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lunes, marzo 27, 2006

Unidades y dimensiones

Tras el empacho del envío anterior, vamos con algo más breve y sencillo. Eduardo Sánchez me ha enviado un correo electrónico acerca de un error cometido en la web del Gobierno de Aragón, y que me temo que es habitual. Se trata de una página que habla del clima aragonés, y ofrece varias cifras de precipitaciones, medidas en milímetros por metro cuadrado.

La cantidad de lluvia se mide en litros por metro cuadrado, o en milímetros a secas (o en cualquier otra unidad dimensionalmente equivalente). ¿Y es esto grave? Bueno, primero vamos a pensar un poco en por qué se mide la lluvia de esa manera. Si nos encargaran medir la cantidad de agua que cae durante una tormenta ¿cómo lo haríamos? Lo primero que se nos ocurriría es poner algún tipo de recipiente bajo la lluvia, y medir la cantidad de agua recogida al terminar la tormenta ¿verdad? Y la cantidad de agua se mide en unidades de volumen, como el litro. Vale, pero ¿qué ocurriría si ponemos un recipiente más ancho. Pues que al terminar la lluvia, tendríamos más litros de agua recogidos.

Parece bastante intuitivo pensar que la cantidad de agua recogida es directamente proporcional a la superficie del recipiente. Un recipiente con el doble de superficie que otro, recogerá el doble de de agua. Así que una unidad de volumen, así sin más, no nos sirve. Tenemos que dividirla entre la superficie del recipiente utilizado. Así que tenemos los famosos litros por metro cuadrado (l/m2).

¿Y los milímetros? Bien, supongamos que tenemos dos recipientes, uno con el doble de superficie que el otro. En el mayor, se recoge más agua, obviamente, pero hemos dicho que la cantidad de agua es directamente proporcional a la superficie del recipiente, por lo que en el de doble superficie se recogerá exactamente el doble de agua. Si nuestro recipiente tiene forma de prisma o de cilindro (por ejemplo, un vaso de tubo), la altura alcanzada por el agua es igual al volumen de agua dividido entre la superficie. Así que, en ambos recipientes, el agua alcanza la misma altura (doble volumen, pero doble superficie también).

Si nuestro recipiente tiene exactamente un metro cuadrado de superficie, y lo llenamos con exactamente un litro de agua, la altura que alcanzará ésta será de 1 milímetro. Efectivamente, un litro es igual a 1 dm3, y un metro cuadrado es igual a 100 dm2 3. Si dividimos 1/100, tenemos 0,01 dm m, o lo que es lo mismo, 1 mm.

Bueno, pero es un gazapo sin importancia ¿no? Pues no necesariamente. El problema de fondo son las dimensiones de las unidades. Todos recordaremos del cole aquellas explicaciones sobre las dimensiones de las unidades de medida ¿verdad? Toda ecuación o fórmula física ha de ser dimensionalmente correcta. Esto es, las dimensiones a ambos lados de la igualdad deben ser las mismas. Así, la fórmula de la velocidad de un móvil es v=e/t, donde v es la velocidad, e el espacio, y t el tiempo. ¿En qué se mide el espacio? En unidades de longitud, como el metro o el kilómetro. ¿En qué se mide el tiempo? En unidades de tiempo, como el segundo o la hora. Y ¿en qué se mide la velocidad? Pues en unidades de velocidad, que a su vez son unidades de longitud dividido entre unidades de tiempo, como el km/h o el m/s. Esto se representa como L/T (longitud dividido por tiempo).

Vemos entonces que las precipitaciones se miden en unidades de longitud, es decir, su dimensión es L. Efectivamente, los milímetros son unidades de longitud. Y los litros por metro cuadrado también, ya que el litro es un unidad de volumen (L3), el metro cuadrado de superficie (L2), y al dividirlas, tenemos unidades de longitud (L3 / L2 = L). Los supuestos milímetros por metro cuadrado, tendrían una dimensión 1/L (puesto que L / L2 = 1/L), y por tanto, no nos sirven.

Las dimensiones de las unidades es algo fundamental en física, aunque su mal uso está bastante generalizado. Se me ocurren al menos dos ejemplos conocidísimos. Uno es el de los famosos años luz, que mucha gente toma erróneamente como unidad de tiempo. Como expliqué hace tiempo, un año luz es la distancia que recorre la luz en un año, es decir, unidades de velocidad multiplicadas por unidades de tiempo. Esto es (L/T) · T, o lo que es lo mismo, L: Unidades de longitud. Otro ejemplo es el de la potencia y la energía. La energía se mide en julios, y su dimensión es M · L2 / T2 (la M son unidades de masa, como el kg). Efectivamente, la energía (o trabajo) se define como la fuerza aplicada a un objeto al recorrer determinada distancia, la fuerza es a su vez masa por aceleración, y la aceleración es velocidad dividido por tiempo. La potencia es la cantidad de energía (generada o consumida) por unidad de tiempo, y se mide en vatios, que son julios por segundo, y por tanto su dimensión es M · L2 / T3. Y sin embargo, a veces se utilizan erróneamente los vatios como unidades de energía, como en Regreso al Futuro (caso ya comentado).

Y terminaré con una anécdota, que seguramente muchos compartiremos. En una ocasión tuve un profesor de física que era capaz de no puntuarte nada un problema cuyo único error era el no poner las unidades del resultado final. Y siempre decía la misma frase: Tres no es un resultado correcto. ¿Tres qué? ¿Tres peras? ¿Tres manzanas? No significa nada.

41 comentarios:

  1. Jejeje! si, yo tambien tenia un profesor asi:D

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  2. En el 5to parrafo. ¿No se debería leer "1 metro cuadrado es igual a 100 dm^2"?
    Felicitaciones por el blog, es muy bueno. :-)

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  3. tenemos 0,01 m, o lo que es lo mismo, 1 mm

    Ay ay ay, 1mm = 10^-3m = 0,001m

    T'e pillao :-P

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  4. Como la confusión en las medidas de velocidad en el mar, mucha gente dice nudos por hora, en vez de simplemente nudos.
    Saludos

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  5. Exactamente, como ya han comentado otros lectores, en el quinto párrafo: 1 litro = 1000 dm^3

    Y dividiendo 0,001 m = 1 mm

    Pero, eh! somos humanos
    ¿O lo has puesto para ver cuánto tardábamos en darnos cuenta?

    P.D.Sigue así, este blog engancha

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  6. 1 litro = 1 dm^3 de toda la vida.

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  7. A ver, que aqui Alf se ha colado, pero no mucho, y la gente lo esta liando:

    Donde dice:
    "Efectivamente, un litro es igual a 1 dm3, y un metro es igual a 100 dm3. Si dividimos 1/100, tenemos 0,01 m, o lo que es lo mismo, 1 mm."

    Deberia decir
    "Efectivamente, un litro es igual a 1 dm3, y un metro CUADRADO es igual a 100 dm2. Si dividimos 1/100, tenemos 0,01 dm, o lo que es lo mismo, 1 mm."

    Sorprendentemente, el fallo solo es de unidades ;)

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  8. Por cierto, ese profesor tambien lo tuve yo. Creo que es una frase universal de profesores de fisica. De hecho, yo tambien la digo :)

    Aunque yo una vez le respondi en la revision: En el enunciado especifica que se usen unidades en el sistema internacional, luego eso define univocamente el resultado... y me la dio por buena.

    Muy bueno el post.

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  9. Pues que ya estoy hasta la nariz de "...todos recordaremos del cole aquellas explicaciones sobre XXX...". No, no nos acordaremos nada. Es muy raro que alguien se acuerde de todo eso si no lo volvió a utilizar con frecuencia años después. En mi caso ni siquiera llegué a que me enseñaran esas cosas para poder recordarlas. Entiendo que es uno de los conceptos fundacionales de este blog ("...explicar exclusivamente con conceptos que nos hayan enseñado en el cole...") pero cada vez que pones esa dichosa frase estoy seguro de que mucha gente se siente mal (¡uy! ¡qué bruto debo ser! ¡yo no me acuerdo nada!, etc.). Si la evitas, la explicación se entiende igual y todos contentos.
    Vamos, que quiere ser una crítica constructiva. Tu blog está buenísimo y me parece una idea re-original y útil para la sociedad. Extraño, eso sí, los posts sobre errores de las películas que están escaseando últimamente.

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  10. 0.01 m es un centimetro.
    0.001 m es un milimetro.
    Una errata, pero mejor corregirla.
    Enhorabuena por el site!!

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  11. Mi profesor era profesora, pero de la misma escuela...hacia mi mismo que el tuyo.

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  12. ¡Vaya gazapo! No, no quería probaros. Ha sido un imperdonable descuido, por querer escribir demasiado deprisa y no revisar después el texto. Ya está corregido, pero se me han subido los colores :-/

    Con las frases tipo "...todos recordaremos del cole aquellas explicaciones sobre XXX...", precisamente lo que quiero hacer ver es que muchos de los errores no son relativos a cosas complicadas, que necesiten la asesoría de un experto, sino que podrían haberse evitado si recordáramos las matemáticas o la física del colegio.

    Recuerdo que un amiguete me comentó una vez que, simplemente recordando todo lo que nos enseñan en el colegio, seríamos unas personas cultas de narices. Y no sólo en ciencia, sino en historia, literatura (donde reconozco que se me han olvidado muchas cosas)... y lengua, que a veces se oye decir cada cosa a los periodistas... y se supone que son de letras.

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  13. Hey otro gazapillo en "Los supuestos milímetros por metro cuadrado, tendrían una dimensión 1/L (puesto que L / L2 = L), y por tanto, no nos sirven.", donde debería ser "L / L2 = 1/L".

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  14. Si es que, cuando uno tiene un mal día...

    Ya está corregido.

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  15. "precisamente lo que quiero hacer ver es que muchos de los errores no son relativos a cosas complicadas".
    OK, entonces es intencional el hacernos sentir mal... Tal vez sería más amable no poner tanto énfasis en marcar la fuente de los errores de los demás.

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  16. Repensándolo, si la frase fuera "yo me acuerdo del cole" o incluso "con conocimientos típicamente enseñados en el cole" la frase sería más tragable. Después cada uno sabrá si se acuerda o no se acuerda. Digo... son algunas ideas.

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  17. Tomaré nota. No es mi intención hacer sentir mal a nadie :-)

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  18. Que curioso. Yo tuve un profesor igual, pero en la EGB. Desde entonces no he vuelto a olvidar poner una unidad en un resultado ;-)

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  19. Sí, sí... yo creo que siendo profesor, no cabe más que machacar la importancia de poner las unidades en las ecuaciones... y no sólo en la EGB (Primaria) sino que hasta BUP, COU y la Universidad!!!

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  20. Me da que una de las pruebas de capacitación de los profesores de física y química es responder eso como un acto reflejo. Aunque ahora que lo pienso, yo también lo he dicho unas cuantas veces y no soy profe.

    En la página del error aparece una dirección de correo. ¿Alguien les ha mandado una enmienda?

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  21. No sé si será MalaCiencia, pero te cuento, Alf, que aquí en Argentina está bastante difundida la costumbre de expresar distancias en unidades de... tiempo. Es muy común en carteles publicitarios en las autopistas, donde suelen leerse cosas como "Mc Lonad's" a 7 minutos. También es habitual en otros ámbitos, como los noticieros televisivos.
    Un "Muy Bien 10" para tu entrada. A pesar de los gazapos que pudo haber tenido -yo ahora no veo ninguno :-) - es muy clarificadora.

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  22. McDonalds a 7 minutos-coche sería correcto :-)
    O a 7 minutos-carro, no sé muy bien.

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  23. precisamente lo que quiero hacer ver es que muchos de los errores no son relativos a cosas complicadas".
    OK, entonces es intencional el hacernos sentir mal... Tal vez sería más amable no poner tanto énfasis en marcar la fuente de los errores de los demás.


    hombre, amable o no, es cierto q las mayores pifias son en chorradas, por lo menos en lo relativo al calculo. me ha resulto esto de puta madre, pero el dato eran 5.1*10^-3 y no 5.1... y todo asi, mas q errores son despistes, generalmente estas mas centrado en resolver q en mamonadas de unidades o cosas menores porq te agobia el tiempo.

    las unidades, si, es cierto.... y conozco mucha gente q no las pone para no meter el remo jeje. personalmente creo q lo mejor es trabajar en el sistema internacional y aire.

    quizas alguno de vostros conozca el teorema de buckingham y haya sacado una lista de cagamentos ante resultados ridiculos...jeje, creo q ahi es donde peor he llevado yo lo de las unidades

    respecto a los profesores... bueno he conocido hijos de puta de todos los colores, aunq en la universidad nunca me dijeron lo de las unidades... aunq conzco casos de tacharle el ejercicio por haber puesto ºK en lugar de K "no tiene ud los conceptos claros".

    tb habia algunos profesores q encontraban un placer especial en dar datos con las unidades mas inverosimiles posibles (como expresar la velocidad en estadios/quincena).

    lo cierto es q tanto las unidades, en realidad dimensiones, como su manejo es muy importante. pero... en el instituto las explicaciones son penosas, porq las herramientas matematicas son tb penosas

    animo con el blog, tenia un comentario-parrafada para el post del cumpeaños, pero se me colgo y por no escribirlo otra vez...ya te mandare un mail con unas cosillas q llevan tiempo indignandome ;)

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  24. Parece que todos los profesores son educados de la misma manera, ya sea de este lado del charco o del de ustedes. Tuve varios que usaban la misma frase.

    Con eso de las unidades, son tan importantes que una misión de la NASA falló por dicho motivo.

    saludos

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  25. Jones, Francisco29 marzo, 2006 12:46

    Supongo que el ejemplo de la energía y la potencia se refiere a los kilowatios-hora (que no kilowatios/hora)

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  26. El "fallo" comun que con el tiempo se ha convertido en correcto es el de :
    Cuanto pesas?
    70 kilos

    y siendo que te preguntan por el peso lo corecto seria kilopondios (creo) pero bueno kilogramos se entenderia y no es ese el error que quiero expresar; sino que 70kilos? no es mas que un prefijo que indica 1000 , por tanto 70 kilos=70.000 ¡seguimos teniendo que decir las unidades! ;-) .
    Viva la ciencia del error
    ¡70 kilos (de pesetas) para ella.
    Abrasos

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  27. Bueno, yo soy profesor de secundaria en tecnología y, aunque no pongo ceros por no poner unidades sí descuento algo (no mucho, es que soy un blando...) en los problemas por no poner unidades porque forma parte de su aprendizaje.

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  28. Yo creo que la frase "Como todos recordaremos del cole" es muy tuya. Me encanta. Lo que quiero decir es que es uno de los detalles que me gustan de tu blog. Las opiniones son como los culos, todos tenemos uno y los de los demas apestan (Harry el sucio).

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  29. Es que la pregunta correcta seria ¿cuanta masa tienes? por que pesar pesaras mas o menos depandiendo del lugar en que estes (incluso sin necesidad de salir de la tierra),pero si alguien te preguntara eso te ibas a quedar con cara de tonto :)

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  30. Lo de la masa y el peso, es una de esas cosas que lleva tiempo rondándo por mi cabeza. Tal vez algún día le dedique un post.

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  31. Casi un año y medio después...la errata sigue en la web del Gobierno de Aragón.
    Madre mía.

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  32. Una pregunta. ¿No debería tener, la cantidad de lluvia caída, unidades de caudal?

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  33. Es que el caudal se refiere a la cantidad de líquido que transcurre por una sección, por unidad de tiempo.

    Y en el caso de la lluvia, se ve que interesa más conocer el total precipitado, y no el caudal en un momento dado.

    Aunque el dato de la cantidad de agua caida por unidad de tiempo, puede ser interesante. No es lo mismo que caigan 10 l/m2 en una hora, que a lo largo de todo un día.

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  34. Bueno, soy el de antes. Por lo que he leido en otros sitios normalmente se refieren a lo que dura la precipitación, es decir, tantos mm/m2 durante lo que ha durado la precipitación. Evidentemente tiene que tener unidades de caudal y la sección a la que te refieres entiendo que es 1 m2 ¿no? Ahora bien, si miden los mm. durante la precipitación como obtienen la medida, por ejemplo, de un año.¿Suman lo de todo el año? Supongo que no, que calculan la media, sin tener en cuenta lo que a durado la precipitación. ¿Es eso a lo que te refieres?

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  35. Sí, la sección se refiere al m2. Y si se especifica lo que duró la precipitación, se podría entender como unidad de caudal.

    El caudal se mide en unidades de volumen (L3) dividido por unidades de área (L2) y por unidades de tiempo (T). Es decir, L3/L2T, o sea L/T.

    Así que si dicen que han caído, por ejemplo, 30 mm en 2 horas, sí están expresando un caudal (15 mm/h).

    Sobre la medida de un año, pues no estoy seguro, pero creo que se refiere al total precipitado de todo el año. Si fuera una media, tendrían que indicar alguna unidad de tiempo. Es decir, ¿es una media diaria? ¿semanal? ¿mensual? Puesto que las precipitaciones son muy variables, y hay meses enteros en los que no cae nada, y días en los que llueve mucho, me imagino que una media de ese tipo no debe ser muy útil. Piensa que al fin y al cabo, lo que importa muchas veces es el total (pienso sobre todo en cuando se habla del nivel de los embalses). Pero vamos, que no podría asegurarlo.

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  36. Sí, el total importa pero también creo que es importante conocer las intensidades de las precipitaciones. Al fin y al cabo no es lo mismo que llueva 10 mm. en 10 horas que 100 mm. en 1 hora.

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  37. Totalmente de acuerdo. La misma cantidad total, puede producir o no una inundación, dependiendo del caudal (si es mayor o no que el caudal de desaguado).

    Hace poco tuvimos unas lluvias que inundaron Alcázar de San Juan, donde vivo. Seguro que si la misma cantidad se hubiera repartido durante un mes, en vez de caer de golpe en un día, no habría pasado nada.

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  38. A mi todavia no me ha quedado claro...

    Yo sigo sin entender como puedes medir la cantidad de lluvia en milimitros sin tener una unidad de tiempo...

    Me vas a decir que poner un vaso bajo la lluvia un minuto es igual a ponerlo bajo la lluvia una hora?

    No lo creo, y sin embargo no encuentro un lugar donde digan en que unidades de tiempo se asumen los mililitros de lluvia :(

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  39. @Dogson:

    Pues a mi me preguntaron en una clase mi peso y conteste que mas o menos 1620 kilogramos por metro sobre segundo al cuadrado...

    Es correcto, lo que normalmente se mide en las "basculas" es la masa... y no el peso. lo interesante es como esos artefactos la descartan... y que la misma bascula te puede pesar de mas o de menos de acuerdo el lugar en donde se encuentre (es decir, si afectas la aceleracion)

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  40. La cantidad de lluvia se puede medir sin unidad de tiempo, si lo que quieres medir es precisamente eso, la cantidad, y no el caudal. Cuando se dice que han caído X mm de agua (o X litros por metro cuadrado), se refieren al tiempo en el que ha durado la lluvia. A veces, si el caudal ha sido especialmente alto, pues añaden algo así como "en tan sólo X horas".

    Las básculas, aunque cuando se utilizan lo que uno pretende medir es la masa, en realidad sólo pueden medir el peso. Es más, sólo pueden medir el peso, menos el empuje de la atmósfera (debido al principio de Arquímedes). Y eso quiere decir que pueden dar un valor distinto al mismo objeto, en el mismo sitio, si cambia la densidad de la atmósfera.

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