Anacondas explosivas

El de hoy va a ser un envío cortito, ya que trata de un tema que ya comenté hace tiempo, pero que esta vez es llevado a extremos casi paródicos. Hace unas semanas pusieron en la tele la película Anacondas: la cacería por la orquídea sangrienta. Trata de un grupo de exploradores que se interna en una selva para buscar una flor (la orquídea sangrienta) que tiene unas propiedades que la convierten en una joya para la industria farmacéutica. El problema es que el lugar donde florece la planta, está habitado por inmensas anacondas, que poco a poco van causando bajas en el grupo. Al final de la peli, los supervivientes se topan con una especie de nido, donde los inmensos bichos retozan y se aparean en un pozo de barro. Una de las serpientes se percata de los intrusos, y les ataca. Para defenderse, una de las protas le lanza una lata de gasolina, de forma que la cabeza de la serpiente se empapa de este líquido, y le lanza una bengala. El bicho se pone a arder un poco, y después cae al pozo, donde están sus compañeras. Y justo en el momento en el que se estrella, explota todo en llamas.

Sí, sí, no es coña. Ante secuencias como esta, uno no sabe por dónde empezar. Ya expliqué una vez que en el mundo real, los coches no explotan con tanta facilidad como en las películas. Y aquí hablamos de una serpiente. Vale, le han echado gasolina, pero para que explote de esa manera tendría que haber tragado una muy buena cantidad (cosa que no hace), y que hubiera tragado aire, que en su interior la mezcla fuera apropiada, y que justo en el momento del impacto, alguna llama se «metiera en la boca» para inflamar la gasolina de dentro. En fin, como he dicho, digno de una peli estilo Top Secret.

CSI, bailarinas, y momento de inercia

En el episodio de esta semana de CSI: NY, uno de los casos trataba sobre la muerte de una bailarina de patinaje artístico. Los protagonistas descubren que en la pista de hielo donde se cometió el crimen, aparecía grabada una «I» mayúscula y una flecha. Posteriormente, descubren un escrito son esos mismos símbolos y una serie de ecuaciones matemáticas. Finalmente, deducen que el escrito estaba dirigido a la chica muerta, y que intentaba explicar cómo modificar su propia inercia, para dar dos saltos seguidos con giro.

Más que mala ciencia, lo que ocurre en este episodio es que no se explica claramente a los espectadores de qué va lo de la inercia y los giros, y se muestra como algo muy complicado, que sólo un científico es capaz de comprender. Y eso no es así en absoluto, sino que es algo que se estudia (o se estudiaba en mi época) en el instituto.

Veamos, lo primero es destacar un pequeño fallo, que puede ser achacable a la traducción. Se habla constantemente de la inercia, a secas, cuando realmente de lo que se trata de algo llamado momento de inercia. ¿Y eso qué es? Bueno, es algo de lo que ya he hablado en dos ocasiones, así que lo resumiré de forma muy simple. El momento de inercia (representado normalmente como I, lo que es correcto en el episodio), es al movimiento en rotación, lo que la masa al movimiento lineal. ¿Ein? No es tan complicado. Si aplicamos una fuerza sobre un objeto, éste adquirirá una aceleración (variación de velocidad) igual al valor de dicha fuerza, dividida por la masa de objeto ¿verdad?. Es lo que nos dice la Segunda Ley de Newton: F=m·a. Pues bien, si aplicamos un par (o momento de fuerza) sobre un objeto, éste adquirirá una aceleración angular (variación de velocidad angular o de rotación) igual al valor de dicho par, dividido entre el momento de inercia del objeto. La ecuación es idéntica a la anterior, pero cambiando los valores: τ=I·α, donde τ es el par (torque, en inglés) y α es la aceleración angular.

¿Cómo se calcula el momento de inercia de un objeto? El momento de inercia depende del eje de rotación del objeto, y es igual a la suma de los productos de la masa de cada partícula por el cuadrado de la distancia a dicho eje. Imaginemos que somos capaces de medir la masa de cada átomo de un objeto, y su distancia al eje de rotación. Si obtenemos el producto de masa y cuadrado de la distancia para cada átomo, y lo sumamos todo, habremos obtenido el momento de inercia. Obviamente, ese cálculo nunca se hace así, sino que se utiliza el llamado cálculo integral (para no extendernos demasiado, una integral es básicamente una suma de infinitos sumandos, infinitamente pequeños, algo que también se estudia o estudiaba en el instituto). Fijáos que el momento de inercia de un cuerpo depende de la distribución de la masa, y del eje de rotación. Y que la distribución de la masa depende de la forma. Es decir, si alteramos la forma del objeto, alteramos su momento de inercia.

¿Y por qué es importante eso? Pues por algo llamado conservación del momento angular. ¿Y eso qué es? Bien, seguro que muchos de vosotros recordaréis (bien por el colegio, bien por haberlo leido muchas veces en este blog), la ley de conservación de la cantidad de movimiento. La cantidad de movimiento (o momento lineal) es el producto de la velocidad por la masa (p=m·v), y en ausencia de fuerzas externas (o cuya suma sea nula), no varía. Pues bien, el momento angular es el producto de la velocidad angular por el momento de inercia (L=I·ω), y en ausencia de pares externos (o cuya suma sea nula), no varía. Pero fijaos que a diferencia de lo que ocurre con la masa, el momento de inercia puede variar. Como el momento angular debe ser constante (en ausencia de pares, recordemos), la velocidad de giro también varía.

Pensemos ahora en un patinador sobre hielo, que se impulsa y se pone a girar sobre sí mismo. Si extiende sus brazos y separa las piernas, aumenta su momento de inercia, por lo que su velocidad disminuye. Si repliega sus brazos y piernas, su momento de inercia disminuye, por lo que su velocidad aumenta, sin necesidad de ejercer ninguna fuerza o par adicional. Es algo que podéis comprobar fácilmente si disponéis de una silla de oficina, que pueda girar sobre sí misma. Si os sentáis sobre ella y os dais un fuerte impulso para dar vueltas, comprobaréis que podéis alterar la velocidad de giro, simplemente extendiendo y replegando brazos y piernas (aunque lógicamente, el rozamiento del aire y del eje de la silla, irá frenando poco a poco vuestra velocidad angular).

Como veis, no es necesario llenar una hoja con ecuaciones matemáticas para explicarlo. La bailarina, debía replegar sus brazos y juntar las piernas durante el salto, para adquirir un giro rápido. Al caer, debía separar brazos y piernas, para disminuir mucho su giro, y saltar replegando nuevamente sus brazos y juntando las piernas, para volver a girar rápidamente. Por otro lado, esto es algo que todo patinador o bailarín sabe. Bueno, tal vez no sepa lo que es la conservación del momento angular, pero sí que sabe que para ralentizar su velocidad de giro debe abrir los brazos, y para aumentarla, debe replegarlos. Si algún día veis una competición de petinaje artístico, fijáos bien en los movimientos del patinador. Comprobaréis que para girar rápidamente, repliega sus brazos y adopta una posición vertical, como si fuera una «I», y que al terminar el movimiento, abre los brazos, e incluso extiende una pierna. Comprobaréis además, que si vuelve a juntar los brazos y piernas, gira nuevamente bastante rápido. En esos casos, el patinador no frena ni reanuda el giro ejerciendo fuerza con los pies sobre el suelo, sino que aprovecha la conservación del momento angular.

Cube: factorizando números

Cube es una de esas películas que aparecen de vez en cuando, que muestra cómo con pocos medios y una premisa aparentemente simple (aparentemente), se puede hacer una película intensa que no deja indiferente. Pero si la comento aquí no es para hablar de sus bondades (o carencias) artísticas, sino de la ciencia tras ella. En este caso, las matemáticas. Y para ello es imprescindible resumir algunos puntos importantes del argumento (incluyendo algunos que sólo se revelan muy avanzada la peli).

La historia es la siguiente: Un reducido y heterogéneo grupo de personas se ve atrapada (sin saber cómo ni por qué) en un extraño recinto formado por habitaciones cúbicas interconectadas. Algunas habitaciones tienen trampas mortales (y muy desagradables), mientras que otras son seguras. En la entrada de cada habitación, hay una secuencia de tres números de tres dígitos (es decir, entre 000 y 999), y uno de los personajes, una matemática, descubre que las habitaciones en las que uno de los números es primo, son las peligrosas. La chica les va guiando de forma segura, estudiándo los números, hasta que descubren que su hipótesis es errónea. En realidad, las trampas están en aquellas habitaciones en las que uno de los números es la potencia de un primo, es decir, números del tipo X^y, donde X es un número primo (obviamente, eso incluye a los números primos, puesto que X¹=X). En este momento, la matemática se desespera, ya que dice que es imposible. Que los cálculos son astronómicos, y que no puede hacerlo. Para suerte de todos, uno de los personajes atrapados es un autista con síndrome del sabio que es capaz de factorizar un número en un instante, y decir cuántos factores primos distintos tiene. Esto es, con un número que sea potencia de un primo, como 3, 9 (3²) o 16 (2⁴), el personaje diría «1»; mientras que el con el 63 (3²·7), por ejemplo, diría «2», pues tiene dos primos distintos como factores (el 3 y el 7).

Pues bien, realmente no era necesaria la presencia del autista. Los números son de 3 dígitos, como ya he dicho, por lo que el mayor de todos sería 999. Y factorizar un número tan pequeño no lleva tanto tiempo. Fijáos en lo siguiente: hay que detectar los números que son potencias de un número primo, ya que son las habitaciones con trampas. Pero como la chica es capaz de averiguar con rapidez si un número es primo o no (ya que lo hizo durante gran parte de la peli), la dificultad añadida está en ver si un número no primo, es potencia de un primo. Para eso es necesario factorizarlo, por lo que debemos probar si es divisible por 2, por 3, por 5, por 7, por 11, y así hasta completar todos los números primos hasta 999 ¿verdad? Pues no. No es necesario ir tan lejos.

Pensemos en lo siguiente ¿Cuál es el mayor número primo, menor que 1000? Tranquilos, no os rompáis la cabeza. Buscando alguna tabla de primos en Internet, o creándonos nuestro propio programilla en un ordenador, vemos que es 997. «No vale, los personajes ni tenían ordenador, ni calculadora, ni tablas, ni nada» diréis algunos. Cierto, pero veréis más adelante que da igual que hagamos este razonamiento con un número primo o no. Es sólo una forma de mostraros algo. Fijáos que cualquier potencia de 997, con exponente mayor que 1, es necesariamente mayor que 1.000. No creo que sea necesario calcular 997² para demostrarlo. Así que podemos descartar las potencias de dicho primo. Pero vayamos más allá. ¿Cuánto es, por ejemplo, 100² (no, 100 no es primo, ya lo sé)? Pues Fácil, 10.000. Obviamente, también podemos descartar todos los números primos mayores que 100, pues cualquier potencia de un número mayor que 100, con exponente mayor que 1, es mayor que 1.000 (y mayor que 10.000). Eso nos deja con aún menos números primos. Vayamos todavía más allá. ¿Hasta qué número debemos probar? Parece evidente que para cualquier número mayor que la raíz cuadrada de 1.000, su cuadrado será mayor que 1.000 (para todo número mayor que 1, si X>Y, entonces X²>Y²), y por tanto, cualquier otra potencia mayor, será también mayor. ¿Cuánto es la raíz cuadrada de 1.000? Bueno, realmente no importa su valor exacto, pues lo que buscamos el el mayor número primo, cuyo cuadrado sea menor que 1.000. Y este número es 31, ya que 31²=961, mientras que 32²=1.024.

«¡Trampa, trampa! Seguro que has usado una calculadora». Bueno, en realidad no, ya que 1.024 es un número muy significativo para todo el que trabaje con ordenadores, puesto que es 2¹⁰, que se puede expresar como, (2⁵)², es decir 32². Pero tenéis razón, entiendo que la chica era matemática, no informática, y no tenía por qué venirle a la cabeza eso. En cualquier caso, 31 es el 11º número primo, por lo que únicamente habría tenido que realizar 11 multiplicaciones hasta llegar a dicha conclusión (en realidad, bastantes menos, pues seguro que habría empezado a probar por un número mayor que 2, y que 7, y que 13). Por supuesto, estamos partiendo de la base que la chica conocía de antemano cuáles son al menos los primeros 11 números primos. Pero si no se los sabía de memoria, en poco tiempo hubiera podido averiguarlo.

Sigamos. ¿Qué ocurre si un número no es divisible por ninguno de esos 11? Pues hemos encontrado un primo. ¿Seguro? Sí. Fijáos que si el número no es primo, entonces debe estar formado por el producto de potencias de uno o más primos. Pero si todos los cuadrados de números mayores que 31, son mayores que 1.000, la única posibilidad para un número no primo con un primo mayor que 31 como factor, es que el resto de factores primos sea menor que 31. Y ya hemos comprobado la división por esos números. Veamos un ejemplo. El siguiente primo después de 31 es 37. Como ya sabemos, 37² es mayor que 1.000 (1369). El producto de 37 y 31 también lo es (1147). Tenemos que ir hasta el 23, para ver que su producto con 37 ya es un número menor que 1.000 (851) y por tanto, puede aparecer en una habitación. Pero ese número es divisible entre 23 (obviamente), cosa que ya habríamos detectado antes. Es fácil ver que esto mismo se cumple para el resto de números por encima de 31. Todo número no primo menor que 1.000, tiene necesariamente algún factor primo menor o igual que 31. Es decir, si un número menor que 1.000 no es divisible por ninguno de los 11 primeros primos, entonces es primo. Bueno, pero ese no era el problema ¿no? La matemática sabía calcular rápidamente si el número era primo o no. Cierto, pero es importante tener esto muy claro, para el siguiente paso.

Hemos dicho que debemos comprobar si un número es divisible por los 11 primeros primos. Aunque hay técnicas que no hacen necesarias una división (por ejemplo, en el cole nos enseñaron que todos los números pares son divisibles por 2, todos los números acabados en 0 ó 5 son divisibles por 5, y todos los números cuya suma de dígitos sea un múltiplo de 3, es divisible por 3), hagámoslas igualmente, comenzando con el 2 como divisor y siguiendo en orden creciente por esos 11 primos. Quedémonos con el cociente de la primera división entera que encontremos (con resto cero), es decir, no sigamos probando con el resto de primos. Repitamos el proceso con dicho cociente, y así sucesivamente hasta llegar a un número que no sea divisible por ninguno de los primeros 11 primos. Ese número, será necesariamente también primo. Y ya habremos factorizado completamente el número original.

Así que tenemos que para factorizar un número menor que 1.000, basta con intentar dividirlo de forma sucesiva por los siguientes números: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 ó 31. No son operaciones complicadas, los números involucrados no son demasiado grandes (dividendos menores que 1.000 y divisores menores que 32) y no serían demasiadas operaciones. Desde luego, no puede considerarse como «cálculos astronómicos».

Como curiosidad, he hecho un pequeño programilla para averiguar el número de divisiones a realizar para factorizar cada número, siguiendo el método descrito, y en el peor de los casos (que ocurre para 851, 943 y 989), es de 20. Y eso si hacemos el cálculo «a lo bruto». De un vistazo podemos saber si un número es divisible por 2 ó 5, y quitarnos de encima dos divisiones si ya vemos que no son divisibles. Y con una simple suma, podemos saber si no es divisible por 3. Además, parece evidente que el cociente será más pequeño que el número original, y podremos descartar algún primo más.

El cálculo puede ser algo tedioso en algunos casos, pero en nigún caso podría considerarse «astronómico».

El sol de Mongo

En un ataque de nostalgia, me hice hace poco con la reedición en DVD de la serie de animación Flash Gordon. Supongo que muchos de mi generación la recordarán. Era una de esas series de Filmation (Tarzán, El Zorro, He-Man y los Masters del Universo, etc) en las que las mismas animaciones se repetían una y otra vez. Sin embargo, me encantaba, y aún hoy me sigue gustando. Al igual que la película de Dino De Laurentiis (la de la música de Queen), tiene una estética deliberadamente retro, donde podemos ver cascos y armaduras que nos recuerdan a las indumentarias militares de finales del siglo XIX y principios del XX, emblemas solares, y naves con forma de cohete con aletas.

La historia sigue con cierta fidelidad la del cómic original de Alex Raymond: Flash Gordon (el héroe), Dale Arden (la chica) y el profesor Hans Zarkov (el sabio) viajan al misterioso planeta Mongo, que se aproxima peligrosamente a la Tierra, provocando terribles catástrofes naturales debido a su campo gravitatorio. Una vez allí, descubren que todo es obra del gobernador de Mongo, el tiránico emperador Ming el Despiadado (el Desalmado Ming, en el doblaje laninoamericano de la serie), que pretende crear caos y destrucción en la Tierra, para luego poder conquistarla sin apenas oposición. Para ello, dispone de una fantástica maquinaria que impulsa al planeta Mongo por el espacio, a voluntad. Tras algunas aventuras y hacer nuevos amigos, los héroes consiguen alterar el rumbo de Mongo para alejarlo de la Tierra. Al hacerlo, salvan nuestro planeta, pero pagando el precio de quedar atrapados en Mongo, donde tendrán muchas más aventuras.

Empecemos con un poco de buena ciencia. Es cierto que si un objeto de dimensiones planetarias se nos aproximara demasiado, sería catastrófico para nuestro querido planeta. La causa de ello es, efectivamente, la gravedad. No por la intensidad del campo gravitatorio del planeta, sino por su gradiente. Normalmente, en el colegio, cuando resolvíamos problemas de física utilizando la conocida Ley de Gravitación Universal, suponíamos que los cuerpos involucrados eran puntos. Pero en el mundo real, los objetos tienen volumen, y la parte más cercana al otro cuerpo, está sometida a una fuerza de gravedad mayor que la parte más alejada (recordad que la gravedad disminuye con el cuadrado de la distancia). Esto se conoce como fuerza de marea, y es la causa de las mareas de nuestros mares. El gradiente gravitatorio de la Luna (y del Sol, en menor medida), hace que exista una diferencia de fuerza gravitatoria considerable, entre la cara que mira a la Luna (o al Sol) y la que no, «estirando» nuestro planeta. Como el agua es bastante más moldeable que la roca, la superficie acuática de nuestro planeta está más «ovalada» que la terrestre (aunque deberíamos decir, «elipsoidada»), de forma que hay zonas donde alcanza más altura que en otras. Y como la Tierra rota sobre sí misma, las aguas suben y bajan con respecto a una posición fija de la superficie.

Imaginad lo que podría ocurrir si se nos acercara de pronto un planeta. Las mareas serían más acusadas, provocando inundaciones. La parte rocosa se deformaría más, produciendo un enorme calentamiento debido a la fricción (como ocurre con Io, uno de los satélites de Júpiter), fracturando la corteza y provocando terribles terremotos. Habría grandes variaciones de presión en la atmósfera, alterando el clima. En fin, un desastre.

Ahora, vayamos con la mala ciencia. Obviemos el problema de cómo propulsar un planeta entero a través del espacio y la energía requerida, para centrarnos en algo más sencillo, pero que comenté brevemente hace tiempo. Durante el viaje de Mongo hacia la Tierra, y su posterior alejamiento ¿de dónde recibe luz? En las proximidades de nuestro planeta, es obvio que recibirá una radiación solar similar a la nuestra, pero ¿y durante el resto del viaje? Puesto que ningún astrónomo ha vislumbrado Mongo, hemos de suponer que viene de fuera de nuestro sistema solar. Además, una vez evitada la catástrofe, en la serie se especifica que se aleja hacia el espacio profundo (en el cómic no lo recuerdo). Así que ¿de dónde sale el Sol? Uno estaría tentado de pensar que ya que Ming dispone de medios para desplazar todo el planeta, tal vez tenga también medios para iluminarlo y darle calor, pero eso es algo que nunca se menciona, y en cambio sí se dice explícitamente que Mongo tiene autopropulsión, y una protección contra la gravedad de los planetas a los que se acerque.