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jueves, agosto 31, 2006

Operación Threshold: ADN de triple hélice

Como lo prometido es deuda, hoy comentaré otro de los pilares argumentales de la serie de TV, Operación Threshold. Recordaréis que el argumento principal de la serie consiste en una extraña señal acústica que emite un artefacto alienígena, y que quien lo escucha sufre una mutación de forma que su ADN pasa de ser una doble hélice a una triple hélice. Seguro que sorprenderá a muchos, pero una ADN de triple hélice no es una imposibilidad. Se ha obtenido en laboratorio, e incluso se ha observado en la naturaleza, como producto intermedio de un proceso de una bacteria que habita en los intestinos (la E. coli). Sin embargo su estructura no es como nos la pintan en la serie.

Empecemos por entender qué es el ADN. Supongo que todos sabréis que ADN son las siglas de Ácido DesoxirriboNucleico. Pero ¿qué significa esto en realidad? Bien, comencemos por lo más básico: la desoxirribosa. Esquema de una molécula de desoxirribosa¿Qué es eso? La desoxirribosa es una pentosa, esto es, un monosacárido formado por cinco átomos de carbono. Su fórmula química es C5H10O4. Su disposición tiene forma pentagonal, estando 4 carbonos y un oxígeno en los vértices del pentágono. El quinto carbono se haya unido a uno de los carbonos del pentágono, formando como una ramita, y a su vez tiene un grupo OH. Los otros dos oxígenos también forman parte de sendos grupos OH, unidos a dos carbonos del pentágono. Numeremos los carbonos, ya que nos será útil después. En la representación de la molécula de desoxirribosa que podéis ver, el carbono 1 será el que está en el vértice superior derecho (a la derecha del vértice del oxígeno), y seguiremos en sentido de las agujas del reloj, de forma que el carbono 4 es el que está a la izquierda del vértice oxígeno, y el 5 el de la ramita.

Sigamos con otro tipo de molécula: las bases nitrogenadas. ¿Y esto qué es? Una base nitrogenada es otro compuesto orgánico cíclico, esta vez con varios átomos de nitrógeno. Existen dos tipos: las pirimidínicas, basadas en la pirimidina, que tiene disposición hexagonal; y las púricas (o purínicas), basadas en la purina, que tiene dos ciclos, uno hexagonal y el otro pentagonal. Existen 5 bases nitrogenadas: 2 púricas y 3 pirimidínicas. Las dos púricas son la adenina (representada por A) y la guanina (G). Las tres pirimidínicas son la timina (T), la citosina (C) y el uracilo (U). Éste último no nos interesa, ya que no forma parte del ADN, sino del ARN (ácido ribonucléico).

Bien, nos queda un último componente por ver: el ácido fosfórico. Éste es un compuesto de fórmula H3PO4. Si recordáis la química del colegio, un ácido se puede combinar con una base, obteniendo como resultado una sal y agua. En el caso del ácido fosfórico, obtendríamos un fosfato (cuyo anión es PO43-).

Vale, tenemos la desoxirribosa, las bases nitrogenadas y el ácido fosfórico. ¿Y ahora? Pues si al grupo OH del carbono 5 de la desoxirribosa (es decir, el que está en la ramita) le enganchamos una o más moléculas de ácido fosfórico (perdiendo hidrógenos y convirtiéndose en fosfatos), y al carbono 1 (el que está unido al vértice de oxígeno y que no está unido al de la ramita) le enganchamos una base nitrogenada cualquiera, tenemos un nucleótido. Esquema de una doble hélice de ADN, con sus nucleótidosLos nucleótidos son los ladrillos de la molécula de ADN. Éstos se unen entre sí mediante los fosfatos, formando una estructura helicoidal. Además, estas estructuras se unen de dos en dos, mediante puentes de hidrógeno en las bases nitrogenadas, formando la famosa doble hélice. Es muy importante destacar que no todas las uniones de bases nitrogenadas están permitidas. Sólo pueden formarse las parejas A-T, y G-C. Es inmediato deducir que una molécula de ADN tendrá el mismo número de adeninas que de timinas, y el mismo número de guaninas que de citosinas, y además, tendrá el mismo número de bases purínicas (A y G) que de pirimidínicas (T y C).

Esta molécula, como todos sabéis, forma parte de los cromosomas, y del famoso genoma. Como curiosidad, el genoma humano tiene alrededor de 3.000 millones de pares de bases.

Una vez entendido cómo es la doble hélice de ADN, vamos a ver cómo sería la triple hélice (llamada ADN-H). Diagrama de los enlaces de una triple hélice, con una tercera cadena de pirimidínicasImaginemos una doble hélice normal y corriente (llamada ADN-B). Ahora cogemos una tercera cadena y la unimos a una de las otras dos, también mediante las bases nitrogenadas. Es decir, una de las cadenas de la doble hélice, estaría enganchada a otras dos cadenas, pero siempre por las bases nitrogenadas. Los enlaces entre esta cadena y la cadena extra no son iguales que los que existen entre las dos cadenas de la doble hélice original.

Existen dos posibles configuraciones. En una de ellas, la tercera cadena está formada por las bases pirimidínicas T y C (en realidad, es una C+, pero esto es largo de contar y de momento no es necesario saberlo), que se unen a las bases A y G respectivamente, de la otra cadena. Los trios resultantes se denominan T·A-T y C+·G-C. Los guiones representan enlaces de hidrógeno normales (llamados Watson-Crick), y los puntos representan los enlaces extra (llamados Hoogsteen). En la otra configuración, la terecera cadena está formada por las bases purínicas T, A y G, que se unen a las bases A y G de la otra cadena. Diagrama de los enlaces de una triple hélice, con una tercera cadena de purínicas¿Cómo? Sí, en este caso las A y las G se unen entre sí, mediante los llamados enlaces Hoogsteen inversos, además de poder formarse también un par TA. Los trios resultantes son A·A-T, G·G-C y T·A-T.

Bueno, parece un poco lioso pero lo importante es darse cuenta de que en una triple hélice, las tres cadenas están unidas entre sí mediante sus bases nitrogenadas, y que cada nucleótido tiene una única base. En cambio, la triple hélice que se nos muestra en la serie, y que podemos ver muy bien en el primer episodio, en una animación tridimensional en un ordenador, tiene una cadena central, a las que se le unen las otras dos. Y cada cadena lateral se une a la central por extremos opuestos, de forma que cada nucleótido de la cadena central tendría dos bases (cada una para unirse con el nucleótido correspondiente de las otras dos cadenas). Y esto sí que no puede ocurrir.Fotograma del primer episodio de Operación Threshold, en el que se ve una animación por ordenador de una triple hélice

Otro detalle a tener en cuente es cómo transformar un ADN de doble hélice en uno de triple, porque ¿de dónde salen los nucleótidos de la tercera cadena? ¿Son nucleótidos de las otras dos? en ese caso la nueva hélice sería mucho más corta, ya que habría que quitar nucleótidos a las dos cadenas originales para formar la tercera. Y si no ¿de dónde salen ese 50% extra de nucleótidos? ¿De otras moléculas? ¿De la nada? Habrá que suponer que del sonido :-)

martes, agosto 29, 2006

Plutón y su circunstancia

El pasado jueves 24, como muchos sabréis, la UAI votó y aprobó una definición de planeta en la que Plutón queda excluido como tal, pasando a ser un planeta enano. Los medios se ha hecho eco de la noticia, con mayor o menor fortuna. Así, en algunos casos, se ha hecho referencia a su tamaño o a su peculiar órbita como motivos de esta degradación, que si bien ha influido para considerar que Plutón no es un planeta, la nueva definición no se basa ni en el tamaño ni en la órbita. En otros casos, se ha tomado la noticia con cierto humor innecesario. Aunque sin duda la que se lleva la palma es la aparecida en Terra, sobre unos budistas rusos que dicen que ellos nunca habían considerado a Plutón como un planeta (gracias Miguel, por comentarlo). Publicar en la sección de ciencia una noticia sobre astrología, y en la que además se cita la frase del portavoz de estos budistas los científicos contemporáneos hacen descubrimientos muchos siglos después que nosotros, como si la astrología fuera una ciencia superior a la astronomía moderna (de hecho, no es ciencia), es ridículo. No se ha descubierto nada nuevo. Simplemente se ha dado una nueva definición de planeta, o más bien, una definición formal, ya que antes no existía realmente.

¿Y por qué todo esto? Para entenderlo hay que remontarse varios siglos (incluso milenios) atrás. Los antiguos griegos, al observar el cielo nocturno, se dieron cuenta de que las estrellas conservaban la misma disposición noche tras noche, si bien todas giraban alrededor de un punto en la misma noche, y a lo largo del año. Además, había otras cuya posición cambiana noche tras noche con respecto a esa bóveda de estrellas fijas, y las llamaron planetes, que en griego significa errante. Entonces sólo se conocían Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno. En los modelos griegos, las estrellas fijas formaban una esfera que rodeaba nuestro sistema solar, y los planetas eran simplemente estrellas más cercanas.

Con el tiempo, los astrónomos fueron descubriendo la verdadera naturaleza de los planetas y del Sistema Solar. Las Leyes de Kepler y la Ley de Gravitación de Newton permitieron establecer las relaciones entre las distancias de los distintos planetas. Allá por la segunda mitad del siglo XVIII, se formuló la Ley de Titius-Bode, que establecía una sencilla fórmula matemática que relacionaba el número de orden de un planeta con su distancia. Según esta fórmula, tenía que existir un planeta entre Marte y Júpiter aún por descubrir. Hay que decir que actualmente no se conoce ninguna explicación teórica para esta ley totalmente empírica, por lo que se desconoce si se trata simplemente de una curiosa casualidad, o hay realmente algún principio físico detrás de ella.

En 1781, Sir William Herschel, descubrió un nuevo planeta, si bien ya había sido observado con anterioridad y confundido con una estrella. Recibió varios nombres, como Georgium Sidus (la estrella de Jorge, en honor a Jorge III) o Herschel, pero el que se impuso finalmente fue Urano, dios primordial del cielo en la mitología griega, padre de Cronos (Saturno para los romanos), que a su vez era padre de Zeus (Júpiter para los romanos). La distancia de este nuevo planeta se ajustaba perfectamente a la Ley de Titius-Bode

En 1801 se descubrió Ceres, al que su descubridor clasificó como cometa. Sin embargo, su órbita se encontraba entre la de Marte y Júpiter, en el hueco predicho por la Ley de Titius-Bode, así que los astrónomos concluyeron que se trataba de un planeta. Poco después, en 1802 se descubrió Palas, en 1804 Juno, y en 1807 Vesta. Estos cuatro asteroides (bueno, ahora Ceres es un planeta menor) se consideraron planetas durante varios años, hasta que los posteriores descubrimientos de muchos más objetos en órbitas similares, hicieron replantearse a los astrónomos su clasificación. Fue precisamente Sir William Herschel, el descubridor de Urano, el que acuñó el término asteroide (parecido a una estrella), ya que al ser objetos tan pequeños, no se podía apreciar ningún disco, y se veían como puntos, igual que las estrellas.

Volvamos con Urano. Su movimiento no era exactamente el predicho por la ley de gravitación de Newton. Así que, o bien Newton estaba equivocado, o bien las mediciones no eran correctas, o bien había otro planeta por ahí, aún sin descubrir, cuya gravedad perturbaba la órbita de Urano. Así, los astrónomos Adams y Le Verrier calcularon (y de forma independiente) dónde debería estar ese planeta, y en 1846 fue descubierto a menos de un grado de dicha posición (confirmando la ley de gravitación de Newton). Estamos hablando de Neptuno.

Neptuno también presentaba discrepancias entre su orbita calculada y observada, por lo que se dedujo nuevamente que había un planeta más. En 1930 se descubrió Plutón y se le consideró como el noveno planeta. Ya entonces se detectó que Plutón era un planeta muy peculiar, ya que su órbita era muy excéntrica comparada con la de los demás planetas. De hecho, su excentricidad es tal que llega a estar más cerca del Sol que Neptuno, durante una parte de su recorrido. Además, su plano orbital está bastante inclinado con respecto a la eclíptica. Sin embargo era un objeto grande y redondo, mayor que cualquier asteroide conocido.

Por esa época, se hicieron las primeras conjeturas de la existencia de una región más allá de Neptuno, donde habría numerosos objetos, restos de la formación del Sistema Solar, y que podrían ser el origen de algunos cometas. Hubo que esperar algunas décadas hasta que se confirmara su existencia, y se bautizara como Cinturón de Kuiper (en honor a Gerard Kuiper). Esta región se encuentra a una distancia del Sol, de entre 30 y 50 UA, por lo que la órbita de Plutón la atraviesa. Durante ese tiempo, diversas observaciones y cálculos, fueron reduciendo el tamaño de Plutón, hasta llegar a la estimación actual de 2.302 km de diámetro. No es gran cosa, menos que nuestra Luna, pero más del doble de Ceres, que es el mayor cuerpo del Cinturón de Asteroides.

Su pequeño tamaño, y su órbita, tan excéntrica, inclinada, y que cruzaba el Cinturón de Kuiper, dieron que pensar a los astrónomos, que dudaban entre reclasificarlo como un simple objeto transneptúnico, o seguir manteniendo su estátus de planeta, ya que después de todo era más grande que el resto de objetos de ese tipo descubiertos, y había cierta inercia histórica.

Pero el anuncio en 2005 del descubrimiento de 2003 UB313 (que como su nombre indica, fue descubierto en realidad en 2003, como ya comenté hace tiempo), con un tamaño estimado superior al de Plutón, hizo precipitarse los acontecimientos. Si Plutón era un planeta, entonces 2003 UB313 (llamado Xena, de forma extraoficial), también debía serlo. Y si no lo era, pues Plutón tampoco. Este descubrimiento puso de manifiesto que realmente no existía una definición formal y no ambigua de planeta.

Y como la astronomía es una ciencia, hay que formalizar la definición de algo tan básico como un planeta. La resolución del pasado jueves 24, define tres categorías

Un planeta es un cuerpo celeste que (a) está en órbita alrededor del Sol, (b) tiene suficiente masa para que su propia gravedad supere las fuerzas de cuerpo rígido de manera que adquiera una equilibrio hidrostático (forma casi esférica) y (c) ha limpiado la vecindad de su órbita.

Un planeta enano es un cuerpo celeste que (a) está en órbita alrededor del Sol, (b) tiene suficiente masa para que su propia gravedad supere las fuerzas de cuerpo rígido de manera que adquiera un equilibrio hidrostático (forma casi esférica), (c) no ha limpiado la vecindad de su órbita y (d) no es un satélite.

Todos los otros objetos que orbitan al Sol se deben denominar colectivamente Cuerpos Pequeños del Sistema Solar.

Fijáos que en la definición no se habla para nada del tamaño del objeto o de la distancia al Sol o de la excentricidad o inclinación de su órbita. Esto hubiera obligado a fijar límites arbitrarios. El punto importante, que diferencia a un planeta de un planeta enano es el haber despejado la vecindad de su órbita o no. Así, aunque Plutón y Ceres son redondos, en las inmediaciones de su órbita hay otros cuerpos (objetos transneptúnicos en el caso de Plutón, y asteroides en el de Ceres).

Sin embargo, esta nueva definición no está exenta de polémica, ya que hay dos puntos que dan lugar a la interpretación. Uno es del de la forma casi esférica. ¿Cuánto es casi? ¿Qué ocurrirá si se descubre un objeto que esté en el límite de redondez? Otro es el de vecindad, ya que ¿hasta dónde se considera la vecindad? La órbita de Júpiter no está despejada, ya que en ella se encuentran dos grupos de asteroides troyanos, y parece evidente que su estátus de planeta queda fuera de toda duda.

Pero resumiendo, la nueva definición de planeta no hace alusión a su tamaño, por lo que, aunque lleva tiempo debatiéndose su estátus por esta causa, Plutón no ha sido degradado por ser pequeño, como se afirma en algunos medios, sino por atravesar una zona poblada de objetos como es el Cinturón de Kuiper.

viernes, agosto 25, 2006

El efecto Biefeld-Brown

Hace ya varios días, recibí un correo electrónico de un nuevo lector de este blog, preguntándome si podría hablar del efecto Biefeld-Brown (saludos Mike). Se trata de un efecto interesante y muy mal entendido por muchísima gente, que ve en él una especie de fuerza de anti-gravedad, e incluso lo citan como posibles sistemas de propulsión de naves espaciales.

¿En qué consiste el efecto Biefeld-Brown? Bien, imaginemos un objeto conductor con determinada carga eléctica positiva. En el colegio nos enseñaron que los electrones de los átomos tienen carga negativa, y que cargas eléctricas de distinto signo se atraen. Así, los electrones de los átomos de aire muy cercanos al conductor, son atraídos por el objeto de carga positiva, e incluso arrancados de algunos de ellos, ionizando el aire. Este aire ionizado tiene carga eléctrica neta positiva (ha perdido electrones), y por tanto puede hacer lo mismo con átomos de aire que estén más alejados del conductor, aunque en menor medida. Si el objeto es estrecho y puntiagudo, el aire cercano al objeto se ionizará muchísimo. El gradiente de potencial eléctrico en esa zona (es decir, la variación de potencial eléctrico con la distancia) será muy alto, o dicho de otra forma, habrá una variación muy brusca de potencial. Desde el punto de vista eléctrico, parecerá que el objeto ha crecido, ya que el aire ionizado de alrededor afecta de la misma manera a las cargas eléctricas, que el propio objeto. Esto es lo que se conoce como efecto corona.

Bien, imaginemos ahora que ese objeto no está ahí solito, sino que forma parte de un circuito eléctrico. Concretamente, sería el electrodo positivo. Como electrodo negativo, utilizaríamos cualquier otro objeto, con formas más redondeadas. Resulta que al ionizarse el aire alrededor del electrodo positivo (el que tiene forma puntiaguda) y adquirir carga positiva (recordad, que pierde electrones), esas moléculas tienden a desplazarse desde el electrodo positivo (donde se originaron) al negativo, y en su recorrido, chocarán con otras moléculas de aire eléctricamente neutras, produciendo una transferencia de cantidad de movimiento entre ellas. El resultado global es que el aire que se encuentra entre los electrodos, se verá empujado en la dirección del movimiento de los iones, y por tanto, el sistema con los electrodos sentirá una fuerza en sentido contrario (por la famosa Tercera Ley de Newton). Es decir, la simple presencia del campo eléctrico, empuja nuestro invento. Pues bien, eso es el efecto Biefeld-Brown. Cuanto mayor sea el gradiente de potencial, mayor será la fuerza neta ejercida sobre los electrodos, pero si superamos la tensión de ruptura eléctrica del aire (momento en el cual el aire se comporta como un conductor), se producirá un arco voltaico (como en los rayos de tormenta) y perderemos el efecto.

Una vez entendido esto, parece obvia una aplicación inmediata de este efecto: la propulsión. Si somos capaces de desplazar aire en una dirección, nuestro vehículo se moverá en sentido contrario. De hecho, un avión funciona de forma parecida. Bien sea de hélice, bien a reacción, lo que hace es empujar el aire hacia detrás, de forma que el avión se mueve hacia delante. Si lo que hacemos es empujar el aire hacia abajo, como un helicóptero, podremos hacer flotar nuestro vehículo en el aire, sin moverse. Y precisamente por eso, hay quien piensa que lo que hace este efecto es crear una especie de anti-gravedad. El propio co-descubridor de este efecto, Thomas Townsend Brown, pensó que podría ser el medio de propulsión de platillos volantes.

Sin embargo, como podéis ver, la realidad es bien diferente. No hay ninguna relación entre el campo eléctrico y el gravitatorio. Simplemente se produce un desplazamiento de aire, igual que podría hacerlo una sencilla hélice (con la ventaja añadida de no necesitar partes móviles). No tiene más misterio. Y obviamente, no sirve para propulsarnos en el vacío del espacio, ya que no tenemos aire que ionizar y empujar.

miércoles, agosto 23, 2006

Operación Threshold: La señal alienígena

Carátula de Operación ThresholdPor fin he tenido ocasión de ver el primer episodio de Operación Threshold, y con todas las piezas juntas, ya puedo comentar acerca de esa famosa señal. Para el que no conzca la serie, todo comienza cuando cerca de un barco en alta mar, aparece un extraño objeto que emite un peculiar sonido. Dicho ruido afecta a los tripulantes, de forma que algunos mueren pero otros mutan. Su ADN se convierte en una triple hélice (otro día comentaré ese detalle) y les da una fuerza y resistencia sobrehumanas. Bien, resulta que todo es grabado por una videocámara, y el mero hecho de ver la grabación, afecta a tres de los protagonistas, alterándoles la mente de alguna manera. En episodios sucesivos se ve cómo a un niño se le graba accidentalmente la señal en un CD, una chica la escucha a través de un contestador automático (su novio la llamó por teléfono en ese momento) y la pasa a MP3, y cómo no sólo afecta a seres vivos, sino a aparatos electrónicos, creando una especie de virus informático.

La verdad es que se juntan tantas barbaridades, que es difícil empezar por algún sitio. Esta serie promete ser un filón (lástima que la emitan tan tarde). Bueno, empecemos por la señal en sí. En el primer episodio queda claro que se trata de una señal acústica, es decir, sonido. Tres protagonistas son afectados sólo con ver la grabación de la videocámara, y en posteriores episodios, diversas personas son afectadas únicamente al escuchar una reproducción de la misma. También queda establecido que la señal tiene componetes de muy alta frecuencia, y que si se eliminan, es relativamente inocua. No cambia a una persona, aunque un ser afectado previamente por la señal puede ver alterado su comportamiento.

Veamos, el mero concepto de poder alterar al ADN de una persona, o crear un virus informático en un dispositivo con cierta capacidad de proceso, es pura fantasía. El sonido es una vibración mecánica que se transmite por un medio material (como el aire, o nuestro propio cuerpo). Ciertamente, puede causar ciertos efectos. Un sonido de volumen elevado, puede causar daños a objetos y personas, puesto que la vibración que se produce en el objeto puede ser suficientemente violenta como para quebrarlo físicamente. Este efecto es mucho más acusado a determinadas frecuencias, que varían dependiendo del objeto, debido a un fenómeno llamado resonancia.

Resulta que algunos objetos o sistemas tienen una frecuencia natural de vibración. Si golpeáis (con cuidado) una copa de cristal (preferentemente bueno), escucharéis un pitido durante unos segundos. La frecuencia principal de ese sonido, es la frecuencia de resonancia de la copa. Si hacemos vibrar la copa a esa frecuencia de forma externa, como por ejemplo, con un sonido de suficiente volumen, la copa podría hacerse añicos. Sin embargo, hay otro factor determinante a tener en cuenta, y es el llamado factor Q (o factor de calidad). El factor Q nos viene a decir cómo de buena es la resonancia del sistema, o dicho de otra forma, cuando más bajo sea el Q, más intensidad necesitamos aplicar a la vibración. El ejemplo de la copa de cristal es bastante extremo, ya que esos objetos suelen tener un Q alto. Además, hay sistemas que no son resonantes en absoluto. Probad con una caja de carton mojada, a ver qué pasa.

En la serie, se lleva ese concepto a un extremo absurdo, en el que determinada combinación de frecuencias, puede reprogramar el código genético de un ser vivo, o un dispositivo electrónico, llegando incluso a que un aparato pueda realizar acciones totalmente fuera de su diseño. Así, en una de las salas del barco había una serie de osciloscopios, en los que se dibujaba el icono de tres ramas, tan característico de la serie, algo totalmente imposible (tal vez otro día entre en detalle con esto). Uno de los personajes, para explicar que no es una idea tan disparatada, pone como ejemplo el hecho de que un teléfono móvil pueda producir un tumor cerebral. Bueno, aparte de ser algo alarmista, es un muy mal ejemplo, ya que el posible daño que pueda producir un móvil, no viene de su altavoz, sino de su antena, es decir, lo que tanto preocupa a algunas personas, es la radiación electromagnética que emite, no el sonido. Una señal electromagnética no tiene nada que ver con una sonora (salvo que son oscilaciones). Ya lo comenté en una ocasión a raíz de un bulo acerca de abrir la puerta de tu coche con el móvil.

Bueno, imaginemos que nos creemos que se puede hacer, que los alienígenas son muy listos y han averiguado que al someter determinadas moléculas a determinadas vibraciones, se pueden conseguir determinados efectos (y que esas vibraciones sirven tanto para el ADN como para microchips). Si grabamos esa señal sonora, a menos que utilicemos un equipo de alta fidelidad, estaremos distorsionando inevitablemente la señal. Incluso un sistema Hi-Fi tiene sus limitaciones. El oído humano no puede captar ningún sonido por encima de los 20 khz, por lo que ningún sistema de sonido, por bueno que sea, tiene en cuenta frecuencias a partir de ese límite. No digamos una videocámara de mano, cuyo micrófono no creo que sea de mucha calidad, precisamente. En uno de los episodios, se llega más allá, y una chica es afectada por escuchar una parte de la señal grabada en un contestador automático, procedente de una llamada telefónica. Bien, las lineas telefónicas no son precisamente paradigma de fidelidad de sonido. No sé en EEUU, pero aquí en España, el ancho de banda de un canal de telefonía convencional es de 4 khz, es decir, no se transmite ninguna frecuencia por encima de los 4 khz. Y no sólo es una cuestión de limitación de altas frecuencias, sino que los elementos involucrados (micrófonos, altavoces) pueden alterar levemente la amplitud o fase de la señal de forma diferente, dependiendo de la frecuencia. Un sistema de alta fidelidad está diseñado para minimizar estos efectos, pero no se puede decir lo mismo del micrófono de un teléfono. Además, luego graba ese sonido en su ordenador, en formato MP3. Esto distorsiona aún más la señal, ya que el formato MP3 comprime los datos utilizando algoritmos con pérdida, es decir, que es matemáticamente imposible reconstruir la señal original, de forma exacta. Normalmente esto no es problema, ya que los algoritmos están basados en el hecho de que nuestro oído es incapaz de detectar determinadas variaciones, de forma que en algunos casos puede que no seamos capaces de notar la diferencia. Pero en el caso de esa señal, esa diferencia puede significar que deje de funcionar. De hecho, ya en el primer episodio se afirma que eliminando las altas frecuencias, se puede escuchar la señal sin peligro, y los protagonistas lo hacen en alguna ocasión.

Bueno, podría seguir y seguir, pero creo que de momento ya vale. Prometo dedicar más envíos a esta serie, aunque iré alternándolos con otros para no aburrir al personal.

martes, agosto 22, 2006

Blog de blogs

¿Dos envíos tan seguidos? Sí, pero este es muy breve, y no trata de mala ciencia, sino de MalaCiencia ¿ein? Sí, M@k, autor de Blog de blogs, ha publicado un artículo dedicado a MalaCiencia, junto con una entrevista que me ha hecho vía correo electrónico. Desde aquí, os invito a que os paséis por ahí.

lunes, agosto 21, 2006

CPU

Un par de comentarios del envío anterior, me han recordado uno de esos conceptos que la gente suele utilizar de forma equivocada: la CPU. Hay mucha gente que llama CPU a la caja o torre donde se encuentra la electrónica de un ordenador, en contraposición a elementos periféricos como el monitor, teclado o ratón. Se ha convertido en uso común en el mundo de la informática, y sin embargo, la CPU es algo completamente diferente.

CPU son las siglas de Central Processing Unit, que quiere decir, Unidad Central de Proceso (existe literatura en castellano en la que se utilizan precisamente las siglas UCP). ¿Y eso qué es? Pues básicamente el cerebro de un ordenador. La CPU es el circuito que se encarga de decodificar las instrucciones que conforman un programa (y que se hayan en la memoria principal), y ejecutarlas.

Comprender su funcionamiento es relativamente simple a nivel conceptual. Un programa no es más que un secuencia de números que están guardados de forma secuencial en la memoria principal del sistema (la famosa RAM). Estos números pueden ser instrucciones o datos. La memoria es algo externo a la CPU, pero ésta tiene unas pequeñísimas y rapidísimas memorias internas llamadas registros (para haceros una idea, lo normal en la actualidad es que sean de 32 ó 64 bits, es decir, 4 u 8 bytes). Uno de estos registros es el llamado contador de programa, y su misión es ir apuntando en todo momento a la posición de memoria que contiene la instrucción a ejecutar.

¿Apuntar? ¿Posición? Veamos, imagináos la memoria principal como un inmenso armario lleno de cajones. Cada cajón está numerado secuencialmente, y puede contener un fragmento de información (que puede ser 1 byte, ó 2, o lo que sea, dependiendo del diseño). La forma de referirme a cada cajón sería a través de su número, es decir, su posición en el armario. Cuando un registro o una posición de memoria tiene almacenado como dato, un número que se interpreta como una posición de memoria, se dice que está apuntando a esa posición, ya que me está indicando esa posición.

Sigamos, la CPU lee el número que se encuentre en la posición de memoria apuntada por el contador de programa, y la interpreta como una instrucción. Cada CPU tiene un juego de instrucciones, que especifican qué significa cada número. Imaginemos una CPU en la que el número 1, significa sumar, el 2 saltar a otra instrucción, etc. La mayoría de las instrucciones necesitan algún dato adicional. Por ejemplo, para que la instrucción sumar tenga alguna utilidad, hay que decirle qué números debe sumar. Dependiendo de la instrucción concreta, puede que justo después de ésta estén los datos, o puede que lo que haya sea otro número que nos apunte a la posición de memoria donde están, o puede que ya estén en otros registros de la CPU porque alguna instrucción anterior los haya puesto ahí. En cualquier caso, la CPU va leyendo instrucciones y datos, ejecutando dichas instrucciones, y modificando el contador de programa en el proceso.

Una parte importante de la CPU es la llamada ALU (Arithmetic Logic Unit, es decir, unidad aritmético-lógica), que se encarga de realizar las operaciones matemáticas, que básicamente son sumas, desplazamientos de bits y operaciones lógicas del álgebra de Boole, si bien, hay ALUs que además incluyen multiplicaciones, divisiones y aritmética de coma flotante (es decir, que pueden manejar números del tipo 6,6742x10-11).

En la prehistoria de la informática, los distintos componentes de la CPU estaban físicamente separados, en enormes circuitos. En la actualidad, la CPU se haya integrada dentro de un único chip llamado microprocesador. Es importante hacer notar que si bien la CPU está dentro del microprocesador, no todo el microprocesador consiste en la CPU. En un microprocesador se integran circuitos adicionales como puede ser una memoria caché, que consiste en una pequeña memoria muy rápida (no confundir con los registros de una CPU; esta memoria es bastante más grande) en la que se cargan fragmentos de la memoria principal , de forma que la CPU no tenga que acceder a dicha memoria principal (que es más lenta) para obtener cada instrucción o dato. Si os parece una distinción sutil o complicada, pensad en estos términos: un microprocesador es un chip, con sus patitas metálicas, que podemos tocar y sujetar en la mano. Un Pentium 4, por ejemplo, es un microprocesador. La CPU es, sin embargo, parte del interior de un microprocesador.

Sigamos. Un microprocesador, así solito, no sirve de mucho. Debe estar conectado a alguna memoria, para obtener las instrucciones y datos con los que operar. En un ordenador, el microprocesador y los chips de memoria (que normalmente consisten en varios chips iguales y en fila) se encuentran insertados en lo que se llama placa base, que consiste en una tarjeta (de cierto tamaño) de circuitos impresos, que conectan el microprocesador con la memoria, y otros circuitos que actuan como interfaz con otros elementos (como el disco) y el exterior (como teclado, y ratón, ya que no queremos un ordenador autista ¿no?).

En un ordenador de sobremesa actual, todo eso se encuentra dentro de esa caja metálica que muchos llaman CPU, junto con las unidades de disco, otras tarjetas con funcionalidades específicas (WiFi, gráficos 3D, etc) e incluso huecos y ranuras para añadir más unidades de disco o nuevas tarjetas, e ir ampliando nuestro ordenador. Pero fijáos que en realidad, esa caja no es la CPU. Esa caja tiene dentro la placa base, que a su vez incluye el microprocesador, en cuyo interior se encuentra integrada la CPU.

Así que a menos que aleguéis que estais utilizando una metonimia, no es correcto llamar CPU a esa caja.

jueves, agosto 17, 2006

Operación Threshold: Ordenadores y monitores

Carátula de la serieHace poco más de un par de semanas, recibí un correo electrónico (gracias, Jose Alberto) hablándome de una serie de TV llamada Operación Threshold, de la que no había oído hablar, y que ponen en Tele 5. Es una lástima haberme perdido el primer episodio, ya que el argumento gira en torno a una señal acústica alienígena que es capaz de mutar el ADN humano. Espero conseguir ver ese primer episodio, ya que tiene pinta de merecer un envío en este blog. Mientras, me conformaré con otras cosas que puedan ir apareciendo en la serie.

En uno de los episodios de hace dos semanas, un afectado por la señal intenta propagarla, enviándo una grabación de la misma mediante corréo electrónico, a varias personas. En el momento cumbre, cuando el chaval está a punto de enviar el correo desde un ordenador portátil, uno de los protas dispara y acierta justo en la pantalla del portátil, y todos respiran tranquilos.

Este es un error similar al que comenté hace mucho tiempo, y que supone confundir el monitor con el ordenador en sí. Supongo que eso se debe a que después de todo, la pantalla es una parte fundamental de la interfaz con un ordenador. Prácticamente toda la información que el aparato nos proporciona, lo hace a través del monitor. Y cualquier acción que realicemos (pulsar una tecla, mover el ratón), tiene una respuesta visual inmediata. Pero un monitor sólo es eso: una interfaz. Un elemento que nos muestra información. Un ordenador puede funcionar perfectamente sin monitor (y de hecho, los servidores no suelen tenerlo), si bien la interacción con él se hace casi imposible (para interactuar con un servidor, normalmente se utiliza un terminal remoto, que sí tiene monitor).

Pero lo importante es que si le pegamos un tiro al monitor, el ordenador puede seguir funcionando perfectamente. En el caso que nos ocupa, tal vez pueda ser suficiente, si el personaje en cuestión aún estaba arrancando su gestor de correo, o lo estaba elaborando, o copiando de algún sitio. Pero si estaba a punto de enviarlo, con el puntero (o el foco) sobre el botón de Enviar, simplemente hubiera tenido que hacer click (o pulsar la tecla Enter) para completar la tarea. Y hubiera funcionado independientemente de la presencia o no de un monitor que funcione.

Hay que decir que en el caso de un portátil, existe una posibilidad de que el destrozar la pantalla pueda afectar a todo el ordenador. En un aparato de estas características, el microprocesador, la memoria, toda la electrónica importante, está debajo del teclado. Eso incluye la fuente de alimentación. Veamos, en un ordenador de sobremesa, el monitor tiene su propia alimentación (es decir, un suministro de corriente). El cable de alimentación puede estar directamente enchufado en la pared, o puede ir a la fuente de alimentación del ordenador, si incluye una salida de corriente para este propósito. Y en éste último caso, la conexión es con la fuente de alimentación del ordenador, es decir, sin afectar a la electrónica interna del mismo. En un portátil , sin embargo, la pantalla está conectada directamente a la electrónica del resto del equipo, mediante varios pequeños cables. Es posible (aunque no pienso hacer experimentos al respecto) que determinados daños en la pantalla, puedan provocar una subida de corriente en uno de esos cables (mediante un cortocircuito, por ejemplo) que dañe el resto del aparato.

Pero sólo es una posibilidad, no una certeza. Si yo fuera el prota, dispararía al teclado o al individuo, pero no a la pantalla. Eso sería una lotería.

martes, agosto 15, 2006

Tirando de un helicóptero

Carátula de Underworld: EvolutionEste fin de semana tuve ocasión de ver la película Underworld: Evolution. Uno podría pensar que no tiene mucho sentido comentar nada de esta película en un blog como este, ya que estamos hablando de seres sobrenaturales (aunque en la primera peli intentan darle un viso de verosimilitud científica, explicando que el vampirismo y la licantropía están causadas por sendos virus mutados y extraños). Pero hay leyes básicas de la física que se deben cumplir. La escena en cuestión sucede hacia el final de la peli, en la lucha final entre los protas y los gemelos que dieron origen a los vampiros y a los hombres lobo. Markus, el padre de todos los vampiros, convertido ahora en un híbrido de poderes extraordinarios, por haber ingerido sangre de hombre lobo, es atacado por unos hombres desde un helicóptero. Del helicóptero cuelga una cuerda por la que bajó la protagonista vampira y un grupo de hombres. Markus coge esa cuerda, y tira hacia abajo con todas sus fuerzas, de forma que el helicóptero desciende con gran rapidez y se estrella en el suelo.

Bien, no importa la fuerza que pueda tener el personaje, ya que utiliza ambas manos para tirar de la cuerda, y no se sujeta a nada. Por tanto, la única consecuencia que tendría ese tirón, sería la de propulsarse a sí mismo hacia arriba, y ascender por la cuerda. Sin ningún punto de apoyo o asidero, Markus sólo cuenta con su peso para hacer descender el helicóptero, que tendría que ser superior al que pueda sostener el aparato. Y ese peso es como mínimo superior al de algunos hombres (creo que eran 3 ó 4), una vampira (la prota) y otro híbrido (el noviete de la prota), ya que el helicóptero estuvo cargando con esos pasajeros adicionales durante su viaje al castillo donde se desarrolla el final.

Es posible que hubiera podido desestabilizarlo un poco, ya que cuando un helicóptero se mantiene suspendido a una distancia constante del suelo, sus aspas están ejerciendo una fuerza de sustentación igual al peso del helicóptero. Al aumentar el peso, el helicóptero descendería. Pero basta con aumentar la fuerza de sustentación para igualar el peso adicional, o incluso superarlo y elevarse de nuevo, arrastrando al que tire de la cuerda. Y eso es algo que los pilotos de helicóptero hacen cada vez que deben recoger una carga adicional en pleno vuelo, como por ejemplo cuando rescatan a alguien en el mar. Y sin embargo, durante varios segundos el helicóptero desciende mientras el piloto grita ¡Córtala, córtala!.

En fin, un envío muy corto el de hoy.

jueves, agosto 10, 2006

Volcando al Poseidón

Carátula de PoseidónNo, no voy a hablar del nuevo remake del clásico La Aventura del Poseidón recientemente estrenada en los cines, sino de una versión algo más cutre, creada directamente para la TV, y que Antena 3 emitió hace dos fines de semana en un alarde de oportunismo (como hizo con Superman, Troya y un largo etcétera). En esta peli, la enorme ola es sustituida por unos terroristas que ponen un par de bombas en el barco, pero de las que sólo explota una (gracias a uno de los protas). La detonación produce un agujero en el lado de babor (el izquierdo en el sentido de la marcha) y hacia la popa. Al entrar el agua, el Poseidón se inclina hacia babor y termina volcando, pero permaneciendo a flote un tiempo, con gran parte de la quilla fuera del agua, incluyendo el agujero de la explosión.

El problema es que el Poseidon (ni ningún barco similar) puede volcar de esa manera, sólo por la inundación de parte de él. Hace un par de semanas expliqué cómo flota un barco, gracias al principio de Arquímedes: el peso del barco es contrarrestado por el empuje del agua, que es igual al peso del volumen de agua desplazado. Bien, hay que tener en cuenta que las fuerzas son magnitudes vectoriales, es decir, tienen módulo, dirección, sentido, y muy importante, punto de aplicación. ¿Qué es el punto de aplicación y por qué es tan importante? El punto de aplicación de un vector como su nombre indica, es el punto donde se aplica esa magnitud vectorial, es decir, en el caso de fuerzas, es el lugar exacto donde está actuando la fuerza. En un diagrama, correspondería con el inicio del segmento que representa el vector (es decir, el extremo opuesto a la punta de la flecha). Bien, en el colegio nos enseñaron que si tenemos un cuerpo sobre el que actuan dos fuerzas iguales y opuestas, la resultante total es nula, y por tanto, su cantidad de movimiento (o momento lineal) no variará (o lo que es lo mismo, no sufrirá variación alguna de velocidad). Si la línea que une los puntos de aplicación de ambas coincide con la dirección de las fuerzas (o dicho de otro modo, ambos vectores están contenidos en la misma línea), no tenemos que darle más vueltas. Pero si los puntos de aplicación no están alineados con la dirección de las fuerzas, tenemos lo que se llama un par de giro. El momento lineal del cuerpo seguirá sin variar, pero su momento angular sí que lo hará, es decir, estamos imprimiendo una aceleración angular al objeto, o dicho de otro modo, estamos modificando su velocidad ángular, o de rotación. Eso quiere decir que si en un barco, los puntos de aplicación del peso y del empuje no están alineados verticalmente, el barco se inclinará.

¿Dónde están esos puntos de aplicación en el caso que nos ocupa? En el colegio también nos enseñaron lo que es el centro de gravedad de un cuerpo. Es precisamente el punto de aplicación de la fuerza producida por la gravedad. En un cuerpo homogéneo (con la misma densidad en todos sus puntos), el centro de gravedad es simplemente el centro geométrico del mismo, o centroide. En un cuerpo no homogéneo, estará desplazado hacia la zona de más peso. En el caso de la fuerza de empuje, el punto de aplicación está situado en el centroide del volumen sumergido, y se le llama centro de flotabilidad. En circustancias normales, ambos puntos están alineados verticalmente, y además se encuentran cerca del centro del barco. Además, el centro de gravedad suele estar sobre el centro de flotabilidad (puesto que el barco tiene una parte emergida importante).

En la peli, uno de los tripulantes explica algo relativo a la altura metacéntrica, tras el vuelco del barco. ¿Qué es eso? Bien, la altura metacéntrica es un concepto muy útil para determinar la estabilidad de un barco. Imaginad que el barco se inclina por cualquier motivo (normalmente oleaje). El centro de gravedad del mismo seguirá en el mismo sitio (a menos que la carga está fatalmente asegurada y se desplace), pero puesto que la geometría del volumen sumergido ha variado, el centro de flotabilidad cambia de posición. Trazemos ahora una recta vertical desde el centro de flotación. Tracemos también una recta siguiendo la vertical del barco (que ahora estará inclinada) que pase por el centro de gravedad. Las líneas se cortan en un punto que se denomina metacentro. La distancia entre el metacentro y el centro de gravedad, es lo que se conoce como altura metacéntrica. Dibujo que representa un barco estable, con el centro de gravedad, el centro de flotación y el metacentro alineados, y un barco inclinado con los tres puntos desplazadosFijáos que si el metacentro está por encima del centro de gravedad (altura metacéntrica positiva), quiere decir que el centro de flotabilidad se ha desplazado hacia el mismo lado al que el barco se inclina. Por tanto, el par de giro resultante imprimirá al barco una rotación en sentido contrario al de la inclinación, por lo que el barco volverá a su posición inicial. Este par será mayor cuanto más separados estén los centros de gravedad y de flotabilidad, es decir, cuanto mayor sea la altura metacéntrica. Si el metacentro coincide con el centro de gravedad (altura metacéntrica nula), quiere decir que los centros de gravedad y de flotabilidad están alineados verticalmente, y no hay par. El barco se quedará inclinado. Y si el metacentro queda por debajo del centro de gravedad (altura metacéntrica negativa)... ¡sálvese quien pueda! El centro de flotabilidad está en el lado contrario con respecto al centro de gravedad, por lo que el par de giro generado imprimirá una rotación en el mismo sentido de la inclinación, y el barco volcará.

Entonces ¿cuál es el problema? Pues que en la película, la inclinación del barco es producida por la entrada de agua en un costado. A medida que entra agua, el barco pesa más en esa zona, por lo que el centro de gravedad baja y se desplaza a babor (hacia el lado del agujero). El barco se inclina hacia ese mismo lado, por lo que el volumen desplazado cambia y el centro de flotabilidad también se desplaza a babor. Dependiendo de la geometría del casco, uno de los dos centros se desplazará más que otro, por lo que el barco podría salvarse o volcar. Pero durante todo ese tiempo, el agua que entra hace que las zonas inundadas pesen mucho más, por lo que el centro de gravedad bajará. Además, el peso total del barco será mayor, por lo que se hundirá poco a poco. Y en estos dos factores está el meollo del asunto. Debido a la inundación, el centro de gravedad está bastante cerca de la quilla. Para que ésta emerja tanto como en la película, el centro de gravedad del barco debe de subir, es decir, la flotabilidad del barco debe aumentar. Y eso es imposible, ya que el barco tiene una enorme vía de agua y se está hundiendo. Fijáos además en que en la película, el agujero por el que entraba el agua, queda luego bastante por encima de la línea de flotación. Eso no puede ocurrir a menos que alguna otra fuerza haga volcar el barco (como una ola gigante).

Podéis pensar también de la siguiente forma (más intuitiva): Para que el barco vuelque, la parte superior debe pesar más que la inferior. Pero la inferior se está inundando, por lo que cada vez pesa más. En realidad, si un barco llegara a volcar por el desequilibrio introducido por una inundación, a la vez que se produce el vuelco, el barco se hundiría. El efecto sería algo similar a lo que se ve en la película Pearl Harbor, durante el hundimiento de algunos buques de guerra torpedeados. El barco se inclina y se hunde a la vez, de forma que cuando aún no ha terminado de volcar, está casi sumergido por completo. En ningún caso volcaría emergiendo, que es lo que ocurre en Poseidión, con una fracción del barco tan grande por encima del agua.

Por último, un detalle que ya remata toda la situación. El agujero está en la popa, pero una vez se ha dado la vuelta, resulta que el barco se hunde antes por la proa. Tendría que ser justo al revés, y hundirse antes por la zona más inundada, es decir, la popa.

miércoles, agosto 09, 2006

Imaginando la décima dimensión

Alberto Vilches, del blog Yo, programador, me ha invitado (junto a Remo y Patxi de CPI) visitar la web Imagining the Tenth Dimension, y que comente algo, o resuma algo o lo que sea. Bueno, no es habitual que haga un envío que no gire en torno a algún error cometido en algún sitio, pero alguna vez lo he hecho por petición popular, y entronca con el concepto de espacio-tiempo comentado en el envío anterior. Así que vamos allá.

El que tenga un navegador con la última versión del plugin de Flash, podrá ver una animación que explica muy bien cómo ir imaginando cada vez más dimensiones, hasta llegar a la décima. El sitio está en inglés, así que repetiré aquí las explicaciones, con mis propias palabras e ideas, esperando que podáis entenderlo después de la resaca de la Relatividad Especial y la paradoja de los gemelos.

Comencemos con un punto. Como sabemos, un punto no tiene dimensiones. Es una abstracción matemática muy utilizada en física, donde consideramos que los objetos son puntos. Pensemos en la Ley de Gravitación Universal de Newton. Aplicada al movimiento de planetas, siempre consideramos que éstos son puntos, con toda su masa concentrada en ese punto. Una aproximación válida siempre que las distancias sean grandes comparadas con el tamaño del planeta, ya que si no, comienzan a aparecer otros efectos que no podemos explicar si únicamente fueran puntos (como las fuerzas de marea).

Si tenemos dos puntos distintos, podemos trazar una recta entre ellos. Tenemos entonces la primera dimensión. Una línea no tiene alto ni ancho, sólo longitud. Si imaginamos un universo de una sola dimensión, con habitantes de una dimensión, éstos sólo podrían ir hacia delante y hacia detrás. Una vida un poco aburrida

Con dos dimensiones ya tenemos un plano. Al igual que se puede definir una línea mediante dos puntos, se puede definir un plano mediante tres puntos, pero vamos a hacerlo de otra manera. Dos rectas que se cortan definen un plano. O dicho de otra manera, dos universos de una dimensión que se cruzan, sólo pueden imaginarse en dos dimensiones. Pensemos en una línea que se bifurca. Volvamos a nuestros seres de una dimensión. Imaginad uno de ellos que camina por su recta hasta llegar al cruce con otra recta. Estaría ante una bifurcación, y dependiendo de por dónde siguiera, entraría en un universo completamente diferente. Pero ese ser no podría imaginarse cómo es posible. Podemos imaginar también un universo de dos dimensiones donde habitan seres bidimensionales. Estos seres planos tendrían anchura y longitud, pero no altura. No podrían imaginarse una tercera dimensión. Imaginad ahora cómo verían un objeto tridimensional que cruzara su universo bidimensional. Sólo serían capaces de percibir la sección contenida en el plano que forma su universo. Es decir, imaginad una esfera que cruza ese universo plano. Los seres bidimensionales verían un pequeño círculo que aparece de la nada, que va creciendo hasta llegar a un máximo (justo cuando el plano corta por la mitad a la esfera) y luego se encoge hasta desaparecer. Para ellos sería un misterio.

Imaginar tres dimensiones es extremadamente sencillo, ya que estamos acostumbrados a un entorno tridimensional. Longitud, anchura y altura. Pero pensad en otra forma de definir la tercera dimensión. Recordemos el universo plano de dos dimensiones. Imaginad que es una enorme cartulina, que doblamos de forma que algunos puntos de la cartulina estén en contacto con otros puntos de la misma. Un ser de dos dimensiones que habitara ese universo bidimensional plegado, no podría percibir esos plieges. Pero en determinados lugares, podría pasar de un punto de su universo a otro muy alejado (para él), en un instante de tiempo, ya que esos dos puntos se tocan, por estar la cartulina doblada. Volvamos ahora los seres unidimensionales. Para ellos, la segunda dimensión sería una bifurcación en su universo lineal, de forma que podrían acceder a otro universo lineal. Pero si ese "multiverso bidimensional" se pliega sobre una tercera dimensión, los seres unidimensionales no sólo podrían ir a otros universos unidimensionales, sino a otros puntos de su mismo universo. Además, podrían trasladarse a otro universo lineal sin necesidad de utilizar la "bifurcación" donde se corta su universo con el otro.

Bueno, recapitulemos para no perdernos, que a partir de ahora las cosas se complican: una dimensión, significa que puedo unir dos puntos con una línea. Una segunda dimensión, significa que mi línea se bifurca en determinados puntos. Una tercera dimensión significa que puedo plegar esas líneas.

Vayamos ahora con la cuarta dimensión. Como sabéis, el tiempo es la cuarta dimensión. En el envío anterior vimos que según la Relatividad Especial, es necesario utilizar el tiempo como si fuera una coordenada más para situar un evento, de forma que vivimos en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones. Recordemos el universo plano con sus habitantes bidimensionales, y cómo perciben un objeto tridimensional que atraviese su universo. Intentemos hacer nosotros una analogía con el tiempo. Un objeto tiene existencia en cuatro dimensiones, de las que sólo percibimos 3, porque de la cuarta sólo podemos captar un instante. Pensad en una persona a lo largo de su vida, desde que es un embrión, nace, crece, envejece, hasta que muere. Si intentáis visualizar una especie de película acelerada de su vida, sería algo similar a lo que ocurría en el universo plano cuando lo atravesaba una esfera. Intentad hacer ahora lo mismo con todo lo que véis, o mejor aún, con todo el universo. Para ello, imaginemos que tomamos una instantánea del universo en un instante dado, y concentramos todo el universo tridimensional de ese instante en un sólo punto. Hagamos lo mismo, pero un minuto después. El tiempo sería una línea que une esos dos puntos del universo, en instantes de tiempo diferentes. Así que imaginad que el tiempo es una línea. El universo espacial tridimensional es un punto, y la cuerta dimensión es una línea que une esos puntos pertenecientes a distintos momentos.

Si sois aficionados a las historias de viajes en el tiempo, el siguiente paso os resultará fácil. Si no, podéis ver Regreso al Futuro II. Veamos, supongo que todos tendréis uno o varios momentos clave en vuestra vida en la que tomasteis una decisión, y os habéis arrepentido. Os preguntáis qué habría sucedido si hubieseis hecho otra cosa, e incluso desearíais poder retroceder en el tiempo para cambiar lo ocurrido. Pues imaginad que tomasteis esa otra decisión. Que existe otro universo, otro espacio-tiempo en el que esa otra posibilidad sucedió. Si el tiempo es una línea, estaríamos ante una bifurcación. En ese instante crítico, la línea temporal se divide en dos, y cada una transcurre por rumbos separados. Pero como vimos en el ejemplo de una y dos dimensiones, para bifurcar una línea necesitamos una dimensión adicional. Esa dimensión sería la quinta. Así, podemos imaginar la quinta dimensión como una dimensión necesaria para permitir la existencia de líneas temporales diferentes. Los aficionados a los cómics Marvel, reconocerán aquí esos universos alternativos, en los que una simple diferencia en el pasado, crea toda una línea temporal diferente. Es clásica la saga de Dias del Fututo Pasado, de la Patrulla X, que nos muestra un futuro alternativo apocalíptico, del que a veces vienen sus habitantes, o a veces, son nuestros protagonistas los que viajan a él. Resumiendo, la quinta dimensión permite bifurcaciones en la cuarta dimensión.

¿Cómo viajar por la quinta dimensión? Pues la única forma de hacerlo sería retroceder por nuestra línea temporal con una máquina del tiempo hasta llegar a la bifurcación adecuada, y una vez allí, tomar esa otra línea temporal, y luego otra, y otra, hasta llegar a nuestro destino. En la película Regreso al Futuro II, Marty McFly y Doc Brown se ven atrapados en una línea temporal diferente, en la que Biff se ha hecho multimillonario gracias a un almanaque deportivo proveniente del futuro, con los resultados de todos los acontecimientos deportivos que habrían de ocurrir, apostando así sobre seguro. Para volver a su línea temporal (aunque en la película se considera que sólo existe una, y que se puede alterar), nuestros amigos deben retroceder en el tiempo hasta el momento en el que se produce la bifurcación, cuando el joven Biff recibe el almanaque del futuro. Imaginad ahora que nuestra bifurcación temporal se encuentra muy muy atrás en el tiempo. Tal vez en la Grecia clásica. Tal vez en el Jurásico. Tal vez antes de que se formara el Sistema Solar. O tal vez pocos segundos después del Big Bang. Un viaje muy largo. ¿Cómo podríamos ir de una línea temporal a otra, sin necesidad de recorrer todo ese camino? Pues al igual que ocurría en el paso de dos a tres dimensiones: plegando el universo. Y para eso necesitamos una dimensión adicional: la sexta dimensión. Así, viajando por la sexta dimensión podríamos tomar "atajos" entre líneas temporales, o incluso a través de la nuestra. Podríamos desplazarnos a un universo en el que fuéramos multimillonarios, sin necesidad de retroceder en el tiempo y buscar la bifurcación adecuada (aunque seguramente nuestro otro yo nos tacharía de gorrones y nos mandaría de vuelta con una patada).

Recapitulemos de nuevo. Hemos imaginado la cuarta, quinta y sexta dimensión de forma análoga a la primera segunda y tercera: una línea, una bifurcación, un pliegue.

Sigamos. Imaginad todas las líneas temporales posibles. Todas tienen un inicio común: el Big Bang. Por muchas diferencias y bufurcaciones, en todas esos universos las leyes de la física son iguales, ya que han partido del mismo Big Bang, con las mismas condiciones iniciales. Bien, comprimamos ahora todo ese multiverso en un único punto, como hicimos antes. Nuestras infinitas lineas temporales bifurcadas y plegadas, serían un único punto en la séptima dimensión. Aquí debo decir que algo se me escapa en la explicación de Imagining the Tenth Dimension, puesto que un punto no tiene dimensión. Para imaginar la séptima dimensión necesitamos otro punto y trazar una línea. Y sin embargo, eso es lo que hacen en la web para imaginar la octava dimensión.

¿Y cómo podemos imaginar otro punto? Pues pensad en un Big Bang diferente. Imaginad otro punto, formado por todos los posibles universos creados a partir de un Big Bang con condiciones iniciales diferentes. En esos universos, la gravedad podría actuar de forma diferente, la carga de un electrón sería diferente, la velocidad de la luz en el vacío sería diferente, o puede que esté formado por antimateria en vez de por materia. Un ejemplo de ello sería la famosa Zona Negativa que aparece en los cómics de Los 4 Fantásticos, y que consiste en un universo alternativo formado por antimateria. Podemos unir esos universos mediante líneas, y para ello necesitamos una octava dimensión.

¿Cómo viajar entre esos universos? Bueno, podemos hacerlo a través de la octava dimensión, pero volveríamos a la situación de la quinta dimensión. ¿Y si nuestro universo destino está muy lejos? Pues tendríamos que atravesar muchos otros universos. A menos que todo este multiverso de ocho dimensiones que hemos imaginado, esté plegado sobre sí mismo. Y para ellos necesitamos... ¡exacto! una dimensión más. La novena dimensión. Esa novena dimensión nos permitiría ir de un universo a otro, con orígenes diferentes, tomando atajos, sin necesidad de atravesar universos intermedios.

Y así llegamos a la décima dimensión. Al igual que hicimos con nuestro universo tridimensional, comprimiéndolo en un único punto en la cuarta dimensión, y comprimimos nuevamente nuestro multiverso temporal hexadimensional en un único punto en la séptima dimensión, repitamos el proceso y comprimamos nuestro ¿omniverso? eneadimensional (¿o es nonadimensional?) en un único punto, y tendremos la décima dimensión. Y parece que aquí se ha acabado todo. Hemos imaginado todas las posibles líneas temporales de todos los posibles orígenes del universo, y las hemos comprimido en un punto. Para obtener un punto distinto y trazar una línea, y seguir con el proceso, necesitamos imaginar otros posibles infinitos. Pero ya no podemos. Lo hemos abarcado todo. Hemos considerado todos los posibles inicios del universo, y todas las posibles evoluciones del mismo. No podemos seguir.

Bien, hasta aquí la explicación que aparece en Imagining the Tenth Dimension. Ahora una serie de consideraciones. Ya he dicho antes que no acabo de entender el paso de la séptima a la octava dimensión. En la explicación de ITD, la sexta dimensión sería un único punto, pero eso parece contradecir la propia definición de dimensión. Necesitamos otro punto para trazar una línea, y eso lo hace en la octava dimensión. Lo mismo ocurre con la décima. Todo lo que hemos imaginado se reduce a un punto, y ya no podemos seguir pues no podemos imaginar otro punto. Entonces ¿en qué consiste realmente esa décima dimensión? ¿Un sólo punto? Puede que me haya perdido algo importante.

Por otro lado, toda esta explicación está muy bien como ejercicio didáctico, para enseñarnos a imaginar dimensiones más allá de la cuarta. Pero si sólo se puede llegar a la décima, tenemos un problema, ya que en determinadas teorías de Supercuerdas, se predicen 11 ó incluso 26 dimensiones. ¿Cómo podemos imaginarlas? Bueno, podríamos utilizar esas técnicas de imaginar, y pensar por ejemplo que antes de llegar al tiempo como cuarta dimensión, podemos plegar el espacio, como se supone que ocurre con los agujeros de gusano, que conectan puntos de nuestro universo muy separados entre sí. O podríamos pensar en que el tiempo se pliega también sobre una dimensión más antes de bifurcarse, permitiendo acceder a distintos puntos de la línea temporal, sin vecesidad de viajar por ella. Puede que incluso sea la única forma de viajar a un punto anterior.

Pero así sólo llego a dos más. Pensar en alcanzar 26, la verdad es que da vértigo. ¿Alguna idea?

martes, agosto 08, 2006

La paradoja de los gemelos: Un poco de matemáticas

Dedicado a Maelstrom :-)

En el envío anterior, intenté explicar que la famosa paradoja de los gemelos es sólo aparente, es decir, que en realidad no existe, sino que se llega a una conclusión errónea debido a unas premisas o razonamientos incorrectos. Para ello, intenté evitar el uso de las matemáticas, exponiendo el problema y su resolución de forma más o menos intuitiva (cometiendo además un error en lo que se refiere a la contracción espacial, que los que lleguen hasta el final del artículo y lo entiendan, podrán deducir). Sin embargo, las consecuencias de la Relatividad Especial no son nada intuitivas, y eso se ha visto reflejado en los numerosos comentarios de lectores que no acababan de verlo claro. Así que me temo que voy a tener que demostrar que la paradoja no existe, mediante el uso puro y duro de las matemáticas. Pero no temáis, que no veréis cosas raras aquí. Sólo hace falta saber cómo se manipula una igualdad , y no veréis nada más complicado que una raíz cuadrada, es decir, matemáticas que se aprenden en el colegio.

Antes de comenzar con fórmulas y ecuaciones, hay que tener claros un par de conceptos, y conocer el porqué de la Relatividad Especial. Veamos, en las clases de física del colegio, nos enseñaron que para poder resolver cualquier problema, es necesario definir un sistema de referencia, que básicamente es un sistema de coordenadas seleccionado por nosotros. Diagrama de un sistema de coordenadas cartesianoPodemos orientar los ejes como más nos convenga. Podemos situar el origen de coordenadas donde más nos convenga. Podemos incluso tener ejes que roten y un origen que se desplace, de forma que todo nuestro sistema de referencia se mueva. Si el origen se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme (esto es, a velocidad constante), y los ejes no rotan, decimos que es un sistema de referencia inercial.

Puesto que podemos seleccionar el sistema de referencia que más nos apetezca, uno puede pensar que el resultado final va a depender del sistema escogido. Sin embargo, el sentido común parece indicar lo contrario, ya que nuestra experiencia cotidiana nos enseña que las cosas ocurren independientemente de cómo las observemos. Galileo ya estableció en su día un principio de relatividad, llamado invariancia galileana o relatividad galileana, que afirma que las leyes fundamentales de la física son iguales en todos los sistemas de referencia inerciales. Así, podemos utilizar cualquier sistema de referencia inercial para resolver un problema, que obtendremos idénticos resultados, aunque expresados en sistemas de coordenadas diferentes. Para traducir las coordenadas de un sistema de referencia a otro, se utiliza la llamada transformación de Galileo, que consiste en lo siguiente: Si tengo un sistema de referencia cartesiano, al que llamaremos S, y un segundo sistema de referencia, al que llamaremos S', cuyos ejes son paralelos al anterior, y además se mueve con respecto a aquél a velocidad constante v, a lo largo del eje X de coordenadas, resulta que para convertir las coordenadas (x, y, z) en el sistema S a las coordenadas (x', y', z') en el sistema S', debemos utilizar las siguientes ecuaciones:

x' = x - v·t
y' = y
z' = z

donde t representa el tiempo. Veamos un ejemplo sencillo. Imaginemos un tren que viaje en línea recta, a una velocidad constante de 100 km/h. Establezcamos como sistema de referencia S un lugar situado en alguna de las estaciones de su recorrido, y comencemos a contar el tiempo desde el momento en el que el tren pasa por la estación. Es evidente que dos horas después, el tren se hallará a 200 km de la aquélla. Sus coordenadas x, y, z serán S(200, 0, 0). Establezcamos ahora un segundo sistema de referencia S', en el propio tren. Utilizando la transformada de Galileo para las coordenadas anteriores, tenemos:

x' = x - v·t = 200 - 100·2 = 0
y' = y = 0;
z' = z = 0

es decir, nuestras coordenadas serán S'(0, 0, 0), lo cual era de esperar, ya que hemos dicho que nuestro origen de coordenadas en S' era el tren. Calculemos ahora las coordenadas de la estación. En S serán S(0, 0, 0), puesto que es el origen. En S' serán:

x' = x - v·t = 0 - 100·2 = -200
y' = y = 0;
z' = z = 0

es decir, S'(-200, 0, 0), algo también bastante intuitivo, ya que la estación quedó 200 km atrás. Fácil, ¿verdad?

Pues sigamos. Resulta que esta transformación que funciona tan bien en el mundo de la mecánica clásica (para entendernos, la mayor parte de la física que hemos estudiado en el cole), no se podía aplicar al electromagnétismo, regido por las ecuaciones de Maxwell. Para mantener la invariancia de los sistemas de referencia inerciales, había que utilizar una transformación diferente, llamada transformación de Lorentz:

x' = γ(x - v·t)
y' = y
z' = z
t' = γ(t - v·x/c2)

donde c es la velocidad de la luz en el vacío, y γ es el llamado factor de Lorentz, que se define como:

γ = 1/(1 - v2/c2)1/2

Fijáos que aparece el tiempo en las ecuaciones. Ya comentaré las implicaciones de eso más adelante. Como véis, la velocidad de la luz en el vacío aparece como una constante. En aquel entonces, se creía en la existencia del eter, que era una especie de sustancia presente en todas partes, y que se podía considerar como sistema de referencia para el reposo absoluto. Es decir, la velocidad podía ser absoluta, ya que este éter sería un sistema de referencia en reposo absoluto. Si esto fuera cierto, la velocidad de la luz medida en la Tierra, sería distinta según la orientación del haz de luz, ya que la Tierra se mueve con respecto a ese supuesto éter. Sería algo parecido a una persona nadando en un río. Su velocidad con respecto a la orilla, dependería de si nada contra corriente, a favor o de forma transversal. Sin embargo, el experimento de Michelson-Morley demostró que no era así. La velocidad de la luz es siempre la misma.

La Teoría de la Relatividad Espacial surgió como un intento de unificar la mecánica clásica de Newton, y el electromagnetismo. Se basa en dos postulados: las leyes de la física son iguales en cualquier sistema de referencia inercial, y la velocidad de propagación de la luz en el vacío es independiente de la velocidad del emisor de luz. A partir de estos postulados, y utilizando la física conocida hasta entonces, Einstein desarrolló su famosa teoría. Una de las consecuencias de este desarrollo es que la velocidad de la luz en el vacío es independiente de la velocidad del observador. Esto parece poco intuitivo, ya que en nuestra experiencia cotidiana, sabemos que si viajamos en un coche a 100 km/h, y nos adelanta un coche a 150 km/h, su velocidad relativa a nosotros es de 50 km/h. Sin embargo con la luz no es así. Si viajamos en una nave espacial a 0,5 c, y desde nuestros puntos de destino y origen nos emiten una señal electromagnética, las veremos viajar a c con respecto a nosotros. A ambas señales. Y sin embargo, desde el origen y el destino, también observarán que la señal se propaga a c.

La única forma de que esto ocurra, es que el tiempo y el espacio se dilaten o contraigan con la velocidad. Antes os hice notar que en las ecuaciones de la transformación de Lorentz, aparece el tiempo. Y es que para entender la Relatividad Especial, debemos asumir que no nos encontramos en un espacio tridimensional, sino cuadrimensional (en realidad hay teorías que establecen más dimensiones, pero eso no viene al acaso ahora) que consiste en las tres dimensiones espaciales y el tiempo. Así, para determinar un punto en un sistema de referencia, no nos vale sólo con las tres coordenadas espaciales (x, y, z), sino que debemos añadir una cuarta coordenada temporal. De esta manera, todo punto estará definido en nuestro sistema de referencia por sus cuatro coordenadas en el espacio-tiempo (x, y, z, t).

Bueno, ya basta de explicaciones y vayamos a lo que hemos venido a hacer: aplicar las matemáticas en el escenario de la paradoja de los gemelos. Recordaré el escenario, pero definiéndolo de forma algo más formal. Tenemos dos planetas, la Tierra y otro al que llamaremos Mundo Destino. Ambos están separados una distancia d constante a lo largo del tiempo, es decir, cada uno de ellos está en reposo con respecto al otro. Una nave espacial viaja a velocidad constante v, pasa muy cerca de la Tierra y se dirige en línea recta a Mundo Destino. Una vez llega allí, continua su viaje. Definamos un sistema de referencia S con el origen de coordenadas espaciales en la Tierra, el eje X con la misma dirección que la línea imaginaria que une la Tierra y Mundo Destino, y el origen temporal en el momento en el que la nave pasa más cerca de la Tierra. Puesto que la nave viaja siguiendo el eje X, vamos a olvidarnos de las coordenadas y, z, y expresaremos los eventos únicamente con las coordenadas x, t, de la siguiente forma: S(x,t). Bien, en nuestro sistema de referencia S, el inicio del viaje se produce en S(0,0), y el final en S(d,t), siendo t=d/v. Definamos un segundo sistema de referencia S', con ejes paralelos a S, con el origen de coordenadas espaciales en la nave, y el origen temporal coincidiendo con S, es decir, en el momento en el que la nave pasa más cerca de la Tierra. El sistema S' se mueve con respecto a S a velocidad v, que es la velocidad de la nave en S.

Pues comencemos con el evento correspondiente al inicio del viaje. Las coordenadas en S son S(0,0). ¿Cuáles son las coordenadas en S', S'(x', t')? Pues dado que ambos orígenes coinciden en ese momento, serán S'(0,0). Podemos comprobarlo con la transformación de Lorentz:

x' = γ(x-v·t) = γ(0-v·0) = 0
t' = γ(t-v·x/c2) = γ(0-v·0/c2) = 0

Bueno, esto no tiene ningún misterio. Vayamos ahora al final del viaje. En S, las coordenadas espacio temporales son S(d,t). Así que tenemos:

x' = γ(d - v·t)
t' = γ(t - v·d/c2)

Como el origen de coordenadas de S' está en la nave, y al final del viaje, la nave ha llegado a Mundo Destino, tenemos que x'=0. Por tanto

0 = γ(d - v·t)

y despejando d tenemos

d = v·t

Lo cual es bastante intuitivo, y coincide con la mecánica clásica. Sustituyamos ahora d por su valor en función de t en la otra ecuación:

t' = γ(t - v·(v·t)/c2)

o lo que es lo mismo

t' = γ(t - t·v2/c2)

Podemos extraer t como factor común, y así tenemos

t' = γ·t(1 - v2/c2)

y simplificando un poco, teniendo en cuenta el valor de γ

t' = [1/(1 - v2/c2)1/2]·t(1 - v2/c2
t' = t·(1 - v2/c2)1/2
t' = t/γ

que es lo que todos esperábamos, ya que γ es mayor que uno (salvo en reposo, que es cero exactamente uno), y por tanto, t' será menor que t. Es decir, al llegar a Mundo Destino el reloj de la nave marcará un valor inferior al reloj de la Tierra, o dicho de otra manera, para la nave el tiempo ha transcurrido más despacio.

Bien. Cambiamos las tornas y supongamos ahora que es el sistema S el que se mueve con respecto a S' a velocidad -v (con signo menos, ya que el sistema S se mueve en sentido contrario, hacia el lado negativo del eje X). La paradoja de los gemelos nos dice que esta vez deberíamos obtener que el tiempo en la Tierra es menor que en la nave (t'=t·γ), pero si la Relatividad Especial es correcta, no debería ser así. Deberíamos obtener exactamente el mismo resultado, ya que ése es precisamente uno de los postulados en los que se basa.

Manos a la obra. El inicio del viaje sucede en las coordenadas S'(0,0). ¿Cuáles con las coordenadas en S? Veámoslo:

x = γ(x' - (-v)t') = γ(0 + v·0) = 0
t = γ(t' - (-v)x'/c2) = γ(0 + v·0/c2) = 0

Es decir, S(0,0), lo cual es coherente con el resultado anterior, y además, lógico, ya que en el inicio del viaje, ambos orígenes de coordenadas coinciden. Vayamos ahora con los cálculos al final del viaje. En el sistema S', la llegada a Mundo Destino sucede en S'(0,t'). ¿Cuáles son las coordenadas en S? Apliquemos la fórmula para la coordenada x.

x = γ(0 -(-v)t')
x = γ·v·t'

Y ahora para la coordenada temporal

t = γ(t' - (-v)x'/c2)
t = γ(t' - 0/c2)
t = γ·t'

o dicho de otra manera

t' = t/γ

Es decir, exactamente lo mismo que calculamos cuando consideramos que era S' el sistema de referencia que se movía, y S el que estaba en reposo. No podía ser de otra manera. Si la Teoría de la relatividad Especial es correcta, la paradoja no puede existir.

Para aquellos que no se aclaren demasiado con esto de manipular igualdades, vamos a poner un ejemplo numérico, utilizando las mismas cifras que en el envío anterior. Es decir, la distancia d entre la Tierra y Mundo Destino es de 4 años luz, y la velocidad de la nave v (y por tanto, del sistema de referencia que se mueva) es de 0,8 c. Comencemos considerando S (el sistema de referencia centrado en la Tierra) como en reposo, y S' (el sistema de referencia centrado en la nave) desplazándose a 0,8 c a lo largo del eje X. En este caso concreto, el factor de Lorentz γ, es:

γ = 1/(1 - v2/c2)1/2 = 1/(1 - (0,8·c)2/c2)1/2 = 1,666666...

Dado que nos sale un número con infinitos decimales, para hacer nuestros cálculos más exactos y cómodos, utilizaremos la inversa de dicho valor, que es de 0,6 (1/1,666666...=0,6). Es decir, cada vez que tengamos que multiplicar por γ, lo que haremos será dividir por 0,6. Vamos a utilizar el año como unidad de tiempo y el año luz como unidad de distancia. En esas unidades, c es precisamente 1 (por definición de año luz). En el inicio del viaje, las coordenadas en S son S(0,0), al igual que en S', que son S'(0,0) (no merece la pena dar más vueltas a esto). Veamos ahora al final del viaje. Teniendo en cuenta que a 0,8 c se tarda 5 años en recorrer 4 años luz, las coordenadas en S son S(4, 5). Aplicamos la transformaciónde Lorentz

x' = γ(x - v·t) = 1,667(4 - 0,8·5) = 0
t' = γ(t - v·x/c2) = γ(5 - 0,8·4) = 3

y tenemos que en S', las coordenadas de la llegada de la nave a Mundo Disco Destino son S'(0,3). Es decir, la coordenada x' es cero, lo cual ya lo sabíamos, puesto que el origen de coordenadas de S' está en la nave, y el tiempo transcurrido en ésta es de 3 años, algo que ya habíamos calculado en el envío anterior. Consideremos ahora que es S quien se mueve con respecto a S', a velocidad -0,8 c (insisto en el signo menos). Hemos visto que las coordenadas en S' del final del viaje son S'(0,3). Aplicando la transformada de Lorentz para calcular las coordenadas en S, deberíadarnos lo mismo que antes, es decir, S(4,5). Veámoslo.

x = γ(x' - v·t') = 1,667(0 - (-0,8)·3) = 4
t' = γ(t - v·x/c2) = 1,667(3 - (-0,8)·0) = 5

Voilà! Exactamente lo mismo que si consideramos a S en reposo y a S' en movimiento. Los resultados que obtenemos son exactamente los mismos. La paradoja de los gemelos en realidad no existe, sino que es fruto de un mal planteamiento

c.q.d.

jueves, agosto 03, 2006

La paradoja de los gemelos

Al mencionar en el envío anterior las teorías de la Relatividad de Einstein, me vino a la cabeza la famosa paradoja de los gemelos, y cómo suele exponerse de forma incorrecta la mayoría de las veces. ¿De qué trata? Bueno, imaginemos a dos hermanos gemelos, uno de los cuales se monta en una nave espacial y se dirige hacia una estrella a unos pocos años luz, mientras que el otro se queda en la Tierra. La nave espacial no puede viajar más rápido que la luz, pero sí que lo hace a una fracción considerable de ésta. En consecuencia, el viaje dura algunos años. El viajero llega a su destino, se queda un tiempo y decide volver. La Relatividad Especial nos dice que el tiempo se ralentiza con la velocidad, de forma que para el viajero, el tiempo transcurre más lentamente que para su hermano, y por tanto envejece más despacio. Así, cuando se ambos se reencuentran en la Tierra, ambos han envejecido, pero el viajero es más joven que su hermano. En muchas ocasiones, la explicación termina aquí. Pues bien, esto no es ninguna paradoja. No hay ninguna contradicción. Es una forma sencilla de explicar el efecto de dilatación temporal de la Relatividad Especial.

La verdadera paradoja surge cuando tenemos en cuenta que la velocidad no tiene un sentido absoluto, sino que es relativa. En efecto, si viajo en tren y voy caminando hacia la cafetería ¿cuál es mi velocidad? Pues depende, ya que una pregunta así está mal formulada. Velocidad ¿con respecto a qué? Mi velocidad con respecto al tren será muy diferente a mi velocidad con respecto al exterior. Pues bien, la explicación anterior de los gemelos está explicada desde el punto de vista del gemelo que se queda en la Tierra. Él ve a su hermano moverse a una velocidad considerable con respecto a su sistema de referencia, y por tanto el tiempo transcurre más despacio para su hermano. Pero ¿qué pasa si lo hacemos desde el punto de vista del gemelo viajero? En su sistema de referencia (la nave), sería la Tierra la que se mueve con respecto a él, por lo que sería su hermano (el de la Tierra) el que experimentara la dilatación temporal. Al regresar, el viajero esperaría encontrarse a su hermano más joven que él. Es decir, ambos esperan ver a su otro hermano más joven que él mismo. Y lógicamente, esto no puede ocurrir. O tienen la misma edad, o uno es más joven que el otro, pero no puede ser que ambos sean más jovenes que el otro simultáneamente. Pues bien, eso sí es una paradoja.

Muy interesante, y ¿cómo se resuelve esta aparente paradoja? Bueno, se han escrito chorros de tinta sobre el tema (incluido el propio Einstein). La explicación más habitual es la que dice que estamos ante un problema no simétrico, aunque pueda parecerlo. La nave espacial sufre aceleraciones al iniciar el viaje, al frenar en su destino, al inicial la vuelta y al frenar de regreso a la Tierra. Esto quiere decir que si adoptamos como sistema de referencia la nave, no estaremos utilizando un sistema de referencia inercial, y por tanto la Relatividad Especial no puede aplicarse. Debido a estas limitaciones, Einstein desarrolló la llamada Relatividad General, que sí se puede aplicar a sistemas no inerciales. Como ya comenté hace tiempo, una de las consecuencias de esta teoría es que los efectos de un campo gravitatorio y de una aceleración son indistingubles. Es decir, sin referencias externas (por ejemplo, encerrado en la bodega de una nave espacial), no puedo distinguir si estoy en la superficie de la Tierra, o en elespacio acelerando a 1 g. Otro efecto de la Relatividad General es la dilatación temporal en presencia de un campo gravitatorio, siendo mayor la dilatación cuanto mayor sea el campo. Por tanto, al sufrir aceleraciones y deceleraciones, también existirá dilatación temporal. Así, en el caso de los gemelos, aunque cada uno vea el tiempo del otro transcurrir más despacio, durante las aceleraciones y deceleraciones de la nave espacial, el tiempo del gemelo viajero se ralentiza mucho con respecto a su hermano. Desde su punto de vista, primero vería cómo el tiempo transcurre mucho más rápido para su hermano durante el despegue. Una vez alcanzada la velocidad de crucero, vería que su hermano envejece más despacio (pero ya es más viejo que él). Al llegar a su destino y frenar, volvería a ver como el tiempo de su hermano se acelera, envejeciendo rápidamente.

Sin embargo esta explicación tiene varios problemas. Por un lado, si la aceleración y deceleración de la nave espacial no supera 1 g (9,8 m/s2), la dilatación temporal debida a la Relatividad General será mayor en el caso del hermano que se queda en la Tierra, ya que él está sometido a una aceleración mayor, y durante todo el tiempo (recordad que la gravedad es equiparable a una aceleración). Además, la diferencia final de edades parece depender de la aceleración de la nave, y no de su velocidad final y la duración del trayecto. Por tanto debemos buscar la explicación de esta aparente paradoja en otro sitio. Y ese otro sitio es la propia Relatividad Especial.

Imaginemos una variación del escenario: una nave espacial a velocidad constante pasa muy cerca de la Tierra, y en ese momento establecemos el origen temporal de nuestro experimento. La nave sigue su trayecto, sin variar rumbo ni velocidad, hasta llegar a otro planeta, y continúa adelante. ¿Qué marcarán los relojes de la nave y de la Tierra en el momento de la llegada al planeta? Ambos sistemas de referencia (la Tierra y la Nave) son inerciales, por lo que se puede aplicar la Relatividad Espcial sin problemas. Y si lo hacemos, descubriremos que el reloj de la nave estará retrasado con respecto al de la Tierra, no importa qué sistema de referencia utilicemos. ¿Cómo? Bueno, es imposible explicarlo sin recurrir a las matemáticas, pero podríamos decir que el planteamiento de la supuesta paradoja es erróneo. Sólo se está teniendo en cuenta uno de los efectos de la Relatividad Especial: la dilatación temporal. Pero existen otros efectos intimamente relacionados, como son la contracción espacial.

¿Lo cualo? Veamos, cuando objeto viaja a elevadas velocidades, no sólo se ralentiza el tiempo, sino que se contrae el espacio en la dirección de la velocidad. En nuestro experimento, el observador de la Tierra vería cómo la nave espacial tiene una longitud mucho más pequeña que la que tendría en reposo (permaneciendo el ancho y el alto inalterados). El observador de la nave espacial, puesto que para él es el resto del universo el que se mueve, vería que éste se contrae en la dirección de su velocidad. Es decir, para él, la Tierra y el otro planeta estarán mucho más cerca entre sí (además de tener forma de botón). Vamos a verlo mejor con algunos números. Supongamos que la nave viaja a una velocidad 0,8 c (es decir, 0,8 veces ó 4/5 la velocidad de la luz). El factor de Lorentz para esa velocidad (definido como γ=1/(1-v2/c2)1/2, donde v es la velocidad de la nave, y c la velocidad de la luz) es de 1,667, por lo que por cada segundo transcurrido en la nave, transcurren 1,667 en la Tierra, o lo que es lo mismo, por cada segundo transcurrido en la Tierra, transcurre 0,6 segundos en la nave. Supongamos ahora que el planeta destino está a 4 años luz (sí, ya sé que la estrella más cercana está a 4,2, pero se trata de un experimento mental). Viajando a 0,8 c, para el observador de la Tierra la nave llegará al cabo de 5 años. Para la tripulación de la nave, en cambio, el trayecto habrá durado 0,6 veces esa cantidad, es decir, 3 años. Han recorrido una distancia de 4 años luz en sólo 3 años. ¿Han viajado más rápido que la luz? No. La distancia entre la Tierra y el planeta se contrae también, y con el mismo factor que el tiempo. Eso quiere decir que para la nave, la distancia entre la Tierra y el otro planeta es de tan sólo 2,4 años luz (4x0,6). Viajando a 0,8 c, tardaría 3 años en recorrer esa distancia. ¡Vaya! Lo mismo que habíamos calculado antes.

Así que como veis, la paradoja es tan sólo aparente, por una trampa en el planteamiento. Los amantes de las matemáticas y la física pueden ver una explicación más rigurosa en esta página de la Universidad de Hawaii. Los que prefieran algo más vistoso e interactivo, pueden visitar ésta página de ENCIGA, que contiene un applet Java que muestra el viaje (con aceleraciones y deceleraciones incluidas) desde el punto de vista de la Tierra, la nave y el otro planeta (al que han llamado Barataria). Para disfrutar de él, hay que tener instalado el último plugin de Java, y además el API de Java 3D. Es muy interesante ver lo que ocurre desde el punto de vista de la nave: a medida que acelera, el espacio se contrae, y el transcurso del tiempo varía en ambos planetas, pero ¡de forma diferente!

Es algo bastante poco intuitivo, pero es otra de las consecuencias de la Relatividad Especial: la relatividad de la simultaneidad, es decir, dos eventos pueden ser simultáneos para un observador, pero no para otro. Imaginaos que justo a mitad de camino, las televisiones de la Tierra y Barataria emiten simultáneamente un especial sobre el viaje de la nave. Para la tripulación de la nave, esas emisiones no suceden a la vez.