Unidades y dimensiones

Tras el empacho del envío anterior, vamos con algo más breve y sencillo. Eduardo Sánchez me ha enviado un correo electrónico acerca de un error cometido en la web del Gobierno de Aragón, y que me temo que es habitual. Se trata de una página que habla del clima aragonés, y ofrece varias cifras de precipitaciones, medidas en milímetros por metro cuadrado.

La cantidad de lluvia se mide en litros por metro cuadrado, o en milímetros a secas (o en cualquier otra unidad dimensionalmente equivalente). ¿Y es esto grave? Bueno, primero vamos a pensar un poco en por qué se mide la lluvia de esa manera. Si nos encargaran medir la cantidad de agua que cae durante una tormenta ¿cómo lo haríamos? Lo primero que se nos ocurriría es poner algún tipo de recipiente bajo la lluvia, y medir la cantidad de agua recogida al terminar la tormenta ¿verdad? Y la cantidad de agua se mide en unidades de volumen, como el litro. Vale, pero ¿qué ocurriría si ponemos un recipiente más ancho. Pues que al terminar la lluvia, tendríamos más litros de agua recogidos.

Parece bastante intuitivo pensar que la cantidad de agua recogida es directamente proporcional a la superficie del recipiente. Un recipiente con el doble de superficie que otro, recogerá el doble de de agua. Así que una unidad de volumen, así sin más, no nos sirve. Tenemos que dividirla entre la superficie del recipiente utilizado. Así que tenemos los famosos litros por metro cuadrado (l/m²).

¿Y los milímetros? Bien, supongamos que tenemos dos recipientes, uno con el doble de superficie que el otro. En el mayor, se recoge más agua, obviamente, pero hemos dicho que la cantidad de agua es directamente proporcional a la superficie del recipiente, por lo que en el de doble superficie se recogerá exactamente el doble de agua. Si nuestro recipiente tiene forma de prisma o de cilindro (por ejemplo, un vaso de tubo), la altura alcanzada por el agua es igual al volumen de agua dividido entre la superficie. Así que, en ambos recipientes, el agua alcanza la misma altura (doble volumen, pero doble superficie también).

Si nuestro recipiente tiene exactamente un metro cuadrado de superficie, y lo llenamos con exactamente un litro de agua, la altura que alcanzará ésta será de 1 milímetro. Efectivamente, un litro es igual a 1 dm³, y un metro cuadrado es igual a 100 dm^{2 3}. Si dividimos 1/100, tenemos 0,01 dm m, o lo que es lo mismo, 1 mm.

Bueno, pero es un gazapo sin importancia ¿no? Pues no necesariamente. El problema de fondo son las dimensiones de las unidades. Todos recordaremos del cole aquellas explicaciones sobre las dimensiones de las unidades de medida ¿verdad? Toda ecuación o fórmula física ha de ser dimensionalmente correcta. Esto es, las dimensiones a ambos lados de la igualdad deben ser las mismas. Así, la fórmula de la velocidad de un móvil es v=e/t, donde v es la velocidad, e el espacio, y t el tiempo. ¿En qué se mide el espacio? En unidades de longitud, como el metro o el kilómetro. ¿En qué se mide el tiempo? En unidades de tiempo, como el segundo o la hora. Y ¿en qué se mide la velocidad? Pues en unidades de velocidad, que a su vez son unidades de longitud dividido entre unidades de tiempo, como el km/h o el m/s. Esto se representa como L/T (longitud dividido por tiempo).

Vemos entonces que las precipitaciones se miden en unidades de longitud, es decir, su dimensión es L. Efectivamente, los milímetros son unidades de longitud. Y los litros por metro cuadrado también, ya que el litro es un unidad de volumen (L³), el metro cuadrado de superficie (L²), y al dividirlas, tenemos unidades de longitud (L³ / L² = L). Los supuestos milímetros por metro cuadrado, tendrían una dimensión 1/L (puesto que L / L² = 1/L), y por tanto, no nos sirven.

Las dimensiones de las unidades es algo fundamental en física, aunque su mal uso está bastante generalizado. Se me ocurren al menos dos ejemplos conocidísimos. Uno es el de los famosos años luz, que mucha gente toma erróneamente como unidad de tiempo. Como expliqué hace tiempo, un año luz es la distancia que recorre la luz en un año, es decir, unidades de velocidad multiplicadas por unidades de tiempo. Esto es (L/T) · T, o lo que es lo mismo, L: Unidades de longitud. Otro ejemplo es el de la potencia y la energía. La energía se mide en julios, y su dimensión es M · L² / T² (la M son unidades de masa, como el kg). Efectivamente, la energía (o trabajo) se define como la fuerza aplicada a un objeto al recorrer determinada distancia, la fuerza es a su vez masa por aceleración, y la aceleración es velocidad dividido por tiempo. La potencia es la cantidad de energía (generada o consumida) por unidad de tiempo, y se mide en vatios, que son julios por segundo, y por tanto su dimensión es M · L² / T³. Y sin embargo, a veces se utilizan erróneamente los vatios como unidades de energía, como en Regreso al Futuro (caso ya comentado).

Y terminaré con una anécdota, que seguramente muchos compartiremos. En una ocasión tuve un profesor de física que era capaz de no puntuarte nada un problema cuyo único error era el no poner las unidades del resultado final. Y siempre decía la misma frase: Tres no es un resultado correcto. ¿Tres qué? ¿Tres peras? ¿Tres manzanas? No significa nada.