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martes, marzo 28, 2006

El problema de los tres cuerpos

Ojeando la última revista del Círculo de Lectores, me llamó la atención un libro de título La incógnita Newton, y leí el resumen para comprobar si se trataba de otro libro más que se suma a la moda iniciada por El Codigo DaVinci. Decía así:

Cambridge, año 1888. El mundo de la joven maestra Vanessa Duncan sufre una sacudida cuando un profesor de matemáticas de la prestigiosa universidad es hallado muerto de un golpe en la nuca. El profesor Akers se encontraba trabajando en la resolución del problema de los tres cuerpos, un enigma matemático que sir Isaac Newton fue el primero en plantear

Y resulta que el problema de los tres cuerpos no es ningún enigma. Es un problema sin solución analítica, que es algo muy distinto. ¿El qué? Veamos primero en qué consiste el famoso problema.

En el cole nos enseñaron la famosa Ley de Gravitación Universal de Newton, cuya fórmula nos indicaba la fuerza gravitatoria existente entre dos cuerpos: F = G·M·m/r2, donde F es la fuerza, M la masa de uno de los cuerpos, m la masa del otro cuerpo, r la distancia que los separa, y G la constante de gravitación universal. También nos enseñaron que la fuerza aplicada sobre un cuerpo, producía en este una aceleración, dada por la fórmula a=F/m (a es la aceleración, F la fuerza y m la masa). Con estas dos fórmulas, pero expresadas en forma vectorial (la fuerza y la aceleración tienen dirección), es bastante sencillo calcular la trayectoria de un objeto en órbita, conociendo su posición y velocidad en un instante dado.

Pero para ello siempre consideramos que uno de los objetos tiene una masa muy pequeña con respecto al otro. Esto nos vale para satélites artificiales y vehículos espaciales, pero no para sistemas en los que ambos cuerpos tienen masas no demasiado distintas, como una estrella binaria (dos estrellas orbitando una alrededor de la otra). En este último caso, la masa del segundo cuerpo afectará a la trayectoria del primero. Es el llamado problema de los dos cuerpos, y aunque es más complicado, se pueden obtener dos funciones que nos indiquen la posición de cada cuerpo, en función del tiempo.

¿Y qué pasa si en vez de dos cuerpos, tenemos tres? Pues como todos imaginaréis, estamos ante el problema de los tres cuerpos. En este caso, no existe solución analítica, es decir, no podemos encontrar una función para cada cuerpo que nos de su posición en función del tiempo. Pero el que no tenga solución analítica no quiere decir que sea un enigma. Mediante análisis numérico se pueden realizar cálculos suficientemente aproximados sobre la trayectoria de los cuerpos.

¿Solución analítica? ¿Análisis numérico? ¿Qué es todo esto? Veamos un ejemplo sencillo:

Supongamos que queremos saber la posición de un cuerpo en movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado, esto es, con aceleración constante. Conocemos la distancia inicial S0 a nuestro origen de coordenadas, la velocidad inicial V0, y la aceleración a. En el colegio nos enseñaron que la distancia del cuerpo al origen de coordenadas en función del tiempo es S(t) = S0 + V0 · t + (1/2) · a · t2. Esto es una solución analítica. Tenemos una función que nos permite calcular la distancia S para cualquier valor de t (tanto positivo como negativo, es decir, tanto en el futuro como en el pasado).

Imaginemos ahora que desconocemos dicha fórmula, y no sabemos calcularla. ¿Qué haríamos? Bueno, sabemos que la distancia inicial es S0, por lo que en nuestros cálculos deberemos partir de ahí. Sabemos también que la distancia recorrida por un cuerpo a velocidad constante es v·t. Sabemos incluso que la velocidad varía de la forma v=a·t. Pero tenemos el problema de que no sabemos calcular la distancia recorrida en esas circunstancias. Bien, supongamos que calculamos la distancia recorrida en un intervalo de tiempo muy pequeño, de forma que la velocidad apenas varía. Entonces, podemos calcular esa pequeña distancia como v·t. Ya, pero yo quiero calcularla para un intervalo de tiempo más grande. Pues dividimos ese intervalo en otros más pequeños, calculamos la distancia recorrida en cada intervalo (cada uno con velocidad distinta) y lo sumamos todo. El resultado será aproximado, y esa aproximación será mejor cuanto más pequeño sea el intervalo en el que suponemos que la velocidad es constante. Pues bien, a grandes rasgos (y que me perdonen los matemáticos por la simplificación), eso sería el análisis numérico.

El problema de los tres cuerpos no tiene solución analítica, es decir, no podemos obtener una función S(t) que nos diga la posición del objeto en cualquier instante de tiempo. Pero no es un problema irresoluble, ya que podemos atacarlo mediante análisis numérico. Y para eso contamos en la actualidad con una herramienta extraordinaria: el ordenador. Efectivamente, para realizar este tipo de cálculos tenemos que realizar muchas veces la misma operación, pero con distintos valores. Y esto es precisamente lo que mejor se le da a un ordenador (de hecho, podríamos decir que es una de las pocas cosas que sabe hacer).

Así que el problema de los tres cuerpos dista mucho de ser un enigma matemático. Cualquier PC actual tiene potencia más que suficiente para realizar los cálculos necesarios en milésimas de segundo, y pintar una animación en tiempo real, o incluso acelerada, de las trayectorias de los cuerpos. Un ejemplo de ello lo tenemos en esta web, con varios applets que nos pintan diversas trayectorias (hay que tener instalado el plugin de Java en el navegador).

Para no cargar toda al culpa sobre el Círculo de Lectores, hay que decir que el mismo error está presente en otros sitios, como en La Casa del Libro. Supongo que el error original estará en la propia editorial del libro.

21 comentarios:

  1. Yo he leído ese libro y lo recuerdo con cierta frescura, aunque quizá pecase de simpleza. En fin, no sé si lo recomendaría.

    Respecto a la palabra "enigma", ten en cuenta que hablamos de 1888. Por aquel entonces se pretendía encontrar una solución analítica, e incluso había premios para quien lo consiguiera, por lo que no me parece del todo incorrecta esa palabra.

    Es como hablar del "enigma" de la forma de la Tierra, si situamos la acción de nuestra novela en el siglo XI. En aquel entonces era un enigma, aunque hoy en día cualquier creacionista sabe que la Tierra es plana.

    Gracias por tu blog.

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  2. Cualquier creacionista,,,

    Jajajajajjajaja..

    Touchè :)

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  3. no recuerdo ahora exactamente nombres y fechas, pero... ¿no era una solucion al problema de los 3 cuerpos lo q premiaba el rey de algun pais nordico y poincare se emociono y empezo a desarrollar asuntos acabando con la teoria del caos? creo q, muy resumido, era algo asi...

    de todas formas q tengan solucion numerica tampoco es la panacea. los ordenadores lo hacen bastante bien si, en el caso de la gravitacion desconozco tiempos de computacion, pero cuando lo pones con navier-stokes... tengo visto ordenadores calculando durante un par de semanas.

    ademas las ecuaciones analiticas son muy chulas :P

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  4. Para los que dudaban de lo del Enigma, y lo de Poincare (de la wikipedia)

    "...the three-body problem. Poincaré pointed out that the problem was not correctly posed, and proved that a complete solution to it could not be found. His work was so impressive that in 1888 the jury recognized its value by awarding him the prize..."

    Es decir, en 1888 se sabia que el problema no tenia solucion analitica, no porque no se supiera calcular, si no porque se sabe que no existe.

    Este es un problema frecuente en ciencia cuando se dice que algo no tiene solucion (no es el mejor ejemplo, pero es como intentar estimar la velocidad y posicion de una particula). La mayoria de la gente se piensa que es porque no se ha descubierto y piensan: "ya se descubrira", cuando realmente se ha hecho algo mucho mas dificil, descubrir que dicha solucion no existe.

    Esa es una parte maravillosa de la ciencia que normalmente queda oculta a los ojos de la gente.

    PD: La soluciones analiticas son muy bonitas, pero el 99.99% de las implementaciones en un ordenador son numericas. Normalmente son mas rapidas, mas eficientes, mas precisas y normalmente la unica opcion.

    PPD: Hace poco comente que la resolucion analitica de Navier-Stokes se paga con un millon de dolares.

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  5. Lo de la solución numérica no es ninguna panacea. Puede que para los problemas de tipo ingenieril sea suficiente ("No necesito tener toda la solución, sólo este trocito que me enseña el ordenador"), pero para un matemático es casi imposible trabajar con una solución numérica, pues lo que pretende es conocer sus propiedades globales (o locales, pero en cualquier sitio de la solución, no en un trocito). Por ejemplo, no hay forma humana de hacer un estudio asintótico (¿qué pasa cuando el tiempo tiende a infinito?), pues con un ordenador no se puede hacer un límite numéricamente.

    Y lo del estudio asintótico no es ningún tecnicismo sin importancia. De acuerdo con lo que ha contado Alf y lo que acabo de decir, es perfectamente posible que a partir de cierto momento el Sistema Solar se vuelva inestable, las órbitas de sus planetas empiecen a desparramarse (al menos aparentemente, por supuesto por debajo todo sigue funcionando de acuerdo a las leyes de gravitación) y La Tierra termine a años luz del Sol, terminando la vida al menos en la forma que conocemos. Una solución numérica podrá demostrarnos que eso va a pasar, pero nunca podrá demostrarnos que eso no va a pasar.

    Bueno, me he puesto un poco tremendista, pero espero que se entienda lo que quiero decir. Las soluciones numéricas valen para lo que valen, pero hay cosas importantes para las que no valen.

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  6. Yo hablaba de las superioridad numerica cuando usas el ordenador. Un estudio asintotico no lo vas a hacer por ordenador (los "solver" actuales, todavia estan muy lejos de poder hacer eso).

    De todos modos, por poner un ejemplo se puede probar convergencia o divergencia de formulas iterativas, por ejemplo con tecnicas de Monte Carlo. Y todo eso son metodos numericos que te dicen, por ejemplo, si hay o no hay solucion. No confundamos el analisis numerico, con trabajar con numeros :)

    Por cierto, si te sirve de consuelo, el Sol "explotara" en tiempo finito, y no muy grande depende con que lo compares, asi que tendras que considerar una discontinuidad en tu funcion analitica. Asi que tu asintota va a ser un poco dificil de calcular ;)

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  7. Completamente de acuerdo con rmcantin en que el descubrimiento de la falta de solución "es una parte maravillosa de la ciencia"
    Normalmente es más difícil de descubrir y por la misma razón, más complicado de explicar a la gente ¿alguien sabe algún ejemplo "facilón" en el que quede patente la falta de solución?

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  8. Existe un programa - Interactive Physics - que permite hacer simulaciones muy bonitas con toda clase de cuerpos, ver como interactuan, chocan, caen, como les afecta la resistencia del aire... y todo mediante calculo numerico.

    Lo mas curioso es cuando falla - a veces falla - y no convergen las fuerzas o velocidades. El conjunto "estalla", los objetos salen disparandos en cualquier dirección.

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  9. ¿Ves? Esto es lo que pasa cuando se lee la revista del Círculo de Lectores.

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  10. Cada vez me gusta más este blog. Tengo que comentar más a menudo ;)

    Totalmente de acuerdo con lo expuesto en el post. Realmente se trata de un problema, no de un enigma. Y como este, hay tropecientosmil ejemplos. Yo estudio física -4º- y si algo me repiten constantemente es que en mecánica clásica sólo se saben resolver de forma exacta -con solución analítica- cuatro casos simples. Lo demás se hace por métodos aproximados, cálculo variacional o métodos numéricos. Y ello no quiere decir que esté mal. Dependiendo de la precisión que necesites, vas a tener que trabajar más.

    Un saludo

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  11. Respecto a los enlaces de las simulaciones en Java hay una muy graciosa. La he reproducido varias veces y el resultado se repite. Os vais a :
    http://faculty.ifmo.ru/butikov/Projects/Collection1.html
    Elegid el supuesto 7 y dadle start. Cuando en "Time" llega a 10,00 tanto la luna como el satelite
    "rebotan" en un no se que que que se yo...
    No se porque se auto-activa el "reverse" y el efecto es curioso, porque el "Time" sigue su curso "hacia delante".

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  12. Recuerdo haber dado el problema de los 2 cuerpos y después el de los 3 cuerpos en mecánica y esa "frustación" de no poder tener una solución analítica...
    muy interesante esta revisita al problema

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  13. El análisis de Alf es muy correcto -como siempre- pero se salta un detalle fundamental que algunos de los comentarios apunta indirectamente: el problema de 3 cuerpos es un caso paradigmático de problema caótico.

    Es decir, no sólo no tiene solución analítica, sino que tampoco la tiene numérica mientras trabajemos con un número finito de dígitos.

    Lo que sí podemos saber es cuán buenos serán nuestros desarrollos numéricos en función de las condiciones del problema y de nuestra precisión. Por ejemplo, los cálculos orbitales actuales del sistema solar pueden tener una validez de miles de años (quizá más) porque el sistema solar se puede aproximar como varios problemas de 2 cuerpos con perturbaciones.

    De un sistema de 3 cuerpos equilibrado (los tres objetos con masas parecidas) se sabe que no existen órbitas estables: tarde o temprano uno de los cuerpos se escapa (eso es en el mundo "ideal" de cuerpos puntuales: en la práctica también pueden ocurrir colisiones).

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  14. Sólo me gustaría añadir que también hay órbitas estables para sistemas de tres cuerpos de igual masa. Mi favorita es la "coreografía" en forma de ocho que se descubrió (mediante técnicas numéricas) en 1993.

    El enlace (en inglés) aquí: Figure-eight periodic planar three-body motion

    Aunque hay que añadir que, si bien es una órbita perfectamente posible, no se da de forma natural en sistemas estelares o planetarios.

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  15. Muy buen articulo y los comentarios también.

    Me sumo a la petición de Rober:

    "Completamente de acuerdo con rmcantin en que el descubrimiento de la falta de solución "es una parte maravillosa de la ciencia"
    Normalmente es más difícil de descubrir y por la misma razón, más complicado de explicar a la gente ¿alguien sabe algún ejemplo "facilón" en el que quede patente la falta de solución?"

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  16. Claro, claro... lo malo es que no h entendido nada...

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  17. El libro trata de unos asesinatos y tiene como telon de fondo el problema de los tres cuerpos y el concurso del rey Oscar de Suecia que finalmente gano Poincaré.
    Todo ello se relata sin entrar en explicaciones mas extensas que serían incomprensibles para un lector lego en el tema.
    Se supone que la escritora es una matematica inglesa, ya que escribe con pseudónimo.

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  18. el problema es que no se han desarrollado las ecuaciones que puedan resolverlo, deben ser muy complejas. Estas solo resuelven la dependencia de dos objetos, pero por que no pueden existir otras que hagan la dependencia de 3 4 o infinitos cuerpos...

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  19. Léete los comentarios, que rmcantin lo explica muy bien. No es que aún no se sepa la solución, es que no existe. Se ha demostrado matemáticamente.

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  20. se ve que la matematica no es tu fuerte

    "Así que el problema de los tres cuerpos dista mucho de ser un enigma matemático"

    en fin, mala ciencia

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  21. ¿Puedes explicarme por qué esa frase que citas indica tal cosa?

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