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lunes, septiembre 14, 2009

Números racionales e irracionales

Todas las cosas tienen su final, y las vacaciones no son una excepción, así que aquí estoy de vuelta. El no ir a trabajar en periodos como éste, me permite ver de vez en cuando el concurso Saber y Ganar. El martes de la semana pasada (o el lunes, no estoy seguro), una de las preguntas que le hicieron a un concursante trataba sobre los números irracionales. Tras una introducción al número Pi, se le pregunta al concursante por qué el número π es un número irracional, y se le ofrecen tres posibles respuestas (los textos no son literales, ya que estoy escribiendo de memoria):

  1. Es la raíz cuadrada de un número negativo.
  2. Cada decimal se obtiene como la suma de los dos anteriores.
  3. Tiene un número infinito de decimales.

Tras poner una cara un poco rara, el concursante contestó que en realidad, ninguna de las tres respuestas era correcta, pero que si debía responder con una de las tres, elegía la tercera.

Y es que un número irracional, si bien tiene un número infinito de decimales, no es la característica que lo define. No todos los números con infinitos decimales son irracionales, como podemos comprobar con el conocido 1/3 (0,3333...). En general cualquier fracción irreducible en cuyo denominador haya factores primos distintos del 2 y el 5, tendrá infinitos decimales.

La definición correcta de número irracional es algo que se estudia en el colegio: un número es irracional si no puede expresarse como una fracción (o razón, de ahí su nombre) de dos enteros. Como ejemplos clásicos tenemos el mencionado π, la raíz cuadrada de 2 (y en general, cualquier raíz cuadrada de un número entero que no sea el cuadrado de un otro entero), o el número e. Una característica de todo número irracional es que tiene infinitos decimales, pero a diferencia de con los números racionales, no hay una secuencia que se repita. Así, 1/3 tiene infinitos decimales, pero siempre es «3». La fracción 1/7, por ejemplo, también tiene infinitos decimales (0,142857142857...), pero en este caso es «142857» la secuencia que se repite. Con los numeros irracionales, sin embargo, no ocurre eso.

No puedo resistirme a comentar una curiosidad. Antes he mencionado que cualquier fracción en cuyo denominador haya un factor primo distinto de 2 y 5, tendrá infinitos decimales. Podéis hacer todas las pruebas que queráis. ¿Por qué si el denominador es únicamente factor de 2 y 5 no aparecen infinitos decimales, y el el resto de casos sí? Pues porque utilizamos un sistema en base 10, y precisamente 10 es factor de 2 y 5 (2x5=10).

¿Como? Bueno, en el colegio nos enseñaron también que el sistema de numeración que utilizamos (esto es, la forma que tenemos para representar los números) es posicional y en base 10. Es posicional porque dependiendo de la posición de un dígito, tiene un valor u otro. Así, en el número 147, el 1 nos está indicando en realidad «1 centena» (100), el 4 «4 decenas» (40), y el 7, «7 unidades» (7). Nuestro sistema es además en base 10 (o decimal), porque utilizamos 10 dígitos distintos para representar todos los números, de forma que cada posición equivale a una potencia de 10. Es decir, 147 es 100 + 40 + 7, que a su vez es 1·102 + 4·101 + 7·100.

Fijáos ahora en lo siguiente. ¿Qué ocurre en esta representación si multiplicamos un número entero por 10? Fácil, que estamos «añadiendo un cero a la derecha». Así, en nuestro ejemplo anterior, 147 x 10 = 1470. ¿Y si multiplicamos un número con decimales? Pues que estamos «desplazando la coma a la derecha». Así, 1,25 x 10 = 12,5. Como consecuencia, cualquier número con una cantidad finita de decimales, al ser multiplicado por 10 tantas veces como decimales tenga, obtenemos un número entero. Si multiplicamos 1,25 por 10, dos veces, obtendremos 125.

Pensemos ahora en términos de fracciones. Si tenemos una fracción (irreducible) cuyo denominador sea únicamente factor de 2 ó 5, y multiplicamos una y otra vez por 10, llegará un momento en el que el numerador sea divisible por el denominador, puesto que estamos multiplicando por 2 y por 5. Cuando lleguemos a ese punto, tendremos un número entero. Pero si en el denominador hay otros factores distintos de 2 y 5, no importa cuantas veces multipliquemos el numerador por 10 (cuánto desplacemos la coma a la derecha). Nunca será divisible entre el denominador (quedarán decimales a la derecha de la coma).

Menciono esto como curiosidad, porque el que un número racional tenga una cantidad finita o infinita de decimales, depende del sistema numérico de representación. Así, en base 10, 1/5 es 0,2 (un solo decimal), mientras que en base 2 (o binario) sería 0,001100110011.. repitiendo «0011» hasta el infinito.

19 comentarios:

  1. Una pena llevarse esta decepción de saber y ganar.

    He meneado el artículo porque en más sitios he visto confusión sobre este tema (recuerdo unartículo de periódico sobre el día de pi).

    Números racionales e irracionales en menéame

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  2. no había analizado eso del 2 y del 5, buen post!...saludos!

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  3. Buen post!

    "y en general, cualquier raíz cuadrada de un número que no sea el cuadrado de un entero"... No tan de prisa: SQRT(0.25)=0.5 es racional, sin embargo 0.25 no es entero! querrás decir "... que no sea el cuadrado de un racional", no?

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  4. Lo de que en "Saber y Ganar" meten la pata en sus preguntas y/o respuestas no es nuevo. Varias veces me he encontrado con inexactitudes, y en más de una ocasión ellos mismos se han retractado o han dado una explicación, pero no es lo normal. Peor es lo de "Pasa Palabra", que menudas definiciones meten a veces. "SyG" es un buen concurso muy recomendable.

    Gracias por la explicación de los irracionales. Conocía "parte" de la definición (infinito número de decimales no cíclicos), pero no la completa.

    P.D: Te dejo enlace al artículo del Coche Fantástico que dije que iba a escribir, por si quieres echarle un vistazo. No llega a tu nivel, lo sé. :D

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  5. querrás decir "... que no sea el cuadrado de un racional", no?

    Demonios, pues es verdad. A corregir toca...

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  6. Hombre, yo no compruebo cada palabra pero en Pasapalabra suelen usar definiciones literales del DRAE. Solo que a veces no son la primera acepción de la palabra...

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  7. Una curiosidad: en el libro "Contact", al final de la historia, la protagonista por indicación del extraterrestre se pone a buscar decimales de PI, hasta encontrar una curiosa y extraña sucesión. Eso se lo comieron en la peli :(

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  8. Voy a hacer un poco de abogado del diablo. Hay que decir que después de que respondió el concursante diciendo que ninguna era válida pero que la mejor era la tercera, el presentador Jordi Hurtado añadió: "una sucesión infinita y NO PERIÓDICA de números". Con lo cual ya quedó bastante bien definido.

    Pienso que Jordi ya lo tenía escrito pero no lo dijo antes, primero porque no sabe muchas mates :) y segundo porque la posible tercera respuesta era demasiado larga y le pareció que ya era suficiente con decir: "Tiene un número infinito de decimales".

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  9. en general, cualquier raíz cuadrada de un número que no sea el cuadrado de un racional

    Al rectificarlo, se convierte en una perogrullada:

    Un número irracional es, en general, cualquier raíz cuadrada de un número que sea el cuadrado de un irracional.

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  10. Mmmm... ¿y qué tal "cualquier raíz cuadrada de un entero que no sea el cuadrado de otro entero"?

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  11. En realidad la definición correcta es un poquito más concisa.

    Un número irracional es todo aquel que no puede expresarse como fracción de dos ENTEROS.

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  12. Hace tiempo escribí un artículo sobre el número PI que resultó bastante polémico.

    Felicidades por el post. Muy bueno.

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  13. 5/5 = 0,99999999... con infinitos decimales ;-)

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  14. Tienes razón Drayán (en la definición de irracional, claro, que no soy tan ególatra). Lo estaba dando por supuesto, pero en mátemáticas hay que ser preciso. Ya lo he corregido.

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  15. Hola...

    Yo pensaba que los números irracionales eran los de mi nómina, porque de pequeña que es la cifra, no puedo razonar cómo es que llego a fin de mes, je je je...

    Ahora en serio, muy buen post, yo tampoco me había parado a pensar en lo del 2 y el 5. Qué nivel tiene este blog, madre!

    Saludos cordiales.

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  16. Muy bien explicado, ya casi nadie se acuerda de las diferencias entre racionales e irracionales...

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  17. Hola! Excelente blog este, vengo siguiéndolo desde la lejana Argentina.
    Quizás sería interesante agregar que cualquier número puede ser expresado con infinitas difras decimales (puros ceros) y de la existencia de una doble escritura en algunos casos (el conocido 1 y 0,99... por ejemplo)

    Te seguiré leyendo che!
    Un saludo

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