Comments on MalaCiencia: La paradoja de los gemelos: Un poco de matemáticas...

Bueno, dado que estos post sobre "La paradoja...

2010-08-31T17:07:39.133+02:00

Bueno, dado que estos post sobre "La paradoja de los gemelos" son del 2006; y viendo las innumerables aclaraciones que has hecho, simplemente escribo para felicitarte por los artículos.
En especial por este segundo post que me ha convencido ya por completo del cálculo que hacías en el anterior:

"Para la nave, la distancia es de 2,4 años luz, y el tiempo es de 3 años. Para la Tierra, la distancia es de 4 años luz, y el tiempo es de 5 años."

Es que a veces parece que uno no ve lo que tiene delante de los ojos a no ser que le digan con mucha paciencia dónde mirar xd.

Aunque sigo dándole vueltas a qué sucede en los momentos de aceleración.

Sigo leyendo :-)

Mmmm... no acabo de ver có...

2007-09-03T17:22:00.000+02:00

Sigo leyendo :-)

Mmmm... no acabo de ver cómo sacas el S'(-v*t*γ, t*γ), pero es que ahora estoy algo espeso (ya casi ni me acordaba de todo este lío :-)

Dame tiempo y lo pienso...

Hola. Espero que sigas leyendo esto después de más...

2007-09-01T21:40:00.000+02:00

Hola. Espero que sigas leyendo esto después de más de 1 año :)

Me pareció excelente el artículo, muy bien explicado en general. Pero hay algo que no me queda claro:

Vos llegás a que:
S(0, 0) = S'(0, 0) <-- posición y tiempo iniciales de la tierra y la nave en ambos marcos de referencia
S(x, t) = S'(0, t/γ) <-- posición y tiempo de la nave cuando llega al planeta destino en ambos marcos de referencia

De lo anterior, concluís que t' = t/γ

¿Pero qué pasa si miramos la posición y tiempo de la tierra luego del tiempo t (según la tierra) en ambos marcos de referencia?:

S(0, t) = S'(-v*t*γ, t*γ)

De lo anterior, resulta que t' = t*γ.

Numéricamente, queda:

S(0, 5) = S'(6.666..., 8.333...)

¿Qué estoy haciendo mal?

Gracias, saludos!!

Esto... ¿has leído bien el artículo y los comentar...

2007-01-08T10:24:00.000+01:00

Esto... ¿has leído bien el artículo y los comentarios? En el planteamiento del artículo no hay aceleraciones, pues no hay "viaje de vuelta". Y en los artículos, repito una y otra vez que la Relatividad Espacial no se puede aplicar cuando hay aceleraciones (aunque en un libro de texto he leído que puede hacerse de forma algo "especial").

Es decir, no he utilizado la RE para resolver un problema con aceleraciones. No veo esa hipótesis falsa de partida.

Querido amigo.. veo que haz hecho un buen esfuerzo...

2006-12-19T18:55:00.000+01:00

Querido amigo.. veo que haz hecho un buen esfuerzo para aplicar la relatividad especial para resolver la paradoja e incistes en que tu razonamiento es valido. Pero aqui hay una realidad fisica que no consideras y te induce a un error en tu razonamiento. Existen 2 caminos posibles partiendo de un punto, atravezar un espacio y regresar al mismo punto. La primera seria ir por una recta desde un punto de partida hasta otro y luego volver por el mismo camino hasta llegar nuevamente al mismo puento de partida. Para ello necesitas frenar en algún momento y retroceder lo cual implica aceleraciones (a menos que seas una onda electromagnetica). La segunda manera seria a travez de una cruva, por ejemplo una circunsferencia. Por lo tanto si te mueves con velocidad constante en una curva implica que existen aceleraciones, o bien es un espacio curvo no euclideo.
Debes comprender que no es posible estudiar este caso con la relatividad especial, no te encapriches. Debes comprender que partes de una hipotesis falsa, es como decir: Voy a demostar que es posible que 2=4, Entonces pongo de la siguiente hipotesis 1=2, entonces multiplico por 2 en ambos miembros sin alterar la ecuación obtengo 2=4. cqd. Eso es FALSO porque partí de una falsedad.
Tu haces lo mismo! Entiendes?
Recurda: "De hombres es equivocarse; de locos persistir en el error." Marco Tulio Cicerón.
Bueno de todos modos te felicito por tratar estos temas y pensar.
Saludos.

Realmente alucinante.. Me habeis dejao asombrado. ...

2006-11-15T18:39:00.000+01:00

Realmente alucinante.. Me habeis dejao asombrado. Un trabajo realmente excelente. Muchas gracias por intentar ilustrarnos con vuestros conocimientos. En serio... me quito el sombrero...

De acuerdo, gracias mil por las
conclusiones. ...

2006-08-20T13:13:00.000+02:00

De acuerdo, gracias mil por las
conclusiones. Si una cosa me ha quedado clara es que no me habían quedado del todo claras antes de éstos dos últimos mensajes.

Voy atacando el pdf a ver si le puedo sacar un poco mas de jugo

y no me extraña, porque tiene que estar pensand...

2006-08-20T11:50:00.000+02:00
y no me extraña, porque tiene que estar pensando "otra vez no, por favor"

Eso y que apenas he tenido tiempo :-)

A ver Lluis, la idea es calcular el tiempo transcurrido en el viaje, desde ambos puntos de vista. Y creo que has dado con una nueva forma de aclarar un poco las cosas.La clave es "suceso".

La paradoja de los gemelos se basa en que como el movimiento es relativo, cada hermano vería que es su gemelo el que envejece más lentamente que él. Pero hay que tener en cuenta que entre los efectos de la RE, no sólo está la dilatación temporal, sino la relatividad de la simultaneidad. Así, el suceso "llegada al otro planeta" y el suceso "el reloj A marca X", pueden ser simultaneos para uno y no para otro.

In I Go ha hecho un buen resumen. Aunque hay que decir, que después de leer el PDF del enlace que nos ha dado Maelstrom, parece que sí se puede aplicar la RE a movimientos no uniformes, con cuidado y teniendo claro lo que se hace. En uno de los capítulos el autor explica básicamente, que en el caso de un movimiento acelerado, pordemos hacer un cálculo para cada instante de tiempo, considerando un sistema de referencia inercial, que en ese instante coincide con la posición y velocidad de la nave. Así que a lo mejor sí se puede resolver dentro de la RE. Pero que lo haga otro :-)

AL final de todo este follón, me he quedado con la idea de la relatividad de la simultaneidad. Creo que la comprensión de todo este asunto pasa por ahí.

Lluís, ya que Alf parece no contestar, y no me ext...

2006-08-19T11:10:00.000+02:00
Lluís, ya que Alf parece no contestar, y no me extraña, porque tiene que estar pensando "otra vez no, por favor", te resumo las conclusiones a la que, creo, se han llegado:

- La paradoja de los (las) gemelos (gemelas) (me ha dado el momento PC) no se puede resolver sólo con la Relatividad Especial, porque hay que considerar las aceleraciones y deceleraciones.

- La paradoja de los gemelos (ya se me ha pasado) se resuelve con la Relatividad General.

- En el enlace que facilitó Maelstrom, aquí, pag. 39 y ss, se explica de modo claro y sencillo el problema.

Y, última, pero no por ello menos importante,

- Si alguien lo ha entendido mejor que yo, que nos lo explique.

'Amos a ver, que vuelvo de las vacaciones y me enc...

2006-08-17T10:40:00.000+02:00
'Amos a ver, que vuelvo de las vacaciones y me encuentro todo este lío de gemelos, tiempos y espacios que han trastocado mis olvidados conocimientos sobre el tema. Pero siempre está bien volver a pensar en ello y refrescar las neuronas.

No sé si estoy predicando en el desierto pero ahi va mi pregunta por si acaso hay alguien al otro lado:
Por lo que yo veo, en el artículo se presenta el problema únicamente de UN suceso el envejecimiento del hermano del cohete, es decir solo estudiamos X'=0 en todo momento. El tiempo transcurrido en S es aquí mayor.

Tengo entendido que la paradoja está en cuando estudiamos el problema desde el suceso del envejecimiento del hermano en la tierra. En éste caso siempre estamos el suceso en X=0. Y aquí, estudiandolo desde S y desde S' siempre vemos que el tiempo es mayor en S'.

Me explico? Me estoy confundiendo en el planteamiento? Alf, ayuda please.

Joder, en 3T/8+k*T/2!!!

2006-08-11T22:04:00.000+02:00
Joder, en 3T/8+k*T/2!!!

Ops mierda, el primer maximo alejamiento es en el ...

2006-08-11T22:02:00.000+02:00
Ops mierda, el primer maximo alejamiento es en el maximo de la funcion f(x)=sin(x)-cos(x) que es f'(x)=cosx+senx=0, luego cosx=-senx, y su máximo estará en x=2pi/4 + 2pi/8. Luego los máximos están situados en 3T/4 + k*T/2.

Buff alf es que comparar los tiempos relativos de ...

2006-08-11T21:40:00.000+02:00
Buff alf es que comparar los tiempos relativos de dos osciladores armónicos con un desfase de pi/2 es harto complicado de interpretar "físicamente". En primer lugar la fase de acercamiento se establece en T/8+k*T/2. Y las de máximo alejamiento en k*T/8. Es decir, no hay simetría. Deberías haber tomado x=sin(t) y v=sin(t-T/2), y en este caso que ambas sensaciones inerciales (llámale fuerzas, llámale aceleraciones) se producen simétricamente pero en sentido opuesto (simetría especular), debería darte los mismos resultados. En todo caso, estaríamos hablando de sistemas no inerciales en un universo de sólo dos elementos (sólo DOS elementos, esto es importante). Es decir, la paradoja (la contradicción de los gemelos) se mantendría (creo), ya que la "historia" de aceleraciones y desaceleraciones es la misma.

Alf y Maelstrom, gracias a los dos por el inmenso ...

2006-08-11T10:17:00.000+02:00
Alf y Maelstrom, gracias a los dos por el inmenso esfuerzo que habéis hecho. ¡Ha sido fantástico!

Y lo curioso del caso es que la paradoja de los gemelos se ha transformado, para mí, en otra paradoja: los dos tenéis razón.

Alf, porque el problema no es simétrico, y por tanto no hay paradoja de los gemelos; y Maelstrom, porque la simetría se rompe fuera de la Relatividad Especial.

Ostras, aprecio tu labor de manera sobrehumana (co...

2006-08-11T02:19:00.000+02:00
Ostras, aprecio tu labor de manera sobrehumana (como lo ha sido el esfuerzo que habrás tenido que hacer para escribir todo eso).

Mira, creo que ya se ha resuelto la cuestión y todo. Entre tu labor y este link:

http://www.ugr.es/~jillana/SR/sr.pdf

mis dudas han quedado resueltas. Ves a la página 39 del archivo pdf al que hace referencia dicho link y podrás leer una manera elegantísima de darte a la razón a tí. No he podido hacer otra cosa que rendirme a la evidencia y constatar que, en efecto, se rompe la simetría, pero que es lícito (que es lo importante) que se rompa. Todo, sin usar la Relatividad Especial.

Saludos y envejeciendo, está vez sí,
Maelstrom.

PD: Me voy de vacaciones a Mundo Disco (me llevaré algún libro de Terry Prachett para reirme un poco, pero lloraré si veo que hay una cagada tipográfica en una de sus páginas, estando escrito Mundo Destino en vez de Mundo Disco... o quizás sólo sea que mi mente enferma a causa de esta larguísima discusión ve ese error cuando en realidad no existe).

Espero llegar antes de que te vayas de vacaciones ...

2006-08-10T16:35:00.000+02:00
Espero llegar antes de que te vayas de vacaciones :-)

¿Pero ves el error en la página hawaiiana y en tu envío fechado en Martes 08 de Agosto, o no?

Pues no. No hay ningún error. Te explico:

Ahí está el error, ahí está la rotura de la simetría. No puede ser que la incógnita sea la misma cuando lo estamos mirando simétricamente. Lo que debería plantearse es, si en la primera opción la incógnita del tiempo es la variable temporal en la nave, en la segunda opción, la incógnita debería ser el tiempo transcurrido en MD,¡no otra vez en la nave! Ahora es S' (Tierra-MD) el que se mueve, nosotros, en la nave, conocemos el tiempo que transcurre en ella, es el tiempo en T-MD el que no conocemos.

Si te fijas bien en el desarrollo de las ecuaciones, es irrelevante cuál es la incógnita. Lo que se hace es buscar una relación entre (t2-t1) y (t2'-t1'). El conocimiento que tengamos o no de uno de esos dos valores es irrelevante, pues no se aplica en el desarrollo. Lo importante es que se aplica exactamente la misma ecuación, pero al revés, como es lógico. Es decir, siempre se plantea como (t2'-t1')=(retahila-de-cosas), siendo (t2'-t1') el intervalo de tiempo en el sistema móvil (yo en cambio, para evitar líos, he mantenido los nombres al cambiar el planteamiento, pero el resultado es el mismo). La única sustitución que realizamos, ya que es un dato seguro e irrefutable, es el de (x2-x1)=0 en el sistema de la nave. Y digo que es seguro e irrefutable porque así hemos definido el sistema de referencia de la nave.

Si quieres, borra de tu mente el dibujo en el que aparece la ? en t2 cuando consideramos que es la Tierra la que se mueve. Sustitúyelo si quieres por un dibujo en el que la ? aparece en t2'. El resultado es el mismo. En ningún punto del desarrollo se aprovecha ningún conocimiento sobre t2'-t1'. En ningún momento se hace una sustitución. Es decir, podemos considerar que ambos tiempos son incógnitas, ya que lo único que pretendemos es buscar una función que relacionen los tiempos de ambos sistemas. Nos da igual sus valores concretos.

La simetría se rompe (como dijo In I Go) por considerar 2 puntos en un sistema y 1 sólo en otro. No por errores (o descuidos) en el desarrollo.

El escenario con dos naves sí es simétrico, y no parece resolver la paradoja. Pero creo que eso es por una mala comprensión de todas las consecuencias de la Relatividad Especial. El tiempo no sólo depende de la velocidad, sino de la distancia, y eso nunca se tiene en cuenta en los planteamientos.

Buff no sé si te he entendido del todo, pero creo que lo que me estás diciendo es que si, por ejemplo, tomamos el primer caso que es el del punto de vista "los planetas se mueven con respecto la nave", entonces en la nave B, que es la que está más lejos de la Tierra (T), el tiempo transcurre más lentamente que en A. En definitiva, que el tiempo también depende de la distancia con respecto a T a la que se encuentre el objeto que se mueve a velocidades cercanas a la de la luz. Perdona, pero ¿¿¿ein???

No exactamente, pero casi :-) Desde el punto de vista de las naves (S'), el tiempo transcurre igual en ambas. Si hubieran sincronizado sus relojes, seguirían sincronizados durante todo el viaje. Pero desde el punto de vista de los planetas (S), el tiempo transcurre de forma distinta en la nave A y en la nave B. Es decir, verían que sus relojes no están sincronizados. Uno de ellos atrasaría respecto al otro.

Aunque me he dado cuenta de que eso tampoco es exacto. He calculado los tiempos en las distintas naves, para distintos instantes de tiempo, partiendo de las coordenadas de S y utilizando la transformación de Lorentz. He empezado con t=-2 (dos años antes de que la nave A llegua al la Tierra) y he terminado con t=6 (dos años después de la que la nave A llegue a MD). He utilizado un intervalo de 1. El resultado ha sido el siguiente:

t       xA      tA'     xB      tB'
-2.0    -1,6    -1,2    -4      2
-1.0    -0,8    -0,6    -3,2    2,6
0.0     0       0       -2,4    3,2
1.0     0,8     0,6     -1,6    3,8
2.0     1,6     1,2     -0,8    4,4
3.0     2,4     1,8     0       5
4.0     3,2     2,4     0,8     5,6
5.0     4       3       1,6     6,2
6.0     4,8     3,6     2,4     6,8

Veamos. Por cada año que pasa en la Tierra, pasan 0.6 años en la nave A, y 0,6 años en la nave B. Pero la nave B tiene un adelanto de 3,2 años respecto a A. Es decir, parece que antes me precipité al afirmar que el tiempo transcurría de forma diferente en ambas naves. Transcurre igual, pero hay un retraso permanente de una con respecto a la otra.

Pero eso es sólo desde la perspectiva de la Tierra. Desde la perspectiva de las naves, puesto que ambas están en reposo una respecto de la otra, el tiempo está sincronizado entre ellas. Imaginemos que entre ambas naves se ponen de acuerdo para lanzar una salva simultáneamente en un momento dado (para celebrar lo que sea). Si se sincronizan bien, desde la perspectiva de las naves, los disparos se producirán a la vez. Pero un observador desde la Tierra verá que la nave B lanza una salva, y 3,2 años después lo hace la nave A.

Hay un ejemplo muy utilizado (pero no tan conocido como lo de los gemelos) para ilustrar esto. Imaginemos un tren viajando a una velocidad cercana a la de la luz (¡vaya tren!). Se desata una tormenta y comienzan a caer rayos. Un observador situado en tierra firme ve de pronto como caen dos rayos simultáneamente sobre el tren, uno en la parte delantera y otro en la cola (vaya vista, para seguir al tren). Un pasajero del tren, en cambio, verá que primero cae un rayo en la parte delantera, y después cae otro en la cola.

La simultaneidad es relativa.

Por otra parte, las conclusiones que sacas me resultan un poco críptico. Al final no sé si te has convencido de lo que te decía (que la manera de resolver el problema que tú y la página hawaiina habéis empleado es incorrecta, y que, como yo planteo, no hay manera posible desde la R.Especial de resolverla) o no.

Creo que el planteamiento y el desarrollo posterior, tanto en la página hawaiiana como en el post son correctos, pero que no sirven para resolver la paradoja. Y ya expliqué el porqué. Tiempo que tarda la nave en recorrer la distancia de la Tierra a Mundo Destino: para la Tierra son 5 años, para la nave 3, es decir, el tiempo en la nave transcurre más despacio. Pero (y es un gran pero); tiempo que tarda la Tierra en recorrer la distancia entre la nave A y la nave B: para la Tierra son 3 años, para la nave 5, es decir, el tiempo en la Tierra transcurre más despacio.

¿Paradoja? Creo que no, y que la solución pasa por comprender bien la relatividad de la simultaneidad, o dicho de otra manera, que varios eventos pueden ocurrir en distinto orden dependiendo del observador.

Respecto al ejemplo de los satélites, hay varios errores de planteamiento y razonamiento.

1: Un sistema de referencia que se mueva junto con el satélite, no sería inercial. Está sometido a aceleraciones, pues traza una curva cerrada. No estoy seguro de que se pueda aplicar todo lo anterior en este caso.

2: Si suponemos una órbita circular (por simplificar un poco) La velocidad de los satélites es constante en módulo respecto a la Tierra. Pero no en dirección (ovbiamente). Más importante, la velocidad relativa entre satélites no es constante. De hecho, en ocasiones es cero (y en ese momento el tiempo transcurre igual en ambos). Supongamos que el radio de la órbita es R, utilicemos un sistema de coordenadas X,Y centrado en el centro de la órbita, y supongamos que uno de los cruces se produce en X=0, e Y=R. Los satélites se alejarán entre sí, y a la vez "bajarán" por el eje Y, al mismo ritmo. Es decir la coordenada Y de ambos satélites es idéntica en todo momento (pues sus órbitas son iguales). Por tanto, su desplazamiento relativo en Y es nulo. Solo debemos considerar su desplazamiento en X. Y si la órbita es circular, ese desplazamiento sigue una oscilación armónica simple, un movimiento senoidal. Y la velocidad, sigue la misma variación, pero con un desfase de PI/2. Si X varía como un seno, la velocidad lo hace como un coseno. Los satélites se cruzan en su momento de máxima velocidad relativa. Y en su máximo alejamiento (en extremos diametralmente ouestos de la Tierra), su velocidad relativa es cero. La velocidad varía constantemente (y se hace nula en determinados momentos). El factor de Lorentz varía constantemente (y se hace 1 en determinados momentos). La dilatación temporal varía constantemente. Bajo este punto de vista, tampoco creo que se pueda aplicar tan alegremente la RE.

3: "Y no es posible que cada uno observe que las lecturas del otro están atrasadas con respecto a las propias, pues ambos relojes coinciden en espacio y tiempo."

No coinciden en el tiempo. Cada satélite tendrá su propia coordenada t, y será diferente a la del otro.

4: "Resumiendo: Cada reloj debe atrasar con respecto al otro pues no hay gemelo "preferencial". Y sin embargo la lectura directa impide que ambos vean simultáneamente que el reloj del otro atrasa."

De premisas incorrectas, lógicamente se extrae una conclusión incorrecta. ¿Qué impide que cada uno vea que el reloj del otro atrasa? Nada lo impide. Los satélites están en movimiento relativo, uno respecto al otro, en el momento del cruce (además, es el momento de máxima velocidad relativa). Uno puede ver que el reloj del otro atrasa. ¿Por qué no? recuerda la relatividad de la simultaneidad y el ejemplo del tren relativista.

Voy a intentar explicarlo en detalle:

Imaginemos que desde el punto de vista del satélite 1, el cruce se produce a las 3:00 horas. En ese momento mira el reloj de su compañero (que es muy grande y se puede ver a través de un ventanuco), y ve que marca 2:55. Con el otro astronauta pasa exactamente lo mismo. Ve cómo el cruce se produce a las 3:00 según su reloj, y a las 2:55 según el del otro. Pero podemos verlo como una consecuencia de la relatividad de la simultaneidad. El evento "reloj satélite 1 marca las 3:00" y el evento "cruce entre satélites" es simultáneo en el satélite 1, pero no en el 2. Para el satélite 2 estos eventos tienen 5 minutos de diferencia. Y al revés sucede lo mismo.

Supongamos, para verlo más fácil y buscar una analogía con el tren y los rayos, que los astronautas convienen en que cuando se produzca el cada cruce, se asomarán a un ventanuco y harán burla al otro (sacando la lengua, guiñando un ojo y agitando las manos). El astronauta 1 lo hace, pero ve que su compañero está haciando otra cosa (leyendo, comprobando el instrumental), y pensará, "este tío está tonto ¿no habíamos quedado en hacernos burla?". Pero 5 minutos después, cuando los satélites se han alejado, verá (si puede) que su compañero se asoma y hace burla. Y pensará "qué despistado, lo ha hecho después del cruce, y está haciando burla a la nada". Pero al astronauta 2 le ocurrirá exactamente lo mismo. Para él, será el astronauta 1 el que se ha retrasado con la mueca. Los eventos "astronauta 1 hace burla" y "cruce" son simultáneos para 1, pero no para 2. Y los eventos "astronauta 2 hace burla" y "cruce" son simultáneos en 2 y no en 1. Y para la estación terrestre, los tres eventos serán simultáneos.

Sé que es muy difícil de entender. A mí también me cuesta. Pero pensado en estos términos no hay paradoja.

¿Y qué pasa cuando regresan a la Tierra? Pues si lo hacen a la vez, descubrirán que sus relojes están sincronizados entre sí, y retrasados con respecto al de la estación terrestre. ¿Cómo? Pues me imagino (y aquí ya sólo estoy suponiendo) que cada astronauta verá cómo el reloj del otro acelera repentinamente hasta igualarse con el suyo en el momento en el que aterrizan. Pero no sé si a ese resultado se puede llegar matemáticamente utilizando únicamente la Relatividad Especial, o hay que emplear la General.

He hecho un experimento utilizando un programita para hacer gráficas (en realidad es una librería, y he reutilizado un programa que me hice hace mucho tiempo; ventajas de ser programador), y he utilizado la transformación de Lorentz para calcular las coordenadas x,t del segundo satélite a partir de las del primero, utilizando un movimiento senoidal (x=sen(t) y v=cos(t)). Lógicamente, como hay aceleraciones, no estoy seguro de que los resultados obtenidos sean correctos (ni siquiera sé si tienen sentido), pero son curiosos: Consideremos que estamos en el satñelite 1. Partiendo de un cruce, el tiempo del satélite 2 se ralentiza con respecto a nosotros, pero tras algo menos de 1/8 de periodo, el tiempo de dicho satélite se acelera y va más rápido, de forma que justo en 1/4 de periodo (es decir, velocidad nula y máximo alejamiento) nos "alcanza" y ambos tiempos son iguales. Tenemos los relojes sincronizados. Después, sigue yendo más rápido el de 2, hasta que poco después de 3/8 de periodo comienza a ralentizarse de nuevo. En el siguente cruce (1/2 de periodo), aunque el reloj de 2 va más despacio que el nuestro, aún va un poco por delante, de forma que marca una hora más adelantada. Poco después nuestro reloj "alcanza" al otro y lo adelanta. Poco antes de 5/8 de periodo sucede otra vez lo de antes. El reloj 2 comienza a acelerar, y en 3/4 de periodo (otra vez máximo alejamiento y velocidad nula) volvemos a estar sincronizados. El reloj 2 sigue acelerando hasta algo después de 7/8 de periodo, momento en el que vuelve a ralentizarse. Al terminar el primer periodo (volvemos al punto de partida), nos cruzamos con 2, y aunque en él el tiempo va más lento, su reloj todavía marca un tiempo superior al nuestro. Debe transcurrir algo de tiempo para que le rebasemos y lo dejemos atrás. Todo esto se repita indefinidamente, pero con una variación curiosa. En cada ciclo, el reloj de 2 cambia de "más lento que nosotros" a "más rápido que nosotros" antes que en el ciclo anterior, y cambia de "más rápido que nosotros" a "más lento que nosotros" después que en el ciclo anterior. Además, la aceleración es cada vez más "suave" y la ralentización más "brusca", de forma que la gráfica tiene forma de onda en la que las "subidas" son cada vez más suaves y las "bajadas" cada vez más pendientes.

En fin, como he dicho antes, puede que esas gráficas no signifiquen nada, ya que los sistemas no son inerciales. Además, parecen que la ralentización o aceleración del tiempo depende de si nos acercamos o nos alejamos (?), y muestran que en los cruces veremos el reloj del otro adelantado, en vez de retrasado (?). Así que no me hagas mucho caso. Pero si tienes curiosodad, te las mando por email.

Yo también he pasado alguna noche dándole vueltas como un loco. No te comas el tarro en las vacaciones, y disfrútalas :-) ¿Quién sabe? A lo mejor sufres lo que Asimov llamó en un ensayo, el "efecto Eureka", y de pronto ves una solución al pensar en otra cosa. Dice la leyenda que el químico alemán Friedrich August Kekulé von Stradonitz, que se pasó años intentando deducir la estructura del benceno, cuya fórmula química C6H6 se conocía, pero que no encontraba forma de distribuir los átomos de carbono e hidrógeno y cuadrar las valencias. Una noche soñó con una serpiente que se mordía la cola (versión Wikipedia; según Asimov, vio un collar o algo así al subir a un autubús), y entonces le vino la inspiración: una cadena cerrada. Y efectivamente, la molécula de benceno es una cadena circular (hexagonal más bien) cerrada, de 6 carbonos, cada uno con 1 hidrógeno.

Pero sobre todo, no pienses en relojes y naves espaciales mientras tomas el sol :-)

¡Buf! creo que he batido el record de comentario más largo.

¿Pero ves el error en la página hawaiiana y en tu ...

2006-08-10T03:15:00.000+02:00
¿Pero ves el error en la página hawaiiana y en tu envío fechado en Martes 08 de Agosto, o no?

Es que para mí está clarísimo, fíjate en cuando tratan de resolver el problema desde el punto de vista de la nave en la que está Jill y en la que son los planetas esta vez los que se mueven. En el dibujo, en la situación en la que "Earth coincides with Jill", se nos describe la siguiente situación:

Se ve el sistema S que contiene a la nave de Jill justo encima del planeta Mundo Destino (llamésmole así también) del sistema S'. En ambos sistemas hay las siguientes anotaciones: en S tenemos x2 y un t2 con un interrogante; en S' (mejor dicho en MD) tenemos anotado x2' y un t2' que conocemos. Vale, ahora ve más arriba en la página y sitúate en el dibujo que planteaba la primera opción, la de que era la nave la que se movía. Veamos las anotaciones en el dibujo de cuando "Jill coincides with the distant planet": tenemos que en MD (en S ahora) conocemos x2 y t2, mientras que en la nave (S') tenemos x2' y t2' con ¡un interrogante, es decir que no lo conocemos!

Ahí está el error, ahí está la rotura de la simetría. No puede ser que la incógnita sea la misma cuando lo estamos mirando simétricamente. Lo que debería plantearse es, si en la primera opción la incógnita del tiempo es la variable temporal en la nave, en la segunda opción, la incógnita debería ser el tiempo transcurrido en MD,¡no otra vez en la nave! Ahora es S' (Tierra-MD) el que se mueve, nosotros, en la nave, conocemos el tiempo que transcurre en ella, es el tiempo en T-MD el que no conocemos.

Saludos desde la nave de jill envejeciendo respecto a tí y no envejeciendo respecto a mí.

Por otra parte, como mal de muchos consuelo de ton...

2006-08-10T01:41:00.000+02:00
Por otra parte, como mal de muchos consuelo de tontos, yo quiero que tú también te vuelvas loco (si no tanto como yo, sí al menos un poquito). Pues resulta que durante esta discusión también busqué páginas que respaldaran lo que vengo diciendo, y en http://www.geocities.com/newmodel2k/Gemelos.htm

me encontré lo siguiente:
"Ejemplo 2: Una variante muy simple del caso anterior. Se comprobó el atraso de los relojes en movimiento mediante relojes en orbita, con respecto a relojes fijos a la tierra. OK. Pero que pasa si se ponen en orbita dos astronautas con relojes idénticos, empleando órbitas con giros opuestos alrededor de la tierra (por todo lo demás las orbitas serían idénticas). Bien, los dos relojes deben atrasar con respecto al reloj estacionario. Y deben atrasar lo mismo porque el fenómeno no puede depender de si el giro es en el sentido de las agujas del reloj o el contrario. Sin embargo, de acuerdo a la relatividad especial uno debe atrasar con respecto al otro debido a la traslación relativa. Einstein mismo aceptó durante el desarrollo de la teoría general, que, en primera aproximación la relatividad especial trabaja en sistemas sometidos a campos gravitatorios leves. De todos modos el problema es solo cualitativo. Los dos relojes están sometidos al mismo movimiento, pero se desplazan entre si. Según la RE cada uno debería observar que el otro atrasa. Pregunta: qué pasa cuando, completando cada giro, se enfrentan?. En ese caso la lectura de los relojes se hace en forma simultánea (a través de las escotillas enfrentadas). Y no es posible que cada uno observe que las lecturas del otro están atrasadas con respecto a las propias, pues ambos relojes coinciden en espacio y tiempo.

Resumiendo: Cada reloj debe atrasar con respecto al otro pues no hay gemelo "preferencial". Y sin embargo la lectura directa impide que ambos vean simultáneamente que el reloj del otro atrasa.

Consecuencia: !Paradoja!."

Es decir, no ya la paradoja de los gemelos es irresoluble cuando ésta es planteada para ejemplificar los efectos de las velocidades cercanas a la de la luz con respecto a la dilatación del tiempo, sino que hay otras paradojas de gemelos que usan el conocido efecto de contracción del tiempo debido a la gravedad que también son irresolubles.

Saludos de nuevo.

PD: Las vacaciones creo que me las voy a pasar en el manicomio.

"Creo que el problema reside en que no nos hemos d...

2006-08-10T01:30:00.000+02:00
"Creo que el problema reside en que no nos hemos detenido a pensar en las implicaciones de la siguiente ecuación:

t' = Y(t - vx/c^2)

Fíjate que t' no depende sólo de la velocidad relativa y del tiempo en el otro sistema. También depende de la coordenada X en el otro sistema. Es decir, dos eventos que sucedan en S(x1,t) y S(x2,t), son simultáneos en S (usamos el mismo t), pero no en S', ya que al ser x1 y x2 diferentes, a igualdad del resto de términos, t1' y t2' serán diferentes. Es decir, no sólo es que el tiempo transcurra a "diferente ritmo" dependiendo de la velocidad del observador, algo que más o menos podemos entender, sino que transcurre de forma diferente dependiendo también de la distancia. Es decir, para un observador de la Tierra, el tiempo transcurre de forma diferente en la nave A y en la nave B, ya que se mueven y además están a una distancia diferente. O dicho de otra manera, debemos olvidar la idea de que el tiempo transcurre más despacio en el sistema de referencia móvil, en el sentido de que transcurre igual de despacio en todo S'. El transcurso del tiempo depende de la velocidad y la distancia."

Buff no sé si te he entendido del todo, pero creo que lo que me estás diciendo es que si, por ejemplo, tomamos el primer caso que es el del punto de vista "los planetas se mueven con respecto la nave", entonces en la nave B, que es la que está más lejos de la Tierra (T), el tiempo transcurre más lentamente que en A. En definitiva, que el tiempo también depende de la distancia con respecto a T a la que se encuentre el objeto que se mueve a velocidades cercanas a la de la luz. Perdona, pero ¿¿¿ein???

Por favor, corrígeme si te he entendido mal.

Por otra parte, las conclusiones que sacas me resultan un poco críptico. Al final no sé si te has convencido de lo que te decía (que la manera de resolver el problema que tú y la página hawaiina habéis empleado es incorrecta, y que, como yo planteo, no hay manera posible desde la R.Especial de resolverla) o no.

Responde lo más pronto que puedas si es posible, porque dentro de dos días me voy de vacaciones y no quiero volverme loco pensando, cuando debería estar haciendo el perro, jeje.

Saludos eternamente concentrados.

y otra cosa k me e perdido: La velocidad de la ...

2006-08-10T00:20:00.000+02:00
y otra cosa k me e perdido: La velocidad de la luz es siempre la misma.
comor?
e leido el experimento del eter y no encuentro lo k tiene k ver...

Con tanto filosofar, se me había olvidado contestar a esto. La velocidad de la luz en el vacío (importante, en el vacío) es constante, independentemente del observador. Es uno de los pilares de la Relatividad, y un poco el culpable de todo esto de la deformación del espacio y en el tiempo.

Lo del experimento es simple. Si la velocidad de la luz no fuera constante, es decir, si fuera con respecto a "algo" absoluto (que llamaremos éter), entonces en la Tierra, dependiendo de en qué dirección lancemos un haz de luz y midamos su velocidad, obtendremos valres distintos. Si lo hacemos "a favor" del movimiento terrestre, obtendríamos un valor inferior a si lo hiciésemos "en contra".

pero el experimento dio idénticos valores (bueno, en realidad era algo más complicado, ya que no midieron directamente la velocidad de propagación, pero lo que importa es el resultado). Así que la velocidad de la luz es constante, independientemente de la velocidad del observador. ¿Estas en reposo? Para tí la velocidad de la luz es c. ¿Viajas a 0,8 c? No importa, para tí, la velocidad de la luz seguirá siendo c.

se rompe al olvidar el dato que nos proporciona...

2006-08-09T20:31:00.000+02:00
se rompe al olvidar el dato que nos proporciona ese S'(0,t') que es el 0 que hay dentro de los paréntesis y que nos está diciendo que x2'-x1'=0, que es lo que verdaderamente hay que sustituir

A ver, a ver, que ya veo por qué no acabamos de entendernos. Estamos hablando de cosas distintas. En la web hawaiiana, establecen el sistema S como en reposo con respecto a los planetas, y el sistema S' como en reposo con respecto a la nave. Y ya está. No especifican que la Tierra esté en x=0, ni que la nave esté en x'=0. Por eso, utilican x1 y x2 para representar dos puntos cualesquiera. En el caso de S1, las coordenadas x' de la nave no varían, por lo que su diferencia siempre será cero. Tampoco especifican que el origen de tiempos coincida con la "partida" de la nave.

Para simplificar un poco las matemáticas y no asustar a los que no se sientan cómodos con las ecuaciones (y porque me gusta aportar algo, y no limitarme a hacer copy&paste), he definido el sistema S como centrado en la Tierra. Es decir, en S, la Tierra siempre estará en x=0, por definición. Además, he definido el sistema S' como centrado en la nave. Es decir, en S', la nave siempre estará en x'=0, por definición. He hecho lo mismo con el tiempo, de forma que he situado el origen temporal de los dos sistemas en el mismo evento, que coincide con el inicio del experimento. Es decir, la máxima cercanía de la nave y la Tierra se produce en t=0 y en t'=0, por definición. Olvída lo que pone la web hawaiiana.

Dices que si aplicamos exactamente las mismas ecuaciones sobre los mismos datos, deberíamos eobtener idénticos resultados. Pero es que los datos no son exactamente los mismos. Con el evento "nave en la Tierra" (así evitamos problemas de lenguaje sobre quién se mueve) no hay problema. En ambos sistemas el evento existe en las mismas coordenadas. S(0,0) y S'(0,0). Pero con el evento "nave en MD" no. En S, ese evento sucede en S(d,t), ya que la nave está a una distancia d del origen (que es la Tierra). Y en S', el mismo evento sucede en S'(0,t'), ya que la nave coincide con el origen. Recuerda: el origen de S' está en la nave, por definición. Y ahí se produce la asimetría, ya que en la ecuación

t = Y(t' - vx'/c^2)

si x'=0, nos cargamos de un plumazo el segundo sumando del paréntesis, y nos queda t=Y·t', y como Y>1, t'<t.

Pero claro, la solución se debe a una asimetría. En el último escenario que he propuesto, la simetría es total, aunque no debo haberlo explicado bien, porque cuando dices

No, como son ahora los planetas los que se mueven, la nave B está 2,4 años luz por detrás, no 4.

es que no ha quedado claro que la distancia entre las naves A y B es de 4 años luz en S', también por definición. Buscamos una simertría total, por lo que si la distancia entre la Tierra y MD es de 4 años luz en S, la distancia entre las naves en S' debe ser de 4 años luz también. Así, en S, como lo que se mueven son las naves, la distancia entre ellas se contrae por el factor de Lorentz, y es de 2,4 años luz. Y en S', como lo que se mueven son los planetas, la distancia entre ellos se contrae también a 2,4.

La simetría es total. En S, los planetas están separados 4 años luz, y las naves 2,4. En S', las naves están separadas 4 años luz, y los planetas 2,4. Y precisamente por ser el problema simétrico, la separación temporal entre los eventos "nave A en Tierra" y "nave A en MD" es de 5 años en S y de 3 en S', y la separación temporal de los eventos "nave A en Tierra" y "nave B en Tierra" es de 3 años en S y de 5 años en S'.

Y precisamente por ser simétrico, no parece resolver la paradoja :-( Podemos pensar que como la separación de los eventos "nave en Tierra" y "nave en MD" es de 5 años en S y de 3 en S', el tiempo transurre más lentamente en S' (la nave). Pero también podemos razonar que como la separación de los eventos "nave A en Tierra" y "nave B en Tierra" es de 3 años en S y de 5 en S', el tiempo transcurre más lentamente en S (la Tierra). ¿Paradoja?

Creo que el problema reside en que no nos hemos detenido a pensar en las implicaciones de la siguiente ecuación:

t' = Y(t - vx/c^2)

Fíjate que t' no depende sólo de la velocidad relativa y del tiempo en el otro sistema. También depende de la coordenada X en el otro sistema. Es decir, dos eventos que sucedan en S(x1,t) y S(x2,t), son simultáneos en S (usamos el mismo t), pero no en S', ya que al ser x1 y x2 diferentes, a igualdad del resto de términos, t1' y t2' serán diferentes. Es decir, no sólo es que el tiempo transcurra a "diferente ritmo" dependiendo de la velocidad del observador, algo que más o menos podemos entender, sino que transcurre de forma diferente dependiendo también de la distancia. Es decir, para un observador de la Tierra, el tiempo transcurre de forma diferente en la nave A y en la nave B, ya que se mueven y además están a una distancia diferente. O dicho de otra manera, debemos olvidar la idea de que el tiempo transcurre más despacio en el sistema de referencia móvil, en el sentido de que transcurre igual de despacio en todo S'. El transcurso del tiempo depende de la velocidad y la distancia.

Entonces ¿hay paradoja? No puedo respaldarlo con matemáticas (no las conozco), pero debe ser como has dicho en algún momento, que para resolverla debe romperse la simetría con alguna aceleración y deceleración, y meternos en la Relatividad General. Después de todo, la paradoja se produciría cuando ambos observadores (gemelos o no), se encuentran de nuevo (alguno tiene que dar la vuelta), y además igualan sus velocidades (es decir, se quedan en reposo uno con respocto del otro, y si queremos, pues hasta se abrazan y todo) y comprueban quién es el más viejo.

Gracias a tí, Alf, por el inmenso esfuerzo que has...

2006-08-09T13:39:00.000+02:00
Gracias a tí, Alf, por el inmenso esfuerzo que has hecho. Pero tengo un mosca detrás de la oreja que está diciendo que Maelstrom tiene algo de razón.

Pero, si nos olvidamos por un momento que estamos en un caso teórico, y le aplicamos un poco de realidad, a la nave (o naves) habrá que aplicarle una fuerza exterior para mantener su velocidad, aunque sólo sea por la transformación de la energía cinética en calor, gracias a la 2ª Ley de la Termodinámica, ya que el vacío absoluto no existe. Esto, en principio, no le ocurre a la Tierra ni al Mundo Destino. Por lo tanto tenemos una diferencia, que nos dice que la que se mueve es la nave. El problema es, por tanto, asimétrico, aunque ya sé que me he salido de la Relatividad Especial y me he metido en la General.

Así como en Geometría se utiliza, gracias a la suma de pequeños errores, el Teorema del Punto Gordo (por un punto pasan todas las rectas que haga falta siempre éste sea suficientemente gordo), se me ha ocurrido que paro solucionar este pequeño error de la Relatividad Especial podríamos aplicar el Teorema del Punto Macizo, que dice así:"Todo punto, y el sistema de referencia en el que se inserte, podrá moverse a la velocidad que le venga en gana (siempre que no supere c), mientras no sea excesivamente macizo". :-)

Lo cual, a su vez, me lleva a decir que la teoria ...

2006-08-09T03:05:00.000+02:00
Lo cual, a su vez, me lleva a decir que la teoria especial de la relatividad es errónea o almenos se cumplen algunas de sus peculiaridades pero no todas. Suena fuerte, pero si no es así, no le encuentro ya ninguna explicación a este entresijo.

"Resultado: Cada nave tarda 3 años en recorrer la ...

2006-08-09T03:02:00.000+02:00
"Resultado: Cada nave tarda 3 años en recorrer la distancia entre la Tierra y Mundo Destino (o mejor dicho, en que Mundo Destino se acerque a elas). El intervalo entre pasadas en cada planeta es de 5 años."

No. Mundo Destino recorre, como tú dices entreparéntesis, la distancia que le separa de la nave A en 3 años (ya que la distancia que media entre MD y A -que es donde está la Tierra al inicio del viaje- es de 2,4 años luz; pero no digas que el intervalo entre pasadas en cada planeta es de 5 años, porque no es el intervalo de pasadas en cada PLANETA, es en cada NAVE. Así, cuando MD llega a A (en reposo respecto al sistema inercial que contiene a T y a MD) han pasado 3 años para el reloj en MD. Cuando MD está en A, a T le faltan 1.6 años para llegar a B, distancia que recorrerá en 1.6/0.8=2 años. Dicho de otro modo, supongamos que justo cuando T sale de A, ponemos en marcha un reloj en B. Entonces T llegará a B en 3+2=5 años o en 4/0.8=5 años. Es decir, en B (una de las naves) el tiempo transcurre más rápido que en T (la Tierra).

QUOD ERAT DEMONSTRANDUM.

Susensio, imagina una nave espacial llamada Tierra...

2006-08-09T02:30:00.000+02:00
Susensio, imagina una nave espacial llamada Tierra que se desplaza hasta un planeta llamado Nave y así al menos comprenderás mis soluciones.

Comments on MalaCiencia: La paradoja de los gemelos: Un poco de matemáticas...

Bueno, dado que estos post sobre "La paradoja...

Sigo leyendo :-)Mmmm... no acabo de ver có...

Hola. Espero que sigas leyendo esto después de más...

Esto... ¿has leído bien el artículo y los comentar...

Querido amigo.. veo que haz hecho un buen esfuerzo...

Realmente alucinante.. Me habeis dejao asombrado. ...

De acuerdo, gracias mil por las conclusiones. ...

y no me extraña, porque tiene que estar pensand...

Lluís, ya que Alf parece no contestar, y no me ext...

'Amos a ver, que vuelvo de las vacaciones y me enc...

Joder, en 3T/8+k*T/2!!!

Ops mierda, el primer maximo alejamiento es en el ...

Buff alf es que comparar los tiempos relativos de ...

Alf y Maelstrom, gracias a los dos por el inmenso ...

Ostras, aprecio tu labor de manera sobrehumana (co...

Espero llegar antes de que te vayas de vacaciones ...

¿Pero ves el error en la página hawaiiana y en tu ...

Por otra parte, como mal de muchos consuelo de ton...

"Creo que el problema reside en que no nos hemos d...

y otra cosa k me e perdido: La velocidad de la ...

se rompe al olvidar el dato que nos proporciona...

Gracias a tí, Alf, por el inmenso esfuerzo que has...

Lo cual, a su vez, me lleva a decir que la teoria ...

"Resultado: Cada nave tarda 3 años en recorrer la ...

Susensio, imagina una nave espacial llamada Tierra...

Sigo leyendo :-)

Mmmm... no acabo de ver có...

De acuerdo, gracias mil por las
conclusiones. ...