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martes, agosto 08, 2006

La paradoja de los gemelos: Un poco de matemáticas

Dedicado a Maelstrom :-)

En el envío anterior, intenté explicar que la famosa paradoja de los gemelos es sólo aparente, es decir, que en realidad no existe, sino que se llega a una conclusión errónea debido a unas premisas o razonamientos incorrectos. Para ello, intenté evitar el uso de las matemáticas, exponiendo el problema y su resolución de forma más o menos intuitiva (cometiendo además un error en lo que se refiere a la contracción espacial, que los que lleguen hasta el final del artículo y lo entiendan, podrán deducir). Sin embargo, las consecuencias de la Relatividad Especial no son nada intuitivas, y eso se ha visto reflejado en los numerosos comentarios de lectores que no acababan de verlo claro. Así que me temo que voy a tener que demostrar que la paradoja no existe, mediante el uso puro y duro de las matemáticas. Pero no temáis, que no veréis cosas raras aquí. Sólo hace falta saber cómo se manipula una igualdad , y no veréis nada más complicado que una raíz cuadrada, es decir, matemáticas que se aprenden en el colegio.

Antes de comenzar con fórmulas y ecuaciones, hay que tener claros un par de conceptos, y conocer el porqué de la Relatividad Especial. Veamos, en las clases de física del colegio, nos enseñaron que para poder resolver cualquier problema, es necesario definir un sistema de referencia, que básicamente es un sistema de coordenadas seleccionado por nosotros. Diagrama de un sistema de coordenadas cartesianoPodemos orientar los ejes como más nos convenga. Podemos situar el origen de coordenadas donde más nos convenga. Podemos incluso tener ejes que roten y un origen que se desplace, de forma que todo nuestro sistema de referencia se mueva. Si el origen se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme (esto es, a velocidad constante), y los ejes no rotan, decimos que es un sistema de referencia inercial.

Puesto que podemos seleccionar el sistema de referencia que más nos apetezca, uno puede pensar que el resultado final va a depender del sistema escogido. Sin embargo, el sentido común parece indicar lo contrario, ya que nuestra experiencia cotidiana nos enseña que las cosas ocurren independientemente de cómo las observemos. Galileo ya estableció en su día un principio de relatividad, llamado invariancia galileana o relatividad galileana, que afirma que las leyes fundamentales de la física son iguales en todos los sistemas de referencia inerciales. Así, podemos utilizar cualquier sistema de referencia inercial para resolver un problema, que obtendremos idénticos resultados, aunque expresados en sistemas de coordenadas diferentes. Para traducir las coordenadas de un sistema de referencia a otro, se utiliza la llamada transformación de Galileo, que consiste en lo siguiente: Si tengo un sistema de referencia cartesiano, al que llamaremos S, y un segundo sistema de referencia, al que llamaremos S', cuyos ejes son paralelos al anterior, y además se mueve con respecto a aquél a velocidad constante v, a lo largo del eje X de coordenadas, resulta que para convertir las coordenadas (x, y, z) en el sistema S a las coordenadas (x', y', z') en el sistema S', debemos utilizar las siguientes ecuaciones:

x' = x - v·t
y' = y
z' = z

donde t representa el tiempo. Veamos un ejemplo sencillo. Imaginemos un tren que viaje en línea recta, a una velocidad constante de 100 km/h. Establezcamos como sistema de referencia S un lugar situado en alguna de las estaciones de su recorrido, y comencemos a contar el tiempo desde el momento en el que el tren pasa por la estación. Es evidente que dos horas después, el tren se hallará a 200 km de la aquélla. Sus coordenadas x, y, z serán S(200, 0, 0). Establezcamos ahora un segundo sistema de referencia S', en el propio tren. Utilizando la transformada de Galileo para las coordenadas anteriores, tenemos:

x' = x - v·t = 200 - 100·2 = 0
y' = y = 0;
z' = z = 0

es decir, nuestras coordenadas serán S'(0, 0, 0), lo cual era de esperar, ya que hemos dicho que nuestro origen de coordenadas en S' era el tren. Calculemos ahora las coordenadas de la estación. En S serán S(0, 0, 0), puesto que es el origen. En S' serán:

x' = x - v·t = 0 - 100·2 = -200
y' = y = 0;
z' = z = 0

es decir, S'(-200, 0, 0), algo también bastante intuitivo, ya que la estación quedó 200 km atrás. Fácil, ¿verdad?

Pues sigamos. Resulta que esta transformación que funciona tan bien en el mundo de la mecánica clásica (para entendernos, la mayor parte de la física que hemos estudiado en el cole), no se podía aplicar al electromagnétismo, regido por las ecuaciones de Maxwell. Para mantener la invariancia de los sistemas de referencia inerciales, había que utilizar una transformación diferente, llamada transformación de Lorentz:

x' = γ(x - v·t)
y' = y
z' = z
t' = γ(t - v·x/c2)

donde c es la velocidad de la luz en el vacío, y γ es el llamado factor de Lorentz, que se define como:

γ = 1/(1 - v2/c2)1/2

Fijáos que aparece el tiempo en las ecuaciones. Ya comentaré las implicaciones de eso más adelante. Como véis, la velocidad de la luz en el vacío aparece como una constante. En aquel entonces, se creía en la existencia del eter, que era una especie de sustancia presente en todas partes, y que se podía considerar como sistema de referencia para el reposo absoluto. Es decir, la velocidad podía ser absoluta, ya que este éter sería un sistema de referencia en reposo absoluto. Si esto fuera cierto, la velocidad de la luz medida en la Tierra, sería distinta según la orientación del haz de luz, ya que la Tierra se mueve con respecto a ese supuesto éter. Sería algo parecido a una persona nadando en un río. Su velocidad con respecto a la orilla, dependería de si nada contra corriente, a favor o de forma transversal. Sin embargo, el experimento de Michelson-Morley demostró que no era así. La velocidad de la luz es siempre la misma.

La Teoría de la Relatividad Espacial surgió como un intento de unificar la mecánica clásica de Newton, y el electromagnetismo. Se basa en dos postulados: las leyes de la física son iguales en cualquier sistema de referencia inercial, y la velocidad de propagación de la luz en el vacío es independiente de la velocidad del emisor de luz. A partir de estos postulados, y utilizando la física conocida hasta entonces, Einstein desarrolló su famosa teoría. Una de las consecuencias de este desarrollo es que la velocidad de la luz en el vacío es independiente de la velocidad del observador. Esto parece poco intuitivo, ya que en nuestra experiencia cotidiana, sabemos que si viajamos en un coche a 100 km/h, y nos adelanta un coche a 150 km/h, su velocidad relativa a nosotros es de 50 km/h. Sin embargo con la luz no es así. Si viajamos en una nave espacial a 0,5 c, y desde nuestros puntos de destino y origen nos emiten una señal electromagnética, las veremos viajar a c con respecto a nosotros. A ambas señales. Y sin embargo, desde el origen y el destino, también observarán que la señal se propaga a c.

La única forma de que esto ocurra, es que el tiempo y el espacio se dilaten o contraigan con la velocidad. Antes os hice notar que en las ecuaciones de la transformación de Lorentz, aparece el tiempo. Y es que para entender la Relatividad Especial, debemos asumir que no nos encontramos en un espacio tridimensional, sino cuadrimensional (en realidad hay teorías que establecen más dimensiones, pero eso no viene al acaso ahora) que consiste en las tres dimensiones espaciales y el tiempo. Así, para determinar un punto en un sistema de referencia, no nos vale sólo con las tres coordenadas espaciales (x, y, z), sino que debemos añadir una cuarta coordenada temporal. De esta manera, todo punto estará definido en nuestro sistema de referencia por sus cuatro coordenadas en el espacio-tiempo (x, y, z, t).

Bueno, ya basta de explicaciones y vayamos a lo que hemos venido a hacer: aplicar las matemáticas en el escenario de la paradoja de los gemelos. Recordaré el escenario, pero definiéndolo de forma algo más formal. Tenemos dos planetas, la Tierra y otro al que llamaremos Mundo Destino. Ambos están separados una distancia d constante a lo largo del tiempo, es decir, cada uno de ellos está en reposo con respecto al otro. Una nave espacial viaja a velocidad constante v, pasa muy cerca de la Tierra y se dirige en línea recta a Mundo Destino. Una vez llega allí, continua su viaje. Definamos un sistema de referencia S con el origen de coordenadas espaciales en la Tierra, el eje X con la misma dirección que la línea imaginaria que une la Tierra y Mundo Destino, y el origen temporal en el momento en el que la nave pasa más cerca de la Tierra. Puesto que la nave viaja siguiendo el eje X, vamos a olvidarnos de las coordenadas y, z, y expresaremos los eventos únicamente con las coordenadas x, t, de la siguiente forma: S(x,t). Bien, en nuestro sistema de referencia S, el inicio del viaje se produce en S(0,0), y el final en S(d,t), siendo t=d/v. Definamos un segundo sistema de referencia S', con ejes paralelos a S, con el origen de coordenadas espaciales en la nave, y el origen temporal coincidiendo con S, es decir, en el momento en el que la nave pasa más cerca de la Tierra. El sistema S' se mueve con respecto a S a velocidad v, que es la velocidad de la nave en S.

Pues comencemos con el evento correspondiente al inicio del viaje. Las coordenadas en S son S(0,0). ¿Cuáles son las coordenadas en S', S'(x', t')? Pues dado que ambos orígenes coinciden en ese momento, serán S'(0,0). Podemos comprobarlo con la transformación de Lorentz:

x' = γ(x-v·t) = γ(0-v·0) = 0
t' = γ(t-v·x/c2) = γ(0-v·0/c2) = 0

Bueno, esto no tiene ningún misterio. Vayamos ahora al final del viaje. En S, las coordenadas espacio temporales son S(d,t). Así que tenemos:

x' = γ(d - v·t)
t' = γ(t - v·d/c2)

Como el origen de coordenadas de S' está en la nave, y al final del viaje, la nave ha llegado a Mundo Destino, tenemos que x'=0. Por tanto

0 = γ(d - v·t)

y despejando d tenemos

d = v·t

Lo cual es bastante intuitivo, y coincide con la mecánica clásica. Sustituyamos ahora d por su valor en función de t en la otra ecuación:

t' = γ(t - v·(v·t)/c2)

o lo que es lo mismo

t' = γ(t - t·v2/c2)

Podemos extraer t como factor común, y así tenemos

t' = γ·t(1 - v2/c2)

y simplificando un poco, teniendo en cuenta el valor de γ

t' = [1/(1 - v2/c2)1/2]·t(1 - v2/c2
t' = t·(1 - v2/c2)1/2
t' = t/γ

que es lo que todos esperábamos, ya que γ es mayor que uno (salvo en reposo, que es cero exactamente uno), y por tanto, t' será menor que t. Es decir, al llegar a Mundo Destino el reloj de la nave marcará un valor inferior al reloj de la Tierra, o dicho de otra manera, para la nave el tiempo ha transcurrido más despacio.

Bien. Cambiamos las tornas y supongamos ahora que es el sistema S el que se mueve con respecto a S' a velocidad -v (con signo menos, ya que el sistema S se mueve en sentido contrario, hacia el lado negativo del eje X). La paradoja de los gemelos nos dice que esta vez deberíamos obtener que el tiempo en la Tierra es menor que en la nave (t'=t·γ), pero si la Relatividad Especial es correcta, no debería ser así. Deberíamos obtener exactamente el mismo resultado, ya que ése es precisamente uno de los postulados en los que se basa.

Manos a la obra. El inicio del viaje sucede en las coordenadas S'(0,0). ¿Cuáles con las coordenadas en S? Veámoslo:

x = γ(x' - (-v)t') = γ(0 + v·0) = 0
t = γ(t' - (-v)x'/c2) = γ(0 + v·0/c2) = 0

Es decir, S(0,0), lo cual es coherente con el resultado anterior, y además, lógico, ya que en el inicio del viaje, ambos orígenes de coordenadas coinciden. Vayamos ahora con los cálculos al final del viaje. En el sistema S', la llegada a Mundo Destino sucede en S'(0,t'). ¿Cuáles son las coordenadas en S? Apliquemos la fórmula para la coordenada x.

x = γ(0 -(-v)t')
x = γ·v·t'

Y ahora para la coordenada temporal

t = γ(t' - (-v)x'/c2)
t = γ(t' - 0/c2)
t = γ·t'

o dicho de otra manera

t' = t/γ

Es decir, exactamente lo mismo que calculamos cuando consideramos que era S' el sistema de referencia que se movía, y S el que estaba en reposo. No podía ser de otra manera. Si la Teoría de la relatividad Especial es correcta, la paradoja no puede existir.

Para aquellos que no se aclaren demasiado con esto de manipular igualdades, vamos a poner un ejemplo numérico, utilizando las mismas cifras que en el envío anterior. Es decir, la distancia d entre la Tierra y Mundo Destino es de 4 años luz, y la velocidad de la nave v (y por tanto, del sistema de referencia que se mueva) es de 0,8 c. Comencemos considerando S (el sistema de referencia centrado en la Tierra) como en reposo, y S' (el sistema de referencia centrado en la nave) desplazándose a 0,8 c a lo largo del eje X. En este caso concreto, el factor de Lorentz γ, es:

γ = 1/(1 - v2/c2)1/2 = 1/(1 - (0,8·c)2/c2)1/2 = 1,666666...

Dado que nos sale un número con infinitos decimales, para hacer nuestros cálculos más exactos y cómodos, utilizaremos la inversa de dicho valor, que es de 0,6 (1/1,666666...=0,6). Es decir, cada vez que tengamos que multiplicar por γ, lo que haremos será dividir por 0,6. Vamos a utilizar el año como unidad de tiempo y el año luz como unidad de distancia. En esas unidades, c es precisamente 1 (por definición de año luz). En el inicio del viaje, las coordenadas en S son S(0,0), al igual que en S', que son S'(0,0) (no merece la pena dar más vueltas a esto). Veamos ahora al final del viaje. Teniendo en cuenta que a 0,8 c se tarda 5 años en recorrer 4 años luz, las coordenadas en S son S(4, 5). Aplicamos la transformaciónde Lorentz

x' = γ(x - v·t) = 1,667(4 - 0,8·5) = 0
t' = γ(t - v·x/c2) = γ(5 - 0,8·4) = 3

y tenemos que en S', las coordenadas de la llegada de la nave a Mundo Disco Destino son S'(0,3). Es decir, la coordenada x' es cero, lo cual ya lo sabíamos, puesto que el origen de coordenadas de S' está en la nave, y el tiempo transcurrido en ésta es de 3 años, algo que ya habíamos calculado en el envío anterior. Consideremos ahora que es S quien se mueve con respecto a S', a velocidad -0,8 c (insisto en el signo menos). Hemos visto que las coordenadas en S' del final del viaje son S'(0,3). Aplicando la transformada de Lorentz para calcular las coordenadas en S, deberíadarnos lo mismo que antes, es decir, S(4,5). Veámoslo.

x = γ(x' - v·t') = 1,667(0 - (-0,8)·3) = 4
t' = γ(t - v·x/c2) = 1,667(3 - (-0,8)·0) = 5

Voilà! Exactamente lo mismo que si consideramos a S en reposo y a S' en movimiento. Los resultados que obtenemos son exactamente los mismos. La paradoja de los gemelos en realidad no existe, sino que es fruto de un mal planteamiento

c.q.d.

53 comentarios:

  1. Ups, vaya, lo único que has hecho es traducir el texto de la pagina hawaiiana, de la que ya extraje esas contradicciones que sólo yo veo.

    Bueno, lo intentaste Alf...

    Saludos desde el manicomio, jeje.
    Maelstrom.

    PD: recuerda que el hecho de que empíricamente las fórmulas sirvan, no significa que estén bien planteadas.

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  2. Así, investigando por internet, he encontrado otras webs a cuyos autores les ha pasado lo mismo que a mí:

    http://www.geocities.com/jorgemanuel23/filosofianatural/concepcion-relatividad-2.htm

    Es bueno para un loco saber que no está sólo, jeje.

    Saludos!

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  3. Y hay más sitios donde se habla de las contradicciones insalvables de la paradoja de los gemelos. Como por ejemplo ésta:

    http://www.geocities.com/newmodel2k/Gemelos.htm

    Y tranquilo, no son páginas de pseudociencia.

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  4. "las coordenadas de la llegada de la nave a Mundo Disco..."

    Bonito "typo" Alf!!!

    P.D: Cojonuda la rexplicación. ;)

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  5. Yo no lo veo...yo creo que la igualdad se cumple, aunque sólo has cambiado el signo de v, ¿no?

    Vamos, que no entiendo la diferencia entre la nave y la tierra...¿por qué el reloj de la nave marca un tiempo menor que en la tierra? Creo que la diferencia es que has supuesto que quien realmente se mueve es la nave desde un principio, cosa que no se puede saber, ¿no?

    Muchas gracias por tu blog!!!!

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  6. Para hacerme una idea de las dimensiones de las que estamos hablando he hecho el siguiente cálculo.
    Si no me equivoco con la calculadora, mi hermano gemelo, al que no conozco porque despegó en un avión justo un minuto después de que yo naciera y viaja a 900km/h desde entonces (repostaje con nodriza, para los tiquismiquis), me saca aproximadamente 0,33 milésimas de segundo en nuestros 30 años de vida que yo me he pasado en este sillón quieto parao, lo cual dista mucho de los 2000000000 días (unos 5,5 millones de años) que necesita para ganarme un minuto y alcanzar la primogenitura.

    Me gusta imaginarle ahí arriba estudiando el elixir de la eterna juventud junto a un par de azafatas de unos 60 años. Claro, que para cuando alcance la primogenitura yo seré polvo cósmico. Tendrá que vérselas con mis clones, mwahaha.

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  7. Para "el usuario anónimo" que dijo "¿por qué el reloj de la nave marca un tiempo menor que en la tierra?":

    Creo que la respuesta es: la nave es un sistema inercial sobre el que no se aplica aceleración ninguna, y la tierra tiene permanentemente la aceleración de la gravedad actuando sobre los seres vivos.

    O eso he entendido, claro. XD

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  8. fallo tésnico08 agosto, 2006 14:56

    ¿factor de Lorentz... cero en reposo?. El tiempo se me hace infinito sentadito en mi sofáaa ;-)

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  9. Referente a: "Voilà! Exactamente lo mismo que si consideramos a S en reposo y a S' en movimiento. Los resultados que obtenemos son exactamente los mismos. La paradoja de los gemelos en realidad no existe, sino que es fruto de un mal planteamiento"

    Por favor no nos salgamos del cauce del río todavía. El ejemplo a velocidad constante es correcto aunque no se referiera a la paradoja de los gemelos. Si de verdad queremos hablar de ella deben incluirse aceleraciones en la nave, cosa que en el artículo no ha contado para nada, debe aplicarse la r.general, no la especial.

    P.D.: Estaría muy bien Alf, que hicieses una entrada hablando sobre ello.

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  10. Anónimo, a mí no me importa que el problema esté simplificado, porque me sirve para entender el concepto. Si lo queremos hacer real, habría que empezar por introducir los movimientos relativos de los dos planeta, considerar que la g 'real' en la Tierra varía entre el día y la noche (porque durante la noche se suma la atracción de la Tierra a la del Sol y por el día se resta), considerar las influencias de los distintos astros que puedan interferir en el movimiento de la nave... además de, por supuesto, las aceleraciones y deceleraciones de la nave.

    El problema está suficientemente simplificado como para hacernos una idea, que es de lo que se trata. No hay y ni z, no hay F, ni m, ni a. Son sólo puntos que se encuentran en dos sistemas de referencia, que son los que se mueven linealmente. Sólo hay x, t y v. A mí me cuesta un montón meter más parámetros en la cabeza que interactúan entre sí. Y, como he dicho, para entender el concepto me sirve el ejemplo.

    Ahora bien, Maelstrom consiguió atraparme en su vórtice cuasi-infiito, e incluso dormí mal la primera noche. Tal vez fuera por el calor. Lo que entendí, mirando el problema hawaiano con más calma, es que el truco del almendruco era que en un sistema había dos puntos y en el otro sólo uno, por lo que, al moverse los sistemas de referencia, los sucesos ocurrían en dos puntos diferentes de uno y en un solo punto del otro. Con lo cual, en el fondo, lo que se nos dice es que lo que se mueve es la nave.

    Bien... pero. Si una nave va de un planeta a otro, parece ser que la que se mueve es ella, y analices el tema como lo analices, el tiempo transcurre más lento en la nave. ¿Pero qué pasa si una nave sólo va? En otras palabras, ¿qué pasa si en los dos sistemas de referencia sólo hay un punto? ¿Quién es el que se mueve a velocidad cercana a la de la luz? ¿Cómo funciona el tiempo en la Tierra y en la nave en esta hipótesis?

    Las respuestas pueden ser múltiples:

    - Depende cómo lo consideres, el tiempo se ralentiza en la nave o en la Tierra. No me sirve
    - Como es imposible sincronizar los relojes, no podemos saberlo. Tampoco me sirve.
    - En la nave el tiempo transcurre más despacio, porque es la que realmente va a velocidades comparables con c. ¿Y eso cómo lo sabemos?
    - Etc.

    A ver si lo que pasa al final es que para mover el mundo basta con un punto de apoyo (Arquímedes) y para moverse por el universo van a hacer falta por lo menos 3.

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  11. Siempre que oigo o leo sobre velocidades cercanas a la de la luz, busco como loco este enlace para releerlo.

    Genial.

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  12. "las coordenadas de la llegada de la nave a Mundo Disco..."

    ¡Ops! El subconsciente me traiciona. Corregido.

    ¿factor de Lorentz... cero en reposo?

    Otro despiste. En reposo es 1, naturalmente. Corregido también

    Ups, vaya, lo único que has hecho es traducir el texto de la pagina hawaiiana, de la que ya extraje esas contradicciones que sólo yo veo.

    Bueno, he hecho algo más, simplificando el problema. En la página hawaiiana, siplemente se consedera que el sistema S' se mueve con la nave. Para simplificar las cosas, además he situado el orifen de S exactamente en la Tierra, y el origen de S' en la nave, con ambos origenes de tiempo iguales.

    Y no hay trampa ni cartón. El sistema S' se ha elegido con el mismo movimiento que la nave, precsamente para que la nave esté en reposo con respecto a él. Y si la nave está en reposo con respecto a S', pues su coordenada X es siempre la misma. No hay truco del almendruco. Se trata simplemente de aplicar las ecuaciones a la sipuesta paradoja, que parte de la premisa de que si hacemos los cálculos considerando que la nave está quieta y el resto del universo es el que se mueve, nos dará que el tiempo que transcurre más despacio es el de la Tierra. Y no es así. la paradoja no existe. Es una falacia. Está matemáticamente demostrado, y dentro de la Relatividad Especial.

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  13. Demonios de botón. Que no había terminado...

    Bueno, sigo. Cuando dices recuerda que el hecho de que empíricamente las fórmulas sirvan, no significa que estén bien planteadas, tienes razón, y eso me recuerda a las leyes de Keppler, por ejemplo (que describen los movimientos planetarios, pero sin ninguna explicación del porqué, hasta que llegó Newton con su grabedad). Pero no sirve para argumentar a favor de la paradoja de los gemelos. Si existiera, entonces, empíricas o no, las ecuaciones serían incorrectas, y deberíamos tirar a la basura toda la Teoría.

    Y he demostrado (de forma analítica y de forma numérica) que no es así. Se puede dar muchas vueltas a lo que sea, pero las matemáticas están ahí.

    Por cierto, que cuando publiqué el artículo creía que había cometido un error al explicar la contracción del espacio. No es así. Estaba bien. Dudé porque al aplicar la transformación de Lorentz, para calcular la posición de los planetas en S', me salían valores demasiado grandes. Pero olvidé que uno de los planteamientos que no hay que perder de vista en la relatividad es el espacio-tiempo. No se pueden definir coordenadas en x,y,z sin más, sino en x,y,z,t. Es decir, debemos hablar siempre de eventos.

    Y resulta que para la x' calculada, obtenía un t' correspondiente a antes de la "salida" o después de la "llegada". En fin, olvidad la frase que está tachada en el post.

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  14. El ejemplo a velocidad constante es correcto aunque no se referiera a la paradoja de los gemelos. Si de verdad queremos hablar de ella deben incluirse aceleraciones en la nave, cosa que en el artículo no ha contado para nada, debe aplicarse la r.general, no la especial.

    Me temo que te equivocas. La paradoja de los gemelos surge al considerar que si el movimiento es relativo, entonces cada gemelo debería calcular que es el otro el que envejece más lentamente. Y ahí no intervienen aceleraciones ni gravedades. Precisamente, la variación que he utilizado es utilizada por muchos para demostrar que la Relatividad General no sirve para explicar la supuesta paradoja. Que no vale eso de la "asimetría" del problema, recurriendo a que uno de los gemelos sufre aceleraciones y deceleraciones.

    Y en el fondo tienen razón, aunque no como creen. La paradoja se puede resolver dentro de la Relatividad Especial. Las explicaciones que hay por ahí recurriendo a la Relatividad General no son acertadas. Pero por desgracia aparecen incluso en libros de texto universitarios :-/

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  15. Como responsable de la utilización de la expresión truco del almendruco quiero aclarar que no quería dejar entrever que en el planteamiento hubiera falacia alguna. He utilizado la palabra truco con la primera acepción del DRAE: cada una de las mañas o habilidades que se adquieren en el ejercicio de un arte, oficio o profesión. Es decir, me ha parecido muy hábil el planteamiento del problema haciendo que lo que se muevan sean los ejes de coordenadas y no los móviles.

    Sin embargo, me gustaría saber todavía si es posible determinar, mediante la Relatividad Especial, cómo transcurre el tiempo en, digamos, una nave y la Tierra, si sólo consideramos estos dos elementos en el problema. O, por poner otro ejemplo más real, si se puede determinar el transcurso del tiempo en cualquiera de las partículas masivas que se aceleran en el CERN (suponiéndoleum movimiento lineal) y cualquiera de nosotros (suponiéndo el reposo), si sólo consideramos el movimiento relativo de la partícula con respecto a uno de nosotros y/o viceversa.

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  16. He estado consultando algún que otro libro sobre el tema y es cierto, tal y como dice Alf que no se requiere la relatividad general para resolver la paradoja. A pesar de ello, se falla en el planteamiento del problema, no en el desarrollo.

    En el ejemplo del artículo, se introducen dos planetas y una nave en movimiento relativo y es aquí cuando las dudas surgen. Si de verdad queremos hablar de la paradoja de los gemelos deberíamos tratar con un solo planeta y una nave en movimiento relativo respecto él. Así, necesariamente la nave debería sentir aceleraciones para alejarse y volver a la Tierra y es en ese caso cuando debe aplicarse la relatividad especial, repito especial, a pesar de que se sufra tales aceleraciones. La condición indispensable para ello es que las ecuaciones deben aplicarse sobre un sistema inercial (la Tierra), aunque se estudie uno que no lo es (la nave).

    Se puede argumentar que la Tierra también sufre aceleraciones como la nave, pero si se estudia detenidamente se llega a la conclusión de que son de diferente naturaleza. No debe confundirse una aceleración constante en el tiempo (la Tierra) con una aceleración necesariamente variable (la nave).

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  17. Si uno de los sistemas no es inercial, me da que no se puede aplicar la Relatividad Especial. Es uno de sus postulados: "las leyes físicas son iguales en todos los sistemas de referencia inerciales". Si un sistema no es inercial...

    Para superar esa limitación, Einstein desarrolló la Relatividad General. Por eso tienen esos nombres. Relatividad Especial, porque sólo se puede aplicar en circunstancias muy concretas (o eseciales), y Relatividad General, porque es genérica y se puede aplicar en todos los ámbitos.

    Este "detalle" se suele pasar por alto en muchas explicaciones, y es de fundamental relevancia. Como veis, la paradoja no existe. Es fruto de un mal planteamiento del problema, considerando sólo una pequeña parte del mismo (dilatación temporal), obviando el resto (contracción espacial y relatividad de la simultaneidad).

    In I Go, me has hecho sudar con ese planteamiento, pero gracias a eso, se me ha icurrido un ejemplo que creo que resolverá todas las dudas:

    En vez de eliminar uno de los puntos del sistema S (uno de los planetas), añadamos un segundo punto en el sistema S': una segunda nave. Para que la simetría sea total (y evitar explicaciones tipo, "es que el problema es asimétrico"), supongamos que las naves viajan a la misma velocidad y en la misma dirección, en perfecta formación, de forma que en sistema S', ambas estén en reposo, y además, en S' la distancia entre las naves es de 4 años luz, la misma que la que hay entre los planetas en S. Simetría total.

    Bien, para un observador en la Tierra o en Mundo Disco, dado que las naves se desplazan a 0,8 c, su dimensión X será menor. Pero la dimensión X de todo el sistema S'. Es decir, no sólo las naves parecerán más cortas, sino que la distancia entre ellas, para un observador de S, será 2,4 años luz (4x0,6).Cuando la primera nave (a la que llamaremos nave A), pase junto a la Tierra, la segunda nave (nave B) estará aún a 2,4 años luz por detrás.

    3 años después (2,4/0,8), la nave B pasa junto a la Tierra, y la nave A se encuentra a 2,4 años luz de la Tierra, y a 1,6 (4-2,4) de Mundo Destino.

    Durante dos años más (1,6/0,8), ambas naves están entre los dos planetas, hasta que la nave A pasa junto a Mundo Destino. Ha tardado 5 años en recorrer la distancia de 4 años luz que separa la Tierra de Mundo Destino. La nave B, se encuentra a 2,4 años luz de Mundo Destino.

    3 años después, la nave B pasa junto a Mundo Destino.

    Resultado: cada nave tarda 5 años en recorrer el trayecto entre la Tierra y Mundo Destino, y además, el tiempo entre la pasada de la nave A y de la nave B, en la Tierra y en Mundo Destino es de 3 años.

    Ahora repitamos todo pero desde el punto de vista de las naves. Ellas están quietas, y es la Tierra y Mundo Destino los que se mueven. Por tanto, son los planetas los que parecen más cortos (achatados en la dirección del movimiento), y además, la distancia entre ellos se contrae hasta 2,4 años luz. La distancia entre naves es de 4 años luz, como habíamos establecido antes.

    Cuando la nave A pasa junto a la Tierra (o más bien, la Tierra pasa junto a la nave A), tiene por delante 2,4 años luz por recorrer. La nave B está 4 años luz por detrás.

    3 años después, la nave A pasa junto a Mundo Destino. La nave B aún no ha llegado a la Tierra, y aún le quedan 1,6 años luz por recorrer para eso.

    Durante 2 años más, la nave B aún está acercándose a la Tierra mientras que la nave A ya ha sobrepasado Mundo Destino, hasta que la nave B pasa junto a la Tierra, 5 años después que la nave A.

    La nave B tarda otros 3 años en pasar junto a Mundo Destino. Cuando lo hace, han transcurrido 5 años desde que la nave A pasó por allí.

    Resultado: Cada nave tarda 3 años en recorrer la distancia entre la Tierra y Mundo Destino (o mejor dicho, en que Mundo Destino se acerque a elas). El intervalo entre pasadas en cada planeta es de 5 años.

    Fijáos que la simetría es total. El tiempo que tarda una nave en realizar el recorrido en un sistema de referencia, es el mismo tiempo que tarda el planeta en recorrer la distancia entre naves en el otro sistema (o sea, el tiempo entre pasadas de nave). Y lo importante es que para la Tierra y en Mundo Destino el viaje de cada nave ha durado 5 años, y para cada nave, sólo ha durado 3. El tiempo pasa más despacio en las naves.

    Y fijáos en otro detalle muy importante. Para la Tierra y Mundo Destino, el intervalo entre la pasada de la nave A y de la nave B ha sido de 5 años. Para las naves, es eintervalo ha sido de 3 años.

    Recapitulemos. Para la Tierra y Mundo Disco, primero llega la nave A a la Tierra. Después llega la nave B a la Tierra. Posteriormente, la nave A llega a Mundo Destino. Finalmente (8 en total) la nave B llega a Mundo Destino.

    Para las naves, primero llega la nave A a la Tierra. Después, la nave A llega a Mundo Destino, ¡antes de que llegue la nave B a la Tierra! Después llega la nave B a la Tierra, y finalmente llega a Mundo Destino.

    Fijaos que los eventos de la llegada de la nave A a Mundo Destino, y la llegada de la nave B a la Tierra, ocurren en diferente orden dependiendo del sistema de referencia. Esto es debido a algo que ya comenté, aunque no con la importancia que merece. La simultaneidad es relativa. Para dos observadores en movimiento uno respecto del otro, eventos simultáneos para uno, pueden no serlo para otro. En este caso concreto, llegamos al extremo de invertir el orden de dos eventos.

    Esto sí que es completamente antiintuitivo. Pensad en una fila de relojes sincronizados. Un observador en reposo con respecto a estos relojes, los verá efectivamente sincronizados. Un observador que se mueva en la dirección de la hilera en la que están dispuestos los relojes, los verá marcar tiempos distintos.

    Como veis, la paradoja de los gemelos no existe. Es fruto de un mal planteamiento del problema, o a un mal entendimiento de la Relatividad Especial. Sólo se tiene en cuenta una parte del problema (dilatación temporal), obviando el resto (contracción espacial y relatividad de la simultaneidad).

    Gracias mil In I Go, que me has hecho estrujarme la cabeza hasta encontrar un ejemplo que creo que es perfecto. Es simétrico 100% y no hay aceleraciones. Si después de esto a alguien le quedan dudas, me rindo :-)

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  18. Aunque ahora que lo pienso...

    Si para las naves el tiempo entre pasadas por la Tierra es de 5 años, y para la Tierra es de 3, el piloto de la nave puede pensar que el la Tierra el tiempo transcurre más despacio. Pero claro, con esto de que los eventos pueden cambiar de orden cronológico...

    ¡Ay! Quién me manda a mí meterme en estos berenjenales.

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  19. ¡No, Alf! Jaja, perdona el énfasis, pero no es como tú dices. Hasta el propio Einstein, viendo que la paradoja de los gemelos debía ser simétrico (y por tanto irresoluble desde el punto de vista de la Relatividad Espacial), no la resolvió hasta que introdujo la Relatividad General.

    Me explico, lo que se hace en la página hawaiiana (je, no tengo otro nombre mejor con el que llamarla) es romper la simetría con una transformación algebraica ilícita dentro de los postulados de la Relatividad, que son por ejemplo el principio de equivalencia y la simetría que éste principio supone en los sistemas inerciales (los no acelerados). En definitiva, lo que se ha hecho en esa página es "hacer cuadrar los números para que den lo que yo pienso".

    Te lo ilustraré con números otra vez y espero darte así la demostración definitiva.

    Supongamos que la primera aproximación al problema es correcta: la de que es la nave lo que se mueve y, según las transformaciones de Lorentz, el tiempo en ella pasa más lentamente; exactamente tal como lo has calculado.

    Ahora, y no como hace la página en cuestión, no permitamos que la simetría se rompa (cosa que no sólo se hace en dicha página, sino que en otras en la que se emplean diagramas de Minkowski también rompen deliberadamente esa simetría para cuadrar los números). Tenemos, pues la situación que alf nos describe:

    "Bien. Cambiamos las tornas y supongamos ahora que es el sistema S el que se mueve con respecto a S' a velocidad -v (con signo menos, ya que el sistema S se mueve en sentido contrario, hacia el lado negativo del eje X). La paradoja de los gemelos nos dice que esta vez deberíamos obtener que el tiempo en la Tierra es menor que en la nave (t'=t·?), pero si la Relatividad Especial es correcta, no debería ser así. Deberíamos obtener exactamente el mismo resultado, ya que ése es precisamente uno de los postulados en los que se basa."

    Veamos pues, si tal como dice Alf en ese párrafo lo que él pretende predecir (obtener el mismo resultado que obtuvo cuando era la nave la que se movía y, por tanto, era el tiempo en ella el que se dilataba) realmente ocurre. Alf ahora emplea:

    "Manos a la obra. El inicio del viaje sucede en las coordenadas S'(0,0). ¿Cuáles con las coordenadas en S? Veámoslo:

    x = ?(x' - (-v)t') = ?(0 + v·0) = 0t = ?(t' - (-v)x'/c2) = ?(0 + v·0/c2) = 0".

    Es decir en S (el sistema referencial de la nave), las coordenadas son también S(0,0). Hasta aquí estoy de acuerdo.

    Pero luego Alf rompe la simetría (mejor dicho, no la rompe, simplemente olvida la hipótesis de que ahora son los planetas los que se mueven respecto a la nave), como se ve claramente:

    "Vayamos ahora con los cálculos al final del viaje. En el sistema S', la llegada a Mundo Destino sucede en S'(0,t'). ¿Cuáles son las coordenadas en S? Apliquemos la fórmula para la coordenada x."

    No, Alf, la llegada a Mundo Destino no sucede en S'(0,t') por dos cosas. Primero, no es a Mundo Destino a dónde llega la nave, es Mundo Destino quién llega a "nave". Y segundo, acabas de romper la simetría. Como es Mundo Destino el que se mueve ahora, el sistema de referencia no lo has de tomar en S (el de la nave) para hacer la sustitución que se hace de x2-x1=0. Como es la Tierra la que se mueve ahora, hemos de hacer como antes hicimos cuando era la nave la que se movía (si no, romperíamos la simetría del problema que se nos plantea) y, por tanto, hacer x2'-x1'=0 en S', ya que la Tierra en su sistema S' tampoco se mueve, como tampoco se movió la nave en S' (no la misma S' de ahora si no la de cuando tomábamos la nave cuando era el objeto móvil) en el caso anterior. Por tanto tenemos:
    x2'-x1'=0 y ahora sustituyendo este valor en la ecuación
    x2'-x1'=Y[x2-x1-v(t2-t1)], siendo Y el factor de Lorentz, resulta:

    0=Y[x2-x1-v(t2-t1)], y despejando deducimos que:

    x2-x1=v(t2-t1). Y ahora sustituyendo en la ecuación de la variable temporal tenemos que:

    t2'-t1'=Y[t2-t1-(v^2/c^2)(t2-t1)]; y por tanto:
    t2'-t1'=(t2-t1)/Y.(*)

    Ahora, como t2'-t1' es el lapso de tiempo para la Tierra en S', este lapso, por (*), es menor que el t2-t1 de la nave (y es igual al lapso de tiempo transcurrido en el sistema inercial de la nave cuando considerábamos que era ésta la que se movía), como esparábamos al considerar como ciertos las hipótesis de la relatividad, que son el principio de equivalencia, el hecho de que no hay sistemas de referencia y la simetría que se deduce de los mismos.

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  20. Sólo para aclarar. Mi última respuesta a Alf, hace referencia al envío no a su última respuesta publicada aquí en "Comentarios".

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  21. Alf, en tu último post, ahora que lo acabo de leer, vuelves a cometer el error de romper la simetría aunque no te des cuenta...

    Saludos concentrados!

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  22. Es que además, diciéndolo sui generis, ¡es totalmente ilógico (no confundir con antiintuitivo) que dos problemas que tienen los mismos datos (la siemtría) den resultados diferentes!

    ¿No te das cuenta, alf, que cuando pasas del punto de vista del sistema inercial S para pasar a resolver el problema en el sistema inercial S' (da igual la cantidad de planetas y naves que haya en ellos) lo único que hacemos es intercambiar los nombres de los objetos y no las ecuaciones? ¿Por qué pues en la página hawaiiana y en tu envío usas distintas ecuaciones para cada uno de los dos casos?

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  23. No, Alf, la llegada a Mundo Destino no sucede en S'(0,t')

    Esto es lo que no veo. El sistema S' está centrado en la nave. La nave siempre está en x'=0. Así hemos definido S' Entonces ¿dónde está el problema?

    Y creo que los cálculos han seguido la misma filosofía. Partimos de las coordenadas en el sistema que consideramos en reposo, y a partir de ellas calculamos las del sistema en moviemiento. Primero, de S a S'. Después, de S' a S. En cualquier caso, la nave siempre está quieta en S', es decir, x'=0.

    Creo que la simetría se rompe al considerar dos puntos en un sistema, y uno sólo en otro. Fíjate que en la llegada a Mundo Destino, las coordenadas de las que partíamos en el primer caso eran S(d,t), mientras en el segundo eran S'(0,t'). Creo que ahí se rompe la simetría, pero no por un error en las coordenadas, sino por la presencia de dos puntos. Concretamente, Mundo Destino sería el "punto problemático".

    Pero ahora me dices que en el último ejemplo, que creo que es simétrico, también se rompe la simetría. ¿Cómo? Explícamelo, que me estoy volviendo loco.

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  24. Alf dixit:

    "Cuando la nave A pasa junto a la Tierra (o más bien, la Tierra pasa junto a la nave A), tiene por delante 2,4 años luz por recorrer. La nave B está 4 años luz por detrás".

    No, como son ahora los planetas los que se mueven, la nave B está 2,4 años luz por detrás, no 4. Ahora el problema sí es análogo, mejor dicho igual, al de cuando eran las naves las que se movían, y por tanto da el mismo resultado, pero para el sistema de los planetas: en ellos el tiempo pasa más lento ahora.

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  25. No, no es en el dato S'(0,t') donde se rompe la simetría, perdona por no explicarme bien que a veces explicar la física y las matemáticas con palabras es difícil, se rompe al olvidar el dato que nos proporciona ese S'(0,t') que es el 0 que hay dentro de los paréntesis y que nos está diciendo que x2'-x1'=0, que es lo que verdaderamente hay que sustituir tal y como mencioné en ese mensaje.

    Saludos!!!

    PD: caray con la relatividad. Con todo el material aquí vertido podría hacerse una tesis.

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  26. A este paso dentro de poco usaremos la mecánica cuántica para explicar estas paradojas y sin comerlo ni beberlo quizás unifiquemos sin saberlo la Relatividad con la M. Cuántica...

    Acabe como acabe esto alf, siempre se agradece poner las neuronas a trabajar aun a costa de volvernos locos. Espero que tengas vacaciones, jejeje ;-)

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  27. agggg me e leido todo el articulo y la mitad de los comentarios y sigo sin entenderlo!
    esto es un lio. no me resulta logico el xk el tiempo pasa mas lento enla nave si y e nla tierra no (eiñ XD)
    aver xo una cosa k no entiendo, en las ultimas 2 parejas de ecuaciones ai una cosa mal (seguramente soy yo el k estoy mal pero weno XD)
    ai un lio con las t', y es que t' da 3 y t' tambien da 5...

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  28. y otra cosa k me e perdido: La velocidad de la luz es siempre la misma.
    comor?
    e leido el experimento del eter y no encuentro lo k tiene k ver...

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  29. Susensio, imagina una nave espacial llamada Tierra que se desplaza hasta un planeta llamado Nave y así al menos comprenderás mis soluciones.

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  30. "Resultado: Cada nave tarda 3 años en recorrer la distancia entre la Tierra y Mundo Destino (o mejor dicho, en que Mundo Destino se acerque a elas). El intervalo entre pasadas en cada planeta es de 5 años."

    No. Mundo Destino recorre, como tú dices entreparéntesis, la distancia que le separa de la nave A en 3 años (ya que la distancia que media entre MD y A -que es donde está la Tierra al inicio del viaje- es de 2,4 años luz; pero no digas que el intervalo entre pasadas en cada planeta es de 5 años, porque no es el intervalo de pasadas en cada PLANETA, es en cada NAVE. Así, cuando MD llega a A (en reposo respecto al sistema inercial que contiene a T y a MD) han pasado 3 años para el reloj en MD. Cuando MD está en A, a T le faltan 1.6 años para llegar a B, distancia que recorrerá en 1.6/0.8=2 años. Dicho de otro modo, supongamos que justo cuando T sale de A, ponemos en marcha un reloj en B. Entonces T llegará a B en 3+2=5 años o en 4/0.8=5 años. Es decir, en B (una de las naves) el tiempo transcurre más rápido que en T (la Tierra).

    QUOD ERAT DEMONSTRANDUM.

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  31. Lo cual, a su vez, me lleva a decir que la teoria especial de la relatividad es errónea o almenos se cumplen algunas de sus peculiaridades pero no todas. Suena fuerte, pero si no es así, no le encuentro ya ninguna explicación a este entresijo.

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  32. Gracias a tí, Alf, por el inmenso esfuerzo que has hecho. Pero tengo un mosca detrás de la oreja que está diciendo que Maelstrom tiene algo de razón.

    Pero, si nos olvidamos por un momento que estamos en un caso teórico, y le aplicamos un poco de realidad, a la nave (o naves) habrá que aplicarle una fuerza exterior para mantener su velocidad, aunque sólo sea por la transformación de la energía cinética en calor, gracias a la 2ª Ley de la Termodinámica, ya que el vacío absoluto no existe. Esto, en principio, no le ocurre a la Tierra ni al Mundo Destino. Por lo tanto tenemos una diferencia, que nos dice que la que se mueve es la nave. El problema es, por tanto, asimétrico, aunque ya sé que me he salido de la Relatividad Especial y me he metido en la General.

    Así como en Geometría se utiliza, gracias a la suma de pequeños errores, el Teorema del Punto Gordo (por un punto pasan todas las rectas que haga falta siempre éste sea suficientemente gordo), se me ha ocurrido que paro solucionar este pequeño error de la Relatividad Especial podríamos aplicar el Teorema del Punto Macizo, que dice así:"Todo punto, y el sistema de referencia en el que se inserte, podrá moverse a la velocidad que le venga en gana (siempre que no supere c), mientras no sea excesivamente macizo". :-)

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  33. se rompe al olvidar el dato que nos proporciona ese S'(0,t') que es el 0 que hay dentro de los paréntesis y que nos está diciendo que x2'-x1'=0, que es lo que verdaderamente hay que sustituir

    A ver, a ver, que ya veo por qué no acabamos de entendernos. Estamos hablando de cosas distintas. En la web hawaiiana, establecen el sistema S como en reposo con respecto a los planetas, y el sistema S' como en reposo con respecto a la nave. Y ya está. No especifican que la Tierra esté en x=0, ni que la nave esté en x'=0. Por eso, utilican x1 y x2 para representar dos puntos cualesquiera. En el caso de S1, las coordenadas x' de la nave no varían, por lo que su diferencia siempre será cero. Tampoco especifican que el origen de tiempos coincida con la "partida" de la nave.

    Para simplificar un poco las matemáticas y no asustar a los que no se sientan cómodos con las ecuaciones (y porque me gusta aportar algo, y no limitarme a hacer copy&paste), he definido el sistema S como centrado en la Tierra. Es decir, en S, la Tierra siempre estará en x=0, por definición. Además, he definido el sistema S' como centrado en la nave. Es decir, en S', la nave siempre estará en x'=0, por definición. He hecho lo mismo con el tiempo, de forma que he situado el origen temporal de los dos sistemas en el mismo evento, que coincide con el inicio del experimento. Es decir, la máxima cercanía de la nave y la Tierra se produce en t=0 y en t'=0, por definición. Olvída lo que pone la web hawaiiana.

    Dices que si aplicamos exactamente las mismas ecuaciones sobre los mismos datos, deberíamos eobtener idénticos resultados. Pero es que los datos no son exactamente los mismos. Con el evento "nave en la Tierra" (así evitamos problemas de lenguaje sobre quién se mueve) no hay problema. En ambos sistemas el evento existe en las mismas coordenadas. S(0,0) y S'(0,0). Pero con el evento "nave en MD" no. En S, ese evento sucede en S(d,t), ya que la nave está a una distancia d del origen (que es la Tierra). Y en S', el mismo evento sucede en S'(0,t'), ya que la nave coincide con el origen. Recuerda: el origen de S' está en la nave, por definición. Y ahí se produce la asimetría, ya que en la ecuación

    t = Y(t' - vx'/c^2)

    si x'=0, nos cargamos de un plumazo el segundo sumando del paréntesis, y nos queda t=Y·t', y como Y>1, t'<t.

    Pero claro, la solución se debe a una asimetría. En el último escenario que he propuesto, la simetría es total, aunque no debo haberlo explicado bien, porque cuando dices

    No, como son ahora los planetas los que se mueven, la nave B está 2,4 años luz por detrás, no 4.

    es que no ha quedado claro que la distancia entre las naves A y B es de 4 años luz en S', también por definición. Buscamos una simertría total, por lo que si la distancia entre la Tierra y MD es de 4 años luz en S, la distancia entre las naves en S' debe ser de 4 años luz también. Así, en S, como lo que se mueven son las naves, la distancia entre ellas se contrae por el factor de Lorentz, y es de 2,4 años luz. Y en S', como lo que se mueven son los planetas, la distancia entre ellos se contrae también a 2,4.

    La simetría es total. En S, los planetas están separados 4 años luz, y las naves 2,4. En S', las naves están separadas 4 años luz, y los planetas 2,4. Y precisamente por ser el problema simétrico, la separación temporal entre los eventos "nave A en Tierra" y "nave A en MD" es de 5 años en S y de 3 en S', y la separación temporal de los eventos "nave A en Tierra" y "nave B en Tierra" es de 3 años en S y de 5 años en S'.

    Y precisamente por ser simétrico, no parece resolver la paradoja :-( Podemos pensar que como la separación de los eventos "nave en Tierra" y "nave en MD" es de 5 años en S y de 3 en S', el tiempo transurre más lentamente en S' (la nave). Pero también podemos razonar que como la separación de los eventos "nave A en Tierra" y "nave B en Tierra" es de 3 años en S y de 5 en S', el tiempo transcurre más lentamente en S (la Tierra). ¿Paradoja?

    Creo que el problema reside en que no nos hemos detenido a pensar en las implicaciones de la siguiente ecuación:

    t' = Y(t - vx/c^2)

    Fíjate que t' no depende sólo de la velocidad relativa y del tiempo en el otro sistema. También depende de la coordenada X en el otro sistema. Es decir, dos eventos que sucedan en S(x1,t) y S(x2,t), son simultáneos en S (usamos el mismo t), pero no en S', ya que al ser x1 y x2 diferentes, a igualdad del resto de términos, t1' y t2' serán diferentes. Es decir, no sólo es que el tiempo transcurra a "diferente ritmo" dependiendo de la velocidad del observador, algo que más o menos podemos entender, sino que transcurre de forma diferente dependiendo también de la distancia. Es decir, para un observador de la Tierra, el tiempo transcurre de forma diferente en la nave A y en la nave B, ya que se mueven y además están a una distancia diferente. O dicho de otra manera, debemos olvidar la idea de que el tiempo transcurre más despacio en el sistema de referencia móvil, en el sentido de que transcurre igual de despacio en todo S'. El transcurso del tiempo depende de la velocidad y la distancia.

    Entonces ¿hay paradoja? No puedo respaldarlo con matemáticas (no las conozco), pero debe ser como has dicho en algún momento, que para resolverla debe romperse la simetría con alguna aceleración y deceleración, y meternos en la Relatividad General. Después de todo, la paradoja se produciría cuando ambos observadores (gemelos o no), se encuentran de nuevo (alguno tiene que dar la vuelta), y además igualan sus velocidades (es decir, se quedan en reposo uno con respocto del otro, y si queremos, pues hasta se abrazan y todo) y comprueban quién es el más viejo.

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  34. y otra cosa k me e perdido: La velocidad de la luz es siempre la misma.
    comor?
    e leido el experimento del eter y no encuentro lo k tiene k ver...


    Con tanto filosofar, se me había olvidado contestar a esto. La velocidad de la luz en el vacío (importante, en el vacío) es constante, independentemente del observador. Es uno de los pilares de la Relatividad, y un poco el culpable de todo esto de la deformación del espacio y en el tiempo.

    Lo del experimento es simple. Si la velocidad de la luz no fuera constante, es decir, si fuera con respecto a "algo" absoluto (que llamaremos éter), entonces en la Tierra, dependiendo de en qué dirección lancemos un haz de luz y midamos su velocidad, obtendremos valres distintos. Si lo hacemos "a favor" del movimiento terrestre, obtendríamos un valor inferior a si lo hiciésemos "en contra".

    pero el experimento dio idénticos valores (bueno, en realidad era algo más complicado, ya que no midieron directamente la velocidad de propagación, pero lo que importa es el resultado). Así que la velocidad de la luz es constante, independientemente de la velocidad del observador. ¿Estas en reposo? Para tí la velocidad de la luz es c. ¿Viajas a 0,8 c? No importa, para tí, la velocidad de la luz seguirá siendo c.

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  35. "Creo que el problema reside en que no nos hemos detenido a pensar en las implicaciones de la siguiente ecuación:

    t' = Y(t - vx/c^2)

    Fíjate que t' no depende sólo de la velocidad relativa y del tiempo en el otro sistema. También depende de la coordenada X en el otro sistema. Es decir, dos eventos que sucedan en S(x1,t) y S(x2,t), son simultáneos en S (usamos el mismo t), pero no en S', ya que al ser x1 y x2 diferentes, a igualdad del resto de términos, t1' y t2' serán diferentes. Es decir, no sólo es que el tiempo transcurra a "diferente ritmo" dependiendo de la velocidad del observador, algo que más o menos podemos entender, sino que transcurre de forma diferente dependiendo también de la distancia. Es decir, para un observador de la Tierra, el tiempo transcurre de forma diferente en la nave A y en la nave B, ya que se mueven y además están a una distancia diferente. O dicho de otra manera, debemos olvidar la idea de que el tiempo transcurre más despacio en el sistema de referencia móvil, en el sentido de que transcurre igual de despacio en todo S'. El transcurso del tiempo depende de la velocidad y la distancia."

    Buff no sé si te he entendido del todo, pero creo que lo que me estás diciendo es que si, por ejemplo, tomamos el primer caso que es el del punto de vista "los planetas se mueven con respecto la nave", entonces en la nave B, que es la que está más lejos de la Tierra (T), el tiempo transcurre más lentamente que en A. En definitiva, que el tiempo también depende de la distancia con respecto a T a la que se encuentre el objeto que se mueve a velocidades cercanas a la de la luz. Perdona, pero ¿¿¿ein???

    Por favor, corrígeme si te he entendido mal.

    Por otra parte, las conclusiones que sacas me resultan un poco críptico. Al final no sé si te has convencido de lo que te decía (que la manera de resolver el problema que tú y la página hawaiina habéis empleado es incorrecta, y que, como yo planteo, no hay manera posible desde la R.Especial de resolverla) o no.

    Responde lo más pronto que puedas si es posible, porque dentro de dos días me voy de vacaciones y no quiero volverme loco pensando, cuando debería estar haciendo el perro, jeje.

    Saludos eternamente concentrados.

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  36. Por otra parte, como mal de muchos consuelo de tontos, yo quiero que tú también te vuelvas loco (si no tanto como yo, sí al menos un poquito). Pues resulta que durante esta discusión también busqué páginas que respaldaran lo que vengo diciendo, y en http://www.geocities.com/newmodel2k/Gemelos.htm

    me encontré lo siguiente:
    "Ejemplo 2: Una variante muy simple del caso anterior. Se comprobó el atraso de los relojes en movimiento mediante relojes en orbita, con respecto a relojes fijos a la tierra. OK. Pero que pasa si se ponen en orbita dos astronautas con relojes idénticos, empleando órbitas con giros opuestos alrededor de la tierra (por todo lo demás las orbitas serían idénticas). Bien, los dos relojes deben atrasar con respecto al reloj estacionario. Y deben atrasar lo mismo porque el fenómeno no puede depender de si el giro es en el sentido de las agujas del reloj o el contrario. Sin embargo, de acuerdo a la relatividad especial uno debe atrasar con respecto al otro debido a la traslación relativa. Einstein mismo aceptó durante el desarrollo de la teoría general, que, en primera aproximación la relatividad especial trabaja en sistemas sometidos a campos gravitatorios leves. De todos modos el problema es solo cualitativo. Los dos relojes están sometidos al mismo movimiento, pero se desplazan entre si. Según la RE cada uno debería observar que el otro atrasa. Pregunta: qué pasa cuando, completando cada giro, se enfrentan?. En ese caso la lectura de los relojes se hace en forma simultánea (a través de las escotillas enfrentadas). Y no es posible que cada uno observe que las lecturas del otro están atrasadas con respecto a las propias, pues ambos relojes coinciden en espacio y tiempo.

    Resumiendo: Cada reloj debe atrasar con respecto al otro pues no hay gemelo "preferencial". Y sin embargo la lectura directa impide que ambos vean simultáneamente que el reloj del otro atrasa.

    Consecuencia: !Paradoja!."

    Es decir, no ya la paradoja de los gemelos es irresoluble cuando ésta es planteada para ejemplificar los efectos de las velocidades cercanas a la de la luz con respecto a la dilatación del tiempo, sino que hay otras paradojas de gemelos que usan el conocido efecto de contracción del tiempo debido a la gravedad que también son irresolubles.

    Saludos de nuevo.

    PD: Las vacaciones creo que me las voy a pasar en el manicomio.

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  37. ¿Pero ves el error en la página hawaiiana y en tu envío fechado en Martes 08 de Agosto, o no?

    Es que para mí está clarísimo, fíjate en cuando tratan de resolver el problema desde el punto de vista de la nave en la que está Jill y en la que son los planetas esta vez los que se mueven. En el dibujo, en la situación en la que "Earth coincides with Jill", se nos describe la siguiente situación:

    Se ve el sistema S que contiene a la nave de Jill justo encima del planeta Mundo Destino (llamésmole así también) del sistema S'. En ambos sistemas hay las siguientes anotaciones: en S tenemos x2 y un t2 con un interrogante; en S' (mejor dicho en MD) tenemos anotado x2' y un t2' que conocemos. Vale, ahora ve más arriba en la página y sitúate en el dibujo que planteaba la primera opción, la de que era la nave la que se movía. Veamos las anotaciones en el dibujo de cuando "Jill coincides with the distant planet": tenemos que en MD (en S ahora) conocemos x2 y t2, mientras que en la nave (S') tenemos x2' y t2' con ¡un interrogante, es decir que no lo conocemos!

    Ahí está el error, ahí está la rotura de la simetría. No puede ser que la incógnita sea la misma cuando lo estamos mirando simétricamente. Lo que debería plantearse es, si en la primera opción la incógnita del tiempo es la variable temporal en la nave, en la segunda opción, la incógnita debería ser el tiempo transcurrido en MD,¡no otra vez en la nave! Ahora es S' (Tierra-MD) el que se mueve, nosotros, en la nave, conocemos el tiempo que transcurre en ella, es el tiempo en T-MD el que no conocemos.

    Saludos desde la nave de jill envejeciendo respecto a tí y no envejeciendo respecto a mí.

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  38. Espero llegar antes de que te vayas de vacaciones :-)

    ¿Pero ves el error en la página hawaiiana y en tu envío fechado en Martes 08 de Agosto, o no?

    Pues no. No hay ningún error. Te explico:

    Ahí está el error, ahí está la rotura de la simetría. No puede ser que la incógnita sea la misma cuando lo estamos mirando simétricamente. Lo que debería plantearse es, si en la primera opción la incógnita del tiempo es la variable temporal en la nave, en la segunda opción, la incógnita debería ser el tiempo transcurrido en MD,¡no otra vez en la nave! Ahora es S' (Tierra-MD) el que se mueve, nosotros, en la nave, conocemos el tiempo que transcurre en ella, es el tiempo en T-MD el que no conocemos.

    Si te fijas bien en el desarrollo de las ecuaciones, es irrelevante cuál es la incógnita. Lo que se hace es buscar una relación entre (t2-t1) y (t2'-t1'). El conocimiento que tengamos o no de uno de esos dos valores es irrelevante, pues no se aplica en el desarrollo. Lo importante es que se aplica exactamente la misma ecuación, pero al revés, como es lógico. Es decir, siempre se plantea como (t2'-t1')=(retahila-de-cosas), siendo (t2'-t1') el intervalo de tiempo en el sistema móvil (yo en cambio, para evitar líos, he mantenido los nombres al cambiar el planteamiento, pero el resultado es el mismo). La única sustitución que realizamos, ya que es un dato seguro e irrefutable, es el de (x2-x1)=0 en el sistema de la nave. Y digo que es seguro e irrefutable porque así hemos definido el sistema de referencia de la nave.

    Si quieres, borra de tu mente el dibujo en el que aparece la ? en t2 cuando consideramos que es la Tierra la que se mueve. Sustitúyelo si quieres por un dibujo en el que la ? aparece en t2'. El resultado es el mismo. En ningún punto del desarrollo se aprovecha ningún conocimiento sobre t2'-t1'. En ningún momento se hace una sustitución. Es decir, podemos considerar que ambos tiempos son incógnitas, ya que lo único que pretendemos es buscar una función que relacionen los tiempos de ambos sistemas. Nos da igual sus valores concretos.

    La simetría se rompe (como dijo In I Go) por considerar 2 puntos en un sistema y 1 sólo en otro. No por errores (o descuidos) en el desarrollo.

    El escenario con dos naves sí es simétrico, y no parece resolver la paradoja. Pero creo que eso es por una mala comprensión de todas las consecuencias de la Relatividad Especial. El tiempo no sólo depende de la velocidad, sino de la distancia, y eso nunca se tiene en cuenta en los planteamientos.

    Buff no sé si te he entendido del todo, pero creo que lo que me estás diciendo es que si, por ejemplo, tomamos el primer caso que es el del punto de vista "los planetas se mueven con respecto la nave", entonces en la nave B, que es la que está más lejos de la Tierra (T), el tiempo transcurre más lentamente que en A. En definitiva, que el tiempo también depende de la distancia con respecto a T a la que se encuentre el objeto que se mueve a velocidades cercanas a la de la luz. Perdona, pero ¿¿¿ein???

    No exactamente, pero casi :-) Desde el punto de vista de las naves (S'), el tiempo transcurre igual en ambas. Si hubieran sincronizado sus relojes, seguirían sincronizados durante todo el viaje. Pero desde el punto de vista de los planetas (S), el tiempo transcurre de forma distinta en la nave A y en la nave B. Es decir, verían que sus relojes no están sincronizados. Uno de ellos atrasaría respecto al otro.

    Aunque me he dado cuenta de que eso tampoco es exacto. He calculado los tiempos en las distintas naves, para distintos instantes de tiempo, partiendo de las coordenadas de S y utilizando la transformación de Lorentz. He empezado con t=-2 (dos años antes de que la nave A llegua al la Tierra) y he terminado con t=6 (dos años después de la que la nave A llegue a MD). He utilizado un intervalo de 1. El resultado ha sido el siguiente:

    t       xA      tA'     xB      tB'
    -2.0    -1,6    -1,2    -4      2
    -1.0    -0,8    -0,6    -3,2    2,6
    0.0     0       0       -2,4    3,2
    1.0     0,8     0,6     -1,6    3,8
    2.0     1,6     1,2     -0,8    4,4
    3.0     2,4     1,8     0       5
    4.0     3,2     2,4     0,8     5,6
    5.0     4       3       1,6     6,2
    6.0     4,8     3,6     2,4     6,8

    Veamos. Por cada año que pasa en la Tierra, pasan 0.6 años en la nave A, y 0,6 años en la nave B. Pero la nave B tiene un adelanto de 3,2 años respecto a A. Es decir, parece que antes me precipité al afirmar que el tiempo transcurría de forma diferente en ambas naves. Transcurre igual, pero hay un retraso permanente de una con respecto a la otra.

    Pero eso es sólo desde la perspectiva de la Tierra. Desde la perspectiva de las naves, puesto que ambas están en reposo una respecto de la otra, el tiempo está sincronizado entre ellas. Imaginemos que entre ambas naves se ponen de acuerdo para lanzar una salva simultáneamente en un momento dado (para celebrar lo que sea). Si se sincronizan bien, desde la perspectiva de las naves, los disparos se producirán a la vez. Pero un observador desde la Tierra verá que la nave B lanza una salva, y 3,2 años después lo hace la nave A.

    Hay un ejemplo muy utilizado (pero no tan conocido como lo de los gemelos) para ilustrar esto. Imaginemos un tren viajando a una velocidad cercana a la de la luz (¡vaya tren!). Se desata una tormenta y comienzan a caer rayos. Un observador situado en tierra firme ve de pronto como caen dos rayos simultáneamente sobre el tren, uno en la parte delantera y otro en la cola (vaya vista, para seguir al tren). Un pasajero del tren, en cambio, verá que primero cae un rayo en la parte delantera, y después cae otro en la cola.

    La simultaneidad es relativa.

    Por otra parte, las conclusiones que sacas me resultan un poco críptico. Al final no sé si te has convencido de lo que te decía (que la manera de resolver el problema que tú y la página hawaiina habéis empleado es incorrecta, y que, como yo planteo, no hay manera posible desde la R.Especial de resolverla) o no.

    Creo que el planteamiento y el desarrollo posterior, tanto en la página hawaiiana como en el post son correctos, pero que no sirven para resolver la paradoja. Y ya expliqué el porqué. Tiempo que tarda la nave en recorrer la distancia de la Tierra a Mundo Destino: para la Tierra son 5 años, para la nave 3, es decir, el tiempo en la nave transcurre más despacio. Pero (y es un gran pero); tiempo que tarda la Tierra en recorrer la distancia entre la nave A y la nave B: para la Tierra son 3 años, para la nave 5, es decir, el tiempo en la Tierra transcurre más despacio.

    ¿Paradoja? Creo que no, y que la solución pasa por comprender bien la relatividad de la simultaneidad, o dicho de otra manera, que varios eventos pueden ocurrir en distinto orden dependiendo del observador.

    Respecto al ejemplo de los satélites, hay varios errores de planteamiento y razonamiento.

    1: Un sistema de referencia que se mueva junto con el satélite, no sería inercial. Está sometido a aceleraciones, pues traza una curva cerrada. No estoy seguro de que se pueda aplicar todo lo anterior en este caso.

    2: Si suponemos una órbita circular (por simplificar un poco) La velocidad de los satélites es constante en módulo respecto a la Tierra. Pero no en dirección (ovbiamente). Más importante, la velocidad relativa entre satélites no es constante. De hecho, en ocasiones es cero (y en ese momento el tiempo transcurre igual en ambos). Supongamos que el radio de la órbita es R, utilicemos un sistema de coordenadas X,Y centrado en el centro de la órbita, y supongamos que uno de los cruces se produce en X=0, e Y=R. Los satélites se alejarán entre sí, y a la vez "bajarán" por el eje Y, al mismo ritmo. Es decir la coordenada Y de ambos satélites es idéntica en todo momento (pues sus órbitas son iguales). Por tanto, su desplazamiento relativo en Y es nulo. Solo debemos considerar su desplazamiento en X. Y si la órbita es circular, ese desplazamiento sigue una oscilación armónica simple, un movimiento senoidal. Y la velocidad, sigue la misma variación, pero con un desfase de PI/2. Si X varía como un seno, la velocidad lo hace como un coseno. Los satélites se cruzan en su momento de máxima velocidad relativa. Y en su máximo alejamiento (en extremos diametralmente ouestos de la Tierra), su velocidad relativa es cero. La velocidad varía constantemente (y se hace nula en determinados momentos). El factor de Lorentz varía constantemente (y se hace 1 en determinados momentos). La dilatación temporal varía constantemente. Bajo este punto de vista, tampoco creo que se pueda aplicar tan alegremente la RE.

    3: "Y no es posible que cada uno observe que las lecturas del otro están atrasadas con respecto a las propias, pues ambos relojes coinciden en espacio y tiempo."

    No coinciden en el tiempo. Cada satélite tendrá su propia coordenada t, y será diferente a la del otro.

    4: "Resumiendo: Cada reloj debe atrasar con respecto al otro pues no hay gemelo "preferencial". Y sin embargo la lectura directa impide que ambos vean simultáneamente que el reloj del otro atrasa."

    De premisas incorrectas, lógicamente se extrae una conclusión incorrecta. ¿Qué impide que cada uno vea que el reloj del otro atrasa? Nada lo impide. Los satélites están en movimiento relativo, uno respecto al otro, en el momento del cruce (además, es el momento de máxima velocidad relativa). Uno puede ver que el reloj del otro atrasa. ¿Por qué no? recuerda la relatividad de la simultaneidad y el ejemplo del tren relativista.

    Voy a intentar explicarlo en detalle:

    Imaginemos que desde el punto de vista del satélite 1, el cruce se produce a las 3:00 horas. En ese momento mira el reloj de su compañero (que es muy grande y se puede ver a través de un ventanuco), y ve que marca 2:55. Con el otro astronauta pasa exactamente lo mismo. Ve cómo el cruce se produce a las 3:00 según su reloj, y a las 2:55 según el del otro. Pero podemos verlo como una consecuencia de la relatividad de la simultaneidad. El evento "reloj satélite 1 marca las 3:00" y el evento "cruce entre satélites" es simultáneo en el satélite 1, pero no en el 2. Para el satélite 2 estos eventos tienen 5 minutos de diferencia. Y al revés sucede lo mismo.

    Supongamos, para verlo más fácil y buscar una analogía con el tren y los rayos, que los astronautas convienen en que cuando se produzca el cada cruce, se asomarán a un ventanuco y harán burla al otro (sacando la lengua, guiñando un ojo y agitando las manos). El astronauta 1 lo hace, pero ve que su compañero está haciando otra cosa (leyendo, comprobando el instrumental), y pensará, "este tío está tonto ¿no habíamos quedado en hacernos burla?". Pero 5 minutos después, cuando los satélites se han alejado, verá (si puede) que su compañero se asoma y hace burla. Y pensará "qué despistado, lo ha hecho después del cruce, y está haciando burla a la nada". Pero al astronauta 2 le ocurrirá exactamente lo mismo. Para él, será el astronauta 1 el que se ha retrasado con la mueca. Los eventos "astronauta 1 hace burla" y "cruce" son simultáneos para 1, pero no para 2. Y los eventos "astronauta 2 hace burla" y "cruce" son simultáneos en 2 y no en 1. Y para la estación terrestre, los tres eventos serán simultáneos.

    Sé que es muy difícil de entender. A mí también me cuesta. Pero pensado en estos términos no hay paradoja.

    ¿Y qué pasa cuando regresan a la Tierra? Pues si lo hacen a la vez, descubrirán que sus relojes están sincronizados entre sí, y retrasados con respecto al de la estación terrestre. ¿Cómo? Pues me imagino (y aquí ya sólo estoy suponiendo) que cada astronauta verá cómo el reloj del otro acelera repentinamente hasta igualarse con el suyo en el momento en el que aterrizan. Pero no sé si a ese resultado se puede llegar matemáticamente utilizando únicamente la Relatividad Especial, o hay que emplear la General.


    He hecho un experimento utilizando un programita para hacer gráficas (en realidad es una librería, y he reutilizado un programa que me hice hace mucho tiempo; ventajas de ser programador), y he utilizado la transformación de Lorentz para calcular las coordenadas x,t del segundo satélite a partir de las del primero, utilizando un movimiento senoidal (x=sen(t) y v=cos(t)). Lógicamente, como hay aceleraciones, no estoy seguro de que los resultados obtenidos sean correctos (ni siquiera sé si tienen sentido), pero son curiosos: Consideremos que estamos en el satñelite 1. Partiendo de un cruce, el tiempo del satélite 2 se ralentiza con respecto a nosotros, pero tras algo menos de 1/8 de periodo, el tiempo de dicho satélite se acelera y va más rápido, de forma que justo en 1/4 de periodo (es decir, velocidad nula y máximo alejamiento) nos "alcanza" y ambos tiempos son iguales. Tenemos los relojes sincronizados. Después, sigue yendo más rápido el de 2, hasta que poco después de 3/8 de periodo comienza a ralentizarse de nuevo. En el siguente cruce (1/2 de periodo), aunque el reloj de 2 va más despacio que el nuestro, aún va un poco por delante, de forma que marca una hora más adelantada. Poco después nuestro reloj "alcanza" al otro y lo adelanta. Poco antes de 5/8 de periodo sucede otra vez lo de antes. El reloj 2 comienza a acelerar, y en 3/4 de periodo (otra vez máximo alejamiento y velocidad nula) volvemos a estar sincronizados. El reloj 2 sigue acelerando hasta algo después de 7/8 de periodo, momento en el que vuelve a ralentizarse. Al terminar el primer periodo (volvemos al punto de partida), nos cruzamos con 2, y aunque en él el tiempo va más lento, su reloj todavía marca un tiempo superior al nuestro. Debe transcurrir algo de tiempo para que le rebasemos y lo dejemos atrás. Todo esto se repita indefinidamente, pero con una variación curiosa. En cada ciclo, el reloj de 2 cambia de "más lento que nosotros" a "más rápido que nosotros" antes que en el ciclo anterior, y cambia de "más rápido que nosotros" a "más lento que nosotros" después que en el ciclo anterior. Además, la aceleración es cada vez más "suave" y la ralentización más "brusca", de forma que la gráfica tiene forma de onda en la que las "subidas" son cada vez más suaves y las "bajadas" cada vez más pendientes.

    En fin, como he dicho antes, puede que esas gráficas no signifiquen nada, ya que los sistemas no son inerciales. Además, parecen que la ralentización o aceleración del tiempo depende de si nos acercamos o nos alejamos (?), y muestran que en los cruces veremos el reloj del otro adelantado, en vez de retrasado (?). Así que no me hagas mucho caso. Pero si tienes curiosodad, te las mando por email.

    Yo también he pasado alguna noche dándole vueltas como un loco. No te comas el tarro en las vacaciones, y disfrútalas :-) ¿Quién sabe? A lo mejor sufres lo que Asimov llamó en un ensayo, el "efecto Eureka", y de pronto ves una solución al pensar en otra cosa. Dice la leyenda que el químico alemán Friedrich August Kekulé von Stradonitz, que se pasó años intentando deducir la estructura del benceno, cuya fórmula química C6H6 se conocía, pero que no encontraba forma de distribuir los átomos de carbono e hidrógeno y cuadrar las valencias. Una noche soñó con una serpiente que se mordía la cola (versión Wikipedia; según Asimov, vio un collar o algo así al subir a un autubús), y entonces le vino la inspiración: una cadena cerrada. Y efectivamente, la molécula de benceno es una cadena circular (hexagonal más bien) cerrada, de 6 carbonos, cada uno con 1 hidrógeno.

    Pero sobre todo, no pienses en relojes y naves espaciales mientras tomas el sol :-)

    ¡Buf! creo que he batido el record de comentario más largo.

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  39. Ostras, aprecio tu labor de manera sobrehumana (como lo ha sido el esfuerzo que habrás tenido que hacer para escribir todo eso).

    Mira, creo que ya se ha resuelto la cuestión y todo. Entre tu labor y este link:

    http://www.ugr.es/~jillana/SR/sr.pdf

    mis dudas han quedado resueltas. Ves a la página 39 del archivo pdf al que hace referencia dicho link y podrás leer una manera elegantísima de darte a la razón a tí. No he podido hacer otra cosa que rendirme a la evidencia y constatar que, en efecto, se rompe la simetría, pero que es lícito (que es lo importante) que se rompa. Todo, sin usar la Relatividad Especial.

    Saludos y envejeciendo, está vez sí,
    Maelstrom.

    PD: Me voy de vacaciones a Mundo Disco (me llevaré algún libro de Terry Prachett para reirme un poco, pero lloraré si veo que hay una cagada tipográfica en una de sus páginas, estando escrito Mundo Destino en vez de Mundo Disco... o quizás sólo sea que mi mente enferma a causa de esta larguísima discusión ve ese error cuando en realidad no existe).

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  40. Alf y Maelstrom, gracias a los dos por el inmenso esfuerzo que habéis hecho. ¡Ha sido fantástico!

    Y lo curioso del caso es que la paradoja de los gemelos se ha transformado, para mí, en otra paradoja: los dos tenéis razón.

    Alf, porque el problema no es simétrico, y por tanto no hay paradoja de los gemelos; y Maelstrom, porque la simetría se rompe fuera de la Relatividad Especial.

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  41. Buff alf es que comparar los tiempos relativos de dos osciladores armónicos con un desfase de pi/2 es harto complicado de interpretar "físicamente". En primer lugar la fase de acercamiento se establece en T/8+k*T/2. Y las de máximo alejamiento en k*T/8. Es decir, no hay simetría. Deberías haber tomado x=sin(t) y v=sin(t-T/2), y en este caso que ambas sensaciones inerciales (llámale fuerzas, llámale aceleraciones) se producen simétricamente pero en sentido opuesto (simetría especular), debería darte los mismos resultados. En todo caso, estaríamos hablando de sistemas no inerciales en un universo de sólo dos elementos (sólo DOS elementos, esto es importante). Es decir, la paradoja (la contradicción de los gemelos) se mantendría (creo), ya que la "historia" de aceleraciones y desaceleraciones es la misma.

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  42. Ops mierda, el primer maximo alejamiento es en el maximo de la funcion f(x)=sin(x)-cos(x) que es f'(x)=cosx+senx=0, luego cosx=-senx, y su máximo estará en x=2pi/4 + 2pi/8. Luego los máximos están situados en 3T/4 + k*T/2.

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  43. 'Amos a ver, que vuelvo de las vacaciones y me encuentro todo este lío de gemelos, tiempos y espacios que han trastocado mis olvidados conocimientos sobre el tema. Pero siempre está bien volver a pensar en ello y refrescar las neuronas.

    No sé si estoy predicando en el desierto pero ahi va mi pregunta por si acaso hay alguien al otro lado:
    Por lo que yo veo, en el artículo se presenta el problema únicamente de UN suceso el envejecimiento del hermano del cohete, es decir solo estudiamos X'=0 en todo momento. El tiempo transcurrido en S es aquí mayor.

    Tengo entendido que la paradoja está en cuando estudiamos el problema desde el suceso del envejecimiento del hermano en la tierra. En éste caso siempre estamos el suceso en X=0. Y aquí, estudiandolo desde S y desde S' siempre vemos que el tiempo es mayor en S'.

    Me explico? Me estoy confundiendo en el planteamiento? Alf, ayuda please.

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  44. Lluís, ya que Alf parece no contestar, y no me extraña, porque tiene que estar pensando "otra vez no, por favor", te resumo las conclusiones a la que, creo, se han llegado:

    - La paradoja de los (las) gemelos (gemelas) (me ha dado el momento PC) no se puede resolver sólo con la Relatividad Especial, porque hay que considerar las aceleraciones y deceleraciones.

    - La paradoja de los gemelos (ya se me ha pasado) se resuelve con la Relatividad General.

    - En el enlace que facilitó Maelstrom, aquí, pag. 39 y ss, se explica de modo claro y sencillo el problema.

    Y, última, pero no por ello menos importante,

    - Si alguien lo ha entendido mejor que yo, que nos lo explique.

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  45. y no me extraña, porque tiene que estar pensando "otra vez no, por favor"

    Eso y que apenas he tenido tiempo :-)

    A ver Lluis, la idea es calcular el tiempo transcurrido en el viaje, desde ambos puntos de vista. Y creo que has dado con una nueva forma de aclarar un poco las cosas.La clave es "suceso".

    La paradoja de los gemelos se basa en que como el movimiento es relativo, cada hermano vería que es su gemelo el que envejece más lentamente que él. Pero hay que tener en cuenta que entre los efectos de la RE, no sólo está la dilatación temporal, sino la relatividad de la simultaneidad. Así, el suceso "llegada al otro planeta" y el suceso "el reloj A marca X", pueden ser simultaneos para uno y no para otro.

    In I Go ha hecho un buen resumen. Aunque hay que decir, que después de leer el PDF del enlace que nos ha dado Maelstrom, parece que sí se puede aplicar la RE a movimientos no uniformes, con cuidado y teniendo claro lo que se hace. En uno de los capítulos el autor explica básicamente, que en el caso de un movimiento acelerado, pordemos hacer un cálculo para cada instante de tiempo, considerando un sistema de referencia inercial, que en ese instante coincide con la posición y velocidad de la nave. Así que a lo mejor sí se puede resolver dentro de la RE. Pero que lo haga otro :-)

    AL final de todo este follón, me he quedado con la idea de la relatividad de la simultaneidad. Creo que la comprensión de todo este asunto pasa por ahí.

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  46. De acuerdo, gracias mil por las
    conclusiones. Si una cosa me ha quedado clara es que no me habían quedado del todo claras antes de éstos dos últimos mensajes.

    Voy atacando el pdf a ver si le puedo sacar un poco mas de jugo

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  47. Realmente alucinante.. Me habeis dejao asombrado. Un trabajo realmente excelente. Muchas gracias por intentar ilustrarnos con vuestros conocimientos. En serio... me quito el sombrero...

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  48. Querido amigo.. veo que haz hecho un buen esfuerzo para aplicar la relatividad especial para resolver la paradoja e incistes en que tu razonamiento es valido. Pero aqui hay una realidad fisica que no consideras y te induce a un error en tu razonamiento. Existen 2 caminos posibles partiendo de un punto, atravezar un espacio y regresar al mismo punto. La primera seria ir por una recta desde un punto de partida hasta otro y luego volver por el mismo camino hasta llegar nuevamente al mismo puento de partida. Para ello necesitas frenar en algún momento y retroceder lo cual implica aceleraciones (a menos que seas una onda electromagnetica). La segunda manera seria a travez de una cruva, por ejemplo una circunsferencia. Por lo tanto si te mueves con velocidad constante en una curva implica que existen aceleraciones, o bien es un espacio curvo no euclideo.
    Debes comprender que no es posible estudiar este caso con la relatividad especial, no te encapriches. Debes comprender que partes de una hipotesis falsa, es como decir: Voy a demostar que es posible que 2=4, Entonces pongo de la siguiente hipotesis 1=2, entonces multiplico por 2 en ambos miembros sin alterar la ecuación obtengo 2=4. cqd. Eso es FALSO porque partí de una falsedad.
    Tu haces lo mismo! Entiendes?
    Recurda: "De hombres es equivocarse; de locos persistir en el error." Marco Tulio Cicerón.
    Bueno de todos modos te felicito por tratar estos temas y pensar.
    Saludos.

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  49. Esto... ¿has leído bien el artículo y los comentarios? En el planteamiento del artículo no hay aceleraciones, pues no hay "viaje de vuelta". Y en los artículos, repito una y otra vez que la Relatividad Espacial no se puede aplicar cuando hay aceleraciones (aunque en un libro de texto he leído que puede hacerse de forma algo "especial").

    Es decir, no he utilizado la RE para resolver un problema con aceleraciones. No veo esa hipótesis falsa de partida.

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  50. Hola. Espero que sigas leyendo esto después de más de 1 año :)

    Me pareció excelente el artículo, muy bien explicado en general. Pero hay algo que no me queda claro:

    Vos llegás a que:
    S(0, 0) = S'(0, 0) <-- posición y tiempo iniciales de la tierra y la nave en ambos marcos de referencia
    S(x, t) = S'(0, t/γ) <-- posición y tiempo de la nave cuando llega al planeta destino en ambos marcos de referencia

    De lo anterior, concluís que t' = t/γ

    ¿Pero qué pasa si miramos la posición y tiempo de la tierra luego del tiempo t (según la tierra) en ambos marcos de referencia?:

    S(0, t) = S'(-v*t*γ, t*γ)

    De lo anterior, resulta que t' = t*γ.

    Numéricamente, queda:

    S(0, 5) = S'(6.666..., 8.333...)

    ¿Qué estoy haciendo mal?

    Gracias, saludos!!

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  51. Sigo leyendo :-)

    Mmmm... no acabo de ver cómo sacas el S'(-v*t*γ, t*γ), pero es que ahora estoy algo espeso (ya casi ni me acordaba de todo este lío :-)

    Dame tiempo y lo pienso...

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  52. Bueno, dado que estos post sobre "La paradoja de los gemelos" son del 2006; y viendo las innumerables aclaraciones que has hecho, simplemente escribo para felicitarte por los artículos.
    En especial por este segundo post que me ha convencido ya por completo del cálculo que hacías en el anterior:

    "Para la nave, la distancia es de 2,4 años luz, y el tiempo es de 3 años. Para la Tierra, la distancia es de 4 años luz, y el tiempo es de 5 años."

    Es que a veces parece que uno no ve lo que tiene delante de los ojos a no ser que le digan con mucha paciencia dónde mirar xd.

    Aunque sigo dándole vueltas a qué sucede en los momentos de aceleración.

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