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lunes, diciembre 22, 2008

Lotería de Navidad

Últimamente parece que el universo conspira contra mí para impedirme actualizar el blog, pero uno es suficientemente tenaz, y esperar a que el universo se descuide. Así que aquí estoy de nuevo.

Mientras suena en la tele los inconfudibles «cantos» de los niños del Colegio de San Ildefonso, no puedo evitar recordar las supersticiones de mucha gente a la hora de comprar un décimo de la Lotería de Navidad, o las supuestas probabilidades con que nos han bombardeado los informativos.

Así, mucha gente es reacia a comprar números demasiado altos o demasiado bajos, o números con varios dígitos iguales, o números capicuas, o en general, cualquier número al que consideren «feo» (expresión escuchada infinidad de veces). Para rematar, los informativos de televisión nos repiten constantemente unas estadísticas de las cuales deducen que hay números o terminaciones con más probabilidad que otros.

Y la realidad es que, a menos que los bombos y las bolitas estén trucados, todos los números tienen las mismas probabilidades de salir. Tanto el 35.862 como el 11.111 están en el bombo, y se supone que todas las bolitas pesan lo mismo y tienen el mismo tamaño.

El evitar determinados números, es algo puramente psicológico. Hay tendencia a creer que en un sorteo, o en tiradas de dados, o en cualquier otro experimento consistene en la repetición del mismo suceso aleatorio, los resultados deben ser diferentes y uniformemente distribuidos. En el caso de la lotería (o la ONCE, por ejemplo), hay tendencia a pensar que los números «medianos» tienen más probabilidad de salir que los «extremos» (como el 1 ó el 99.999) Y eso no es asi. Al tirar un dado, por ejemplo, la probabilidad de que salga un número concreto es de 1 entre 6 (1/6). No es más probable el 3 que el 1. Y eso es así independientemente de que haya tirado el dado antes. Si jugando al parchís he sacado dos 6 consecutivos, la probabilidad de que me salga un tercer 6 (y volver a casa con la última ficha movida) es la misma de que me salga un 5, por ejemplo. Ó un 1. Ó un 4. Lo que es uniforme es la probabilidad (1/6 para todos los números), no el resultado.

Esta idea está muy bien explicada en un episodio de la serie Numb3rs. En el episodio en cuestión, el genio matemático le pide a su hermano y sus compañeros del FBI, que se dispongan en el despacho de forma aleatoria. Al hacerlo, resulta que se colocan más o menos equiespaciados. Entonces el matemático les explica que no se han colocado de forma aleatoria, sino que deliberadamente han buscado una distribución uniforme por la sala, y que en un suceso realmente aleatorio, habría «vacíos» y «aglomeraciones» de personas. Volviendo al ejemplo del parchís (o de cualquier juego donde se lancen dados), seguro que habréis experimentado cómo en determinados momentos, parece que hay numeros que siempre salen, o que nunca lo hacen (¿quién no ha sufrido en el parchís, el no sacar el primer 5 para salir durante turnos y turnos?).

Las estadísticas sobre terminaciones merecen una mención especial. Los días previos al sorteo, se nos ha repetido muchas veces las terminaciones que más y menos han salido a lo largo de la historia del mismo, concluyendo así que hay terminaciones con más probabilidad de salir que otras. Pero esto no es necesariamente así. Es cierto que ante la repetición del mismo suceso aleatorio, a medida que aumenta el número de repeticiones, la distribución de los resultados se aproxima más a la distribución de probabilidad. Así, si tiramos 100 veces una moneda al aire, seguramente veamos que han salido aproximadamente 50 caras y 50 cruces. Insisto en lo de aproximadamente, ya que también podría ser que hubieramos sacado 52 caras y 48 cruces. Ó 55 y 45. Esto es lo que se conoce como ley de los grandes números. Pero lo que nos dice la ley es que a medida que aumentamos el numero de repeticiones del suceso, la distribución de resultados se aproxima más a la distribución de probabilidad. No nos dice que sea igual.

En el caso concreto de la Lotería de Navidad, el número de sorteos a lo largo de la historia creo que anda en torno a los 200 (no llega). Uno esperaría que la ocurrencia de cada terminación fuera de 10% cada una, puesto que esa es su probabilidad, pero no tiene por qué ser exactamente así. 200 no parece un número demasiado elevado de repeticiones, y una terminación ha podido aparecer más veces que otra, por puro azar, sin implicar que sea más probable. Esas estadísticas, por tanto, sólo deben tomarse como curiosidad.

29 comentarios:

  1. Y si encima añadimos que este año, de forma acrítica, los medios van y sueltan que la probabilidad de que toque es de 16 millones en lugar de 1 entre 85.000 que son los números que se juegan (véase malaprensa) apaga y vamonos.

    pd.: Me acabo de enterar que me ha tocado 10 euros del euro que jugaba obligado (colegio de la hija) ¡¡bien!!

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  2. Bueno... mientras haya salud...
    Digo... que es cierto que los números tienen las mismas probabilidades. Sin embargo este año en la admon.de loterias me han endiñado el 00690 De acuerdo . es igual de probable ¿pero alguien esperaria que el tocase ese número?

    Gracias por el post

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  3. Estadística:
    Ciencia por la cual se deduce que si tú tienes dos millones y yo ninguno, los dos tenemos un millón.

    Por otro lado, las estadísticas siempre mienten y se utilizan únicamente para dar la sensación de que se sabe de qué se habla, y eso lo sabe el 75% de las personas.

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  4. Fe de erratas: Donde escribí "los dos tenemos un millón" debí escribir "cada uno de nosotros tiene un millón".

    Aun así creo que se entiende, ¿no?

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  5. También oí lo de los 16 millones que cita Arturios y me quedé perplejo. Más tarde, en Informe Semanal, una profesora de matemáticas dio ese mismo resultado. El error está en que hizo el cálculo multiplicando los números por las series, es decir, 85000 por 195. Incorrecto, pues todas las series reciben los mismos premios.

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  6. ¡He oído por ahí alguien desprestigiando las estadísticas! Las estadísticas funcionan... si se hacen bien.

    Si uno tiene dos y otro ninguno, la estadística dice que en promedio hay uno por persona, no que tengan uno cada uno. Otros valores nos hablarán de las diferencias entre unos y otros.

    Lamentablemente las estadísticas se suelen hacer mal e interpretar peor, y siempre a gusto del pagador. Por eso siempre nueve de cada diez... estudios científicos demuestran... el 80% por ciento de los encuestados... ¡Que grandes frases de nuestro tiempo! ¿Eh?

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  7. ¿85.000? Si no se juegan todos los números, entonces sí que es verdad que el 99.999 no saldrá nunca. Claro, que tampoco se venderá a nadie :-)

    Sin embargo este año en la admon.de loterias me han endiñado el 00690 De acuerdo . es igual de probable ¿pero alguien esperaria que el tocase ese número?

    Yo esperaría que tocase tanto como el que he jugado con mis compañeros de trabajo.

    Como curiosidad, en el sorteo de este año, en la pedrea ha salido el 10 (qué mal queda al cantarlo :-D).

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  8. Muy buena entrada, Alf. Con cierta frecuencia me veo tratando de convencer a la gente de que no hay nada de raro en que un conjunto no muy grande de datos en principio aleatorios tengan "cosas raras", con bastante poco éxito, por cierto.

    En la Lotería de Navidad, si no me equivoco, el gordo ha terminado en 5 30 veces, y en 1 solo 8 veces. De este tipo de ejemplos se pueden sacar dos conclusiones: o bien hay algún tipo de consipiración o bien la probabilidad funciona así. Y lamentablemente la primera explicación suele aceptarse con mayor facilidad que la segunda.

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  9. Hombre, por la teoría de los grandes números deberíamos jugar a los que no han salido nunca pues como al final todo se debe igualar ... :P

    S2

    Ranganok Schahzaman

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  10. Cuando he leído lo de las tiradas de dados y el tercer 6 del parchís he pensado en lo que dice Ranganok. La probabilidad de que salga es de 1/6, pero, creo, no debería ser exactamente ésa, pues a medida que se crea una serie de tiradas todos los números tienden a salir el mismo número de veces. ¿No es así?

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  11. ¡Los dados no tienen memoria ni voluntad! El que "tiendan a salir el mismo número de veces" no se debe a ninguna fuerza misteriosa que conoce los resultados anteriores y dispone las nuevas tiradas para que uniformicen el promedio. No "tienden a", sino simplemente que al tirar muchas veces las desviaciones se minimizan.

    Aunque la verdad, si yo fuera un dado...

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  12. Si me permiten, aquí se pone en juego al menos dos probabilidades.

    Por un lado, la probabilidad de que salga un determinado número de entre los 85 000. Imagino que si se analizan todas las terminaciones de los números que han salidos en los 200 (creo que dicen en el artículo) sorteos celebrados, la proporción de terminaciones será muy similar.

    Por otro lado, la probabilidad de que un determinado premio salga. Y lo digo por que los resultados de uno y otro vienen de bombos diferentes e independientes.

    Y por otro, la probablidad de que coincida determinado premio con determinado número.

    No sé si es así como se haría (las matemáticas no son mi fuerte), pero intuitivamente se me ocurre esto. Por tanto, decir que tal terminación ha salido más en el gordo, solo es dar información sesgada y engañosa. A mi modo de ver.

    Un saludo.

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  13. Una pregunta que quizas sea muy obvia, pero dados mis escasos conocimientos de aleatoriedad, ¿Por qué en el ejemplo de Numbers deberian aparecer aglomeraciones? ¿Hay alguna distribucion que modele la aleatoriedad? Entiendo logicamente que el poner las cosas de forma uniforme es por supuesto alejado de la aleatoriedad, pero tampoco me queda claro las aglomeraciones :-)

    Sobre el resto del artículo, en estas fechas mandan más los sentimientos que los números ;-) y sobre los periodistas... es para darles de comer aparte.

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  14. Dejando a un lado las estadisticas, nunca he estado muy convencido de que el bombo sea lo suficientemente "perfecto" para que la probabilidad de todos los números sea la misma.

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  15. maestro longaniza26 diciembre, 2008 13:48

    Hola wapo.

    Hace mucho sigo tu blog, y como se que eres muy inteligente a ver si me ayudas con este problema:

    Estoy en sustitución de una persona que ha desarrollado un portal de firma con applet y no veas que marrón nos ha dejado, se ha pirado por baja maternal.

    El error que me da es el siguiente:

    Añadiendo JCAPIProvider. DLL: C:\DOCUME~1\CONFIG~1\Temp\jcapi\JCAPI.dll
    java.lang.ExceptionInInitializerError
    at com.firma.applet.sign.Init.initJcapi(Init.java:65)
    at com.firma.applet.sign.Init.init(Init.java:25)
    at com.firma.applet.AppletFirma.init(AppletFirma.java:103)
    at sun.applet.AppletPanel.run(Unknown Source)
    at java.lang.Thread.run(Unknown Source)
    Caused by: java.security.ProviderException: C:\Documents and Settings\Madrid 35\Configuración local\Temp\jcapi\JCAPI.dll: Acceso denegado

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  16. Ya sabemos que no nos va a tocar la lotería; el problema si no compras es que existe una probabilidad (aunque muy pequeña) de que le toque a todos tus compañeros de trabajo y no a ti. Esa perspectiva es lo suficientemente horrible como para cambiar nuestra conducta.
    Un saludo

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  17. Para Ranganok y admiradores: ¿qué significa "al final"?

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  18. No sé, me perdí ese episodio de Barrio Sésamo

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  19. ¿Por qué en el ejemplo de Numbers deberian aparecer aglomeraciones?

    Más que deban aparecer, lo que ocurre es que es más probable que aparezcan, aunque intuitivamente creamos que es justo al contrario.

    Imagina que lanzas una moneda 10 veces. ¿Es más probable que salga una secuencia alterna exacta de cara-cruz-cara-cruz... (o empezando por cruz, no importa), o que aparezcan caras y cruces consecutivas?

    Con 10 lanzamientos, tenemos 1.024 combinaciones posibles (2 elevado a 10), de las cuales sólo 2 corresponden a una secuencia alterna exacta. Así que tenemos una probabilidad de 1/512 (0,2% aproximadamente) de que sea así. Y por tanto, tenemos una probabilidad de 511/512 (99,8% aproximadamente) de que salga al menos alguna cara o cruz consecutiva.

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  20. ¡Los dados no tienen memoria ni voluntad!

    Vuelvo a exponer mi punto de vista basado en cualquier cosa menos la comprobación científica.

    Se supone que la puntuación de tirar un dado un número n de veces tiende a 3.5 cuando n tiende a infinito (todos los números tienden a salir el mismo número de veces). Por tanto, aunque la probabilidad por tirada es de 1/6, es de suponer que será más probable que salga un número que iguale la tendencia.

    Desde luego no es científico, pero es que decir que la probabilidad de sacar 3 seises seguidos es de 1/6 me parece un poco aventurado.

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  21. La probabilidad de sacar 3 seises seguidos no es 1/6, sino 1/6 elevado a 3 (1/6 ^3), es decir, 1/216. Otra cosa diferente es que una vez hayamos sacado 2 seises, la probabilidad de sacar un seis en la tercera tirada es de 1/6, igual que la de sacar un 1 ó un 4, ó... Imagino que ha sido un lapsus.

    Entiendo que intuitivamente pueda parecer que es más probable que salga un número que aún no ha salido, pero la realidad no es así.

    Mira un ejemplo muy sencillo: tirar un dado 6 veces. Uno podría pensar de forma intuitiva, que es más probable que salgan los 6 números diferentes, a que alguno se repita. Pero en 6 tiradas, tenemos 46656 combinaciones posibles (6^6). De todas ellas, sólo 720 corresponden a combinaciones con los 6 números distintos (6! puesto que se trata de una permutación de 6 elementos). Así que tenemos que la probabilidad es de 720/46656, es decir de aproximadamente un 1,5%.

    Vale, es un ejemplo un poco tramposo (sólo 6 tiradas), así que vamos a ver con el ejemplo del comentario anterior de lanzar una moneda 10 veces. Ya hemos visto que las posibles combinaciones son 1.024. ¿Cuantas corresponden a un número igual de caras y cruces, es decir 5 caras y cinco cruces? Pues 10! / (5! * 5!), es decir, 252. La probabilidad es de 252/1024, es decir, algo menos de un 25%.

    La probabilidad tiene estas cosas tan antiintuitivas. Cuando el número de lanzamientos tiende a infinito, la aparición de los elementos tiende a su probabilidad (en el caso de los dados, cada número tiende a salir 1/6 de las veces). Pero eso ocurre por puro azar. No hay nada que "fuerce" el resultado, hasta el punto que hemos visto dos ejemplos en el que una distribución que concuerde con la probabilidad de cada elemento, es menos probable que una en la que no sea así.

    Y sí, es raro y poco intuitivo. Pero es así.

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  22. Hola Alf!
    Soy el que te preguntó por el porqué de las aglomeraciones de Numbers :-) Gracias por la respuesta. La verdad esque no acababa de ver la razon matemática.

    Feliz año nuevo!!

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  23. De todas formas, ya que te vas a gastar 20 euros en un número que casi con certeza no te va a tocar... ¡por lo menos que sea bonito! ;-)

    Feliz año y eso.

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  24. Lo de que cuando salen muchos seises seguidos en un dado, esperamos que "lo lógico" es que no salgan más, se conoce como "Falacia del jugador.

    Por otro lado, es cierto que en la lotería tipo el Gordo, cualquier número tiene la misma probabilidad de salir, y además el premio que se lleva un ganador es el mismo independientemente de cuantos lo hayan comprado. Sin embargo, no siempre es así, en las loterías tipo Primitiva, el premio no sólo depende de que salga, sino también de que nadie más juegue a la combinación ganadora. Más info en Loto, un sistema y, por ejemplo, una estadística de los números más y menos jugados a euromillones.

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  25. aun me acuerdo como el año pasado o hace dos años llegaron a decir" la loteria ha terminado en 7 solo 1 de cada 10 veces. es un numero muy raro"

    el descojone en malaprensa fue brutal.

    y en cuanto a la estadistica...se comete el error de darle siempre la misma validez a la media, cuando evidentemente no es asi. en el caso de "si yo tengo 2 y tu ninguno, la estadistica dice que tenemos 1" es una chorrada del quince. en ese caso la media no vale para una mierda, ya que la desviacion tipica es maxima, por lo tanto hay que evitar la media en favor de otros parametros estadisticos.

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  26. Pedazo de artículo, felicidades

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  27. Bueno si alguno de vosotros da con un número concreto que crea que va a tocar hay una app de Android que te ayuda a buscar un número de loteria de navida y del niñó (... y de cualquier sorteo)

    Aplicación Android buscador de loteria de navidad

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  28. Aunque tienes razón, en el sorteo de la lotería hay algo que no me acaba de convencer; si tenemos un décimo de entre los 100.000 números posibles, nuestra probabilidad sería de 1/100.000, sin embargo al estar distribuídos por diferentes localidades, si el premio cae en Barcelona y yo vivo en Madrid, ¿la probabilidad no sería de 0?

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