes o mejor software. Los algoritmos de interpolación no hacen milagros. Es una cuestión de pura y simple matemática. De donde no hay, no se puede sacar.

Stargate y las coordenadas

Ayer pusieron en la tele la película Stargate (no confundir con la serie), una película de Roland Emmerich, que luego se haría mucho más famoso con Independence Day y Godzilla. Más o menos al principio, hay una escena en la que cualquiera con un mínimo conocimiento de matemáticas, es decir, cualquiera que haya ido al colegio de pequeño, habrá dicho "¿Cómo?". Me refiero al momento en el que James Spader explica qué significan los siete símbolos que aparecen en una tablilla encontrada junto al Stargate. Se supone que se trata de coordenadas para establecer un punto en el espacio, que sería el punto de destino del Stargate una vez se active. Y al explicarlo, nos dice que los seis primeros símbolos definen seis puntos que son el centro de cada cara de un cubo (o hexaedro), desde los cuales se trazan tres rectas que se cortan. El punto de corte es el destino. El último símbolo, representa el origen de coordenadas, en este caso, la Tierra. Además, lo explica de forma que parece que la única forma posible de definir un punto de en espacio es de esa manera.

Veamos, como todo el mundo que no se haya dormido en las clases de mates sabe, un punto en el espacio se define principalmente de dos formas posibles. Una es como la intersección de dos rectas. Efectivamente, si dos rectas se cortan, lo hacen en un único punto. Y no es necesario que sean perpendiculares ni que se inscriban dentro de un cubo. Basta con que se corten. Y basta con dos. La otra manera es la más conocida: mediante tres coordendas (a las que normalmente se les llama con las tres últimas letras del alfabeto).

La explicación del cubo y las tres rectas que se cortan que se da en la peli, es sencillamente absurda. Un punto no se define mediante la intersección de tres rectas, sino de dos. Por otro lado, si un símbolo define un punto (los seis de las caras del cubo, y el origen), y existen símbolos que definen cada punto, ¿por qué hace falta todo eso? Al final de la peli, Spader descubre el símbolo del planeta de destino, y así pueden utilizarlo como origen y volver a la Tierra. Bien ¿no sería más fácil que ese símbolo estuviera en el Stargate de la Tierra?

Está claro que por motivos de guion, era necesario lo de la secuencia de símbolos, y que el último representara de algún modo el origen. Así se crearía la tensión dramática de estar atrapados en el otro planeta, y la resolución final de la deducción del último símbolo. Vale, eso lo acepto, pero podían haberse buscado cualquier otra manera de justificarlo, en vez de caer en una falacia matemática tan evidente.

Hay que decir que, al menos, algo de lo que dice Spader es correcto. Sin establecer un origen o referencia, las coordenadas no significan nada.

Triangulación

Independence Day (también conocida como ID4), es otra de esas películas de las que todo el mundo al menos ha oído hablar, y posiblemente haya visto la mayoría. Es además una de esas películas llenas de errores de bulto, como el famoso final en el que le cuelan a la nave madre alienígena un virus informático. Pero hoy, de lo que voy a hablar es de un error que habrá pasado desapercibido para gran parte del público. Poco antes del espectacular ataque alienígena, Jeff Goldblum y su papi van hasta la Casa Blanca. Una vez ahí, Goldblum saca una antena, la coloca sobre el capó del coche y se pone a teclear cosas en su ordenador portátil, y le dice a su padre que va a averiguar dónde está exactamente el presidente, triangulando la posición de su teléfono móvil. "¿Puedes hacer eso?" le pregunta el padre. "Cualquier técnico en antenas puede", contesta. Bueno, obviando la problemática de averiguar qué señal de entre todas es la que debe utilizar (es de suponer que dentro del edificio habría gran cantidad de teléfonos móviles en funcionamiento), cualquier técnico en antenas podría, con el equipo adecuado, pero además diría que tal y como se hace en la peícula es imposible triangular nada.

¿Qué es eso de la triangulación? Pues la triangulación es algo muy parecido la paralaje, que comenté en un envío anterior, con la diferencia de que no es necesario tener un "fondo" sobre el que medir. Aplicado a localizar una emisión de ondas de radio (como un teléfono móvil), es necesario disponer de dos antenas direccionales. ¿Qué es una antena direccional? Muy sencillo, es una antena que sólo capta emisiones en una única dirección. Eso quiere decir, que hay que orientarla en la dirección en la que se encuentra el emisor para poder recibir la señal. Con una antena de estas, podemos conocer la dirección en la que se encuentra el emisor, pero sólo eso. No podemos saber a qué distancia está. ¿Y qué hacemos? Pues muy fácil, utilizar una segunda antena a una determinada distancia de la primera, y medir la dirección en la que se encuentra el emisor desde ella. Si en un mapa trazamos sendas rectas desde cada antena, siguiendo las direcciones que hemos medido, el punto donde se corten será el lugar donde se encuentre el emisor.

Si sabemos un poco de trigonometría, no es necesario ningún mapa. La recta que une los dos puntos desde los que hemos medido, y las dos rectas que se cortan en el emisor, forman un triángulo. Conociendo uno de sus lados (la distancia entre nuestras antenas) y los dos ángulos contiguos (las direcciones que hemos medido) podemos conocer el tamaño de sus otros dos lados. Y por eso se llama a este método triangulación, como muchos habrán ya adivinado, porque se basa en "dibujar" un triángulo.

Y muchos se habrán dado cuenta también del error de la película. Se necesitan dos antenas algo separadas (cuanto más juntas, más precisa debe ser la medida), y en la película sólo se utiliza una. Bueno, para ser sinceros, se puede hacer sólo con una, pero para ello debemos realizar primero una medición, movernos hasta otro punto, y realizar una segunda medición. Con esto tendríamos el lado y los dos ángulos del triángulo. Y eso tampoco ocurre en la película, ya que el coche está quieto mientras Jeff Goldblum trastea con su portátil.

Nuevamente un caso de "oír campanas y no saber dónde". Se ve que al guionista de turno le sonaba eso de la triangulación, y lo metió en el guion sin encomendarse a nadie.