El problema de los tres cuerpos

Ojeando la última revista del Círculo de Lectores, me llamó la atención un libro de título La incógnita Newton, y leí el resumen para comprobar si se trataba de otro libro más que se suma a la moda iniciada por El Codigo DaVinci. Decía así:

Cambridge, año 1888. El mundo de la joven maestra Vanessa Duncan sufre una sacudida cuando un profesor de matemáticas de la prestigiosa universidad es hallado muerto de un golpe en la nuca. El profesor Akers se encontraba trabajando en la resolución del problema de los tres cuerpos, un enigma matemático que sir Isaac Newton fue el primero en plantear

Y resulta que el problema de los tres cuerpos no es ningún enigma. Es un problema sin solución analítica, que es algo muy distinto. ¿El qué? Veamos primero en qué consiste el famoso problema.

En el cole nos enseñaron la famosa Ley de Gravitación Universal de Newton, cuya fórmula nos indicaba la fuerza gravitatoria existente entre dos cuerpos: F = G·M·m/r², donde F es la fuerza, M la masa de uno de los cuerpos, m la masa del otro cuerpo, r la distancia que los separa, y G la constante de gravitación universal. También nos enseñaron que la fuerza aplicada sobre un cuerpo, producía en este una aceleración, dada por la fórmula a=F/m (a es la aceleración, F la fuerza y m la masa). Con estas dos fórmulas, pero expresadas en forma vectorial (la fuerza y la aceleración tienen dirección), es bastante sencillo calcular la trayectoria de un objeto en órbita, conociendo su posición y velocidad en un instante dado.

Pero para ello siempre consideramos que uno de los objetos tiene una masa muy pequeña con respecto al otro. Esto nos vale para satélites artificiales y vehículos espaciales, pero no para sistemas en los que ambos cuerpos tienen masas no demasiado distintas, como una estrella binaria (dos estrellas orbitando una alrededor de la otra). En este último caso, la masa del segundo cuerpo afectará a la trayectoria del primero. Es el llamado problema de los dos cuerpos, y aunque es más complicado, se pueden obtener dos funciones que nos indiquen la posición de cada cuerpo, en función del tiempo.

¿Y qué pasa si en vez de dos cuerpos, tenemos tres? Pues como todos imaginaréis, estamos ante el problema de los tres cuerpos. En este caso, no existe solución analítica, es decir, no podemos encontrar una función para cada cuerpo que nos de su posición en función del tiempo. Pero el que no tenga solución analítica no quiere decir que sea un enigma. Mediante análisis numérico se pueden realizar cálculos suficientemente aproximados sobre la trayectoria de los cuerpos.

¿Solución analítica? ¿Análisis numérico? ¿Qué es todo esto? Veamos un ejemplo sencillo:

Supongamos que queremos saber la posición de un cuerpo en movimiento rectilíneo y uniformemente acelerado, esto es, con aceleración constante. Conocemos la distancia inicial S₀ a nuestro origen de coordenadas, la velocidad inicial V₀, y la aceleración a. En el colegio nos enseñaron que la distancia del cuerpo al origen de coordenadas en función del tiempo es S(t) = S₀ + V₀ · t + (1/2) · a · t². Esto es una solución analítica. Tenemos una función que nos permite calcular la distancia S para cualquier valor de t (tanto positivo como negativo, es decir, tanto en el futuro como en el pasado).

Imaginemos ahora que desconocemos dicha fórmula, y no sabemos calcularla. ¿Qué haríamos? Bueno, sabemos que la distancia inicial es S₀, por lo que en nuestros cálculos deberemos partir de ahí. Sabemos también que la distancia recorrida por un cuerpo a velocidad constante es v·t. Sabemos incluso que la velocidad varía de la forma v=a·t. Pero tenemos el problema de que no sabemos calcular la distancia recorrida en esas circunstancias. Bien, supongamos que calculamos la distancia recorrida en un intervalo de tiempo muy pequeño, de forma que la velocidad apenas varía. Entonces, podemos calcular esa pequeña distancia como v·t. Ya, pero yo quiero calcularla para un intervalo de tiempo más grande. Pues dividimos ese intervalo en otros más pequeños, calculamos la distancia recorrida en cada intervalo (cada uno con velocidad distinta) y lo sumamos todo. El resultado será aproximado, y esa aproximación será mejor cuanto más pequeño sea el intervalo en el que suponemos que la velocidad es constante. Pues bien, a grandes rasgos (y que me perdonen los matemáticos por la simplificación), eso sería el análisis numérico.

El problema de los tres cuerpos no tiene solución analítica, es decir, no podemos obtener una función S(t) que nos diga la posición del objeto en cualquier instante de tiempo. Pero no es un problema irresoluble, ya que podemos atacarlo mediante análisis numérico. Y para eso contamos en la actualidad con una herramienta extraordinaria: el ordenador. Efectivamente, para realizar este tipo de cálculos tenemos que realizar muchas veces la misma operación, pero con distintos valores. Y esto es precisamente lo que mejor se le da a un ordenador (de hecho, podríamos decir que es una de las pocas cosas que sabe hacer).

Así que el problema de los tres cuerpos dista mucho de ser un enigma matemático. Cualquier PC actual tiene potencia más que suficiente para realizar los cálculos necesarios en milésimas de segundo, y pintar una animación en tiempo real, o incluso acelerada, de las trayectorias de los cuerpos. Un ejemplo de ello lo tenemos en esta web, con varios applets que nos pintan diversas trayectorias (hay que tener instalado el plugin de Java en el navegador).

Para no cargar toda al culpa sobre el Círculo de Lectores, hay que decir que el mismo error está presente en otros sitios, como en La Casa del Libro. Supongo que el error original estará en la propia editorial del libro.