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miércoles, junio 21, 2006

¿Es el universo como un balón de fútbol?

En una reciente visita al dentista, estuve ojeando esas revistas gastadas y manoseadas que hay en la sala de espera de toda consulta que se precie. En este caso concreto, había varias revistas de divulgación tipo Muy Interesante o Quo, y en una de ellas (cuyo nombre no recuerdo, pero no era ninguna de las dos que he nombrado) había un artículo con un título que rezaba algo así como que el universo tiene forma de balón de fútbol. Muy apropiado en pleno Mundial. El artículo trataba sobre la teoría del astrofísico francés Jean-Pierre Luminet, que dice que el universo tiene forma de dodecaedro. Por supuesto, esto no quiere decir que nuestro universo esté contenido en un dodecaedro gigante, sino que es una de esas analogías para explicar de alguna forma la topología del universo. Sería complicado explicar la teoría (yo no estoy seguro de entenderla demasiado bien), así que me centraré en algo más sencillo. En el artículo, supongo que por intentar acercar algo tan complejo al lector medio, insistía mucho en que un dodecaedro es como un balón de fútbol, y que el universo tiene forma de balón de fútbol.

Animación de un dodecaedro rotando sobre su eje verticalPero un balón de fútbol no tiene forma de dodecaedro. Bueno, y ¿qué es un dodecaedro? Si recordamos las clases de mates del colegio, un dodecaedro es un poliedro regular de doce caras, en el que cada cara es un pentágono regular. Los aficionados a los juegos de rol lo tienen más fácil para acordarse, ya que es la forma de un dado de 12 caras (un d12). El dodecaedro, como ya he dicho, es un poliedro regular. Esto quiere decir básicamente que sus caras son polígonos regulares iguales, y que los ángulos que forman también son iguales. Existen 5 poliedros regulares: el tetraedro (de 4 caras triangulares), el hexaedro (o cubo, de 6 caras cuadradas), el octaedro (de 8 caras triangulares, el dodecaedro y el icosaedro (de 20 caras triangulares). Y sólo existen esos 5.

Podéis leer cosas interesantes sobre ellos en una entrada del blog Historias de la Ciencia (que aprovecho para recomendar desde aquí), y al hacerlo descubriréis que, después de todo, hay una curiosa relación entre un balón de fútbol y un dodecaedro. Aunque casi esférico, un balón de fútbol está basado en un poliedro no regular. Animación de un icosaedro rotando sobre su eje verticalVeamos, recordemos un momento cómo es un icosaedro: 20 caras triangulares y 12 vértices, y en cada vértice se juntan cinco caras, por lo que en cada vértice concurren 5 aristas. Nuevamente, los roleros juegan con ventaja, ya que es la forma que tiene un dado de 20 caras, fundamental en los juegos basados en el Sistema d20 (como el famoso Dungeons & Dragons). Bien, imaginad ahora que cogemos un icosaedro y le cortamos las puntas, es decir, truncamos todos sus vértices. Dibujo de un icosaedro truncadoY lo hacemos de forma que el corte de cada esquina de cada cara triangular, nos convierta el triángulo equilátero en un hexágono regular. Así que nuestras caras triangulares se convierten en hexagonales. Y donde antes había un vértice de icosaedro, tenemos ahora un pentágono (5 aristas y 5 caras por vértice ¿recordáis?). Tenemos un nuevo poliedro (no regular): un icosaedro truncado, y como veis, está formado por 20 caras hexagonales y 12 pentagonales.

¿Os suena la nueva figura? En efecto, se trata de un balón de fútbol. O casi, ya que después de todo se trata de un poliedro, y sus caras son planas. Un balón tiene las caras abombadas hacia fuera, debido a la presión del aire que encierra, y la elasticidad del material con el que está fabricado. Pero la disposición, forma y número de las caras son las mismas.Imagen que compara un icosaedro truncado con un balçon de fútbol. Los colores del poliedro son iguales a los del balón, para apreciar mejor el parecido

Bueno, pero entonces, la forma de un balón de fútbol está relacionada con de con la de un icosaedro ¿no? No con la de un dodecaedro. Bueno, pero hay que recordar una curiosa propiedad que tienen los poliedros. Cada poliedro tiene un conjugado, que consiste en otro poliedro en el que los vértices coinciden con las caras del otro, y viceversa. Dibujo que representa un cubo con un octaedro inscritoAsí, el poliedro conjugado de un hexaedro (cubo para los amigos), es un octaedro. Un hexaedro tiene 6 caras y 8 vértices, y un octaedro tiene 8 caras y 6 vértices. El conjugado de un tetraedro es él mismo (4 caras y 4 vértices). Y el de un dodecaedro... habéis adivinado, el conjugado de un dodecaedro es un icosaedro.

Así que un balón de fútbol no tiene forma de dodecaedro, pero está relacionado con él: tiene forma de un poliedro truncado (e hinchado) conjugado de un dodecaedro.

20 comentarios:

  1. Una curiosidad: el buckminsterfulereno , una forma alotrópica del carbono, también tiene forma de icosaedro truncado o "balón de fútbol". Un típico ejercicio matemático es intentar contar el número de vértices y aristas que tiene, de memoria (no vale hacer trampa y mirar, ¡eh!).

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  2. Muy bueno Alf, me he perdido un poco al "cortar" las puntas del icosaedro, pero con un dibujito lo he solucionado.
    En otro ámbito de cosas, soy de los que piensa que las revistas de divulgación científica del tipo de las que comentas a veces son un poco exageradas en depende que tipo de cosas y en otras ocasiones incurren en errores como este, espero que para tratar de acercar la ciencia a los que somos más torpes.

    De nuevo, enhorabuena por el blog ;)

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  3. yo pensaba que era un pequeño robicosidodecaedro... con lo cual debería mirarme otra vez el tema 45 de las opos :P

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  4. La cabra siempre tira al monte, cada vez que escucho (o leo) icosaedro siempre pienso en el d20. En el colegio cuando estudiaba los enlaces del carbono no me separaba de mis dados ni loco.

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  5. Bueno el post de la forma del universo. Clara, hoy los balones del Mundial de Futbol no son asi ya ... pero bueno, todos entendimos de que iba.

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  6. La verdad es que tendria que leerme el articulo y las teorias, pero topologicamente te da lo mismo una esfera que un cono, icosaedro, dodecaedro, balon de futbol o un vaso de agua.
    Yo tenia entendido que la discusion era entre si era una hiperesfera o un hipertoro, que si son topologicamente distintos.

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  7. Otro gran secreto ha sido desvelado: lo que hace Alf en la sala de espera del dentista ;)

    Muchas gracias por el enlace.

    Salud!

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  8. Esto explica por qué un país con bajo nivel en matemáticas (segun las encuestas sobre estudiantes) no haya conseguido ganar un Mundial de fútbol. Si Luis Aragonés combinara el 4-4-2 y el entrenamiento físico con clases de cálculo y álgebra, ganábamos éste de calle.

    Saludos,

    Ferre

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  9. Lo del dodecaedro creo que es porque la teoría no sólo dice que el universo es finito, y que si viajas en línea recta el tiempo suficiente, llegarás al punto de origen (que creo que es la analogía con la esfera), sino porque al hacerlo, habrás rotado 36º (no sé a qué se refiere exactamente). La analogía con el dodecaedro es imaginar muchos dodecaedros unidos por sus caras. Las caras opuestas de un dodecaedro son pentágonos orientados de forma diferente. Concretamente, girando 36º uno de ellos, ya los orientas igual.

    Pero en fin, que se me escapa el asunto.

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  10. En cuanto a lo del dodecaedro, creo que ahora una de las teorías (además del hiperboloide y tal) es que es una esfera de riemann... y sí, algo tiene que ver con un dodecaedro... pero bastante más chungo. Ah, y lo de los balones, cierto, los antiguos son un icoseaedro truncado y hoy se juega con un pequeño rombicosaedro... o se jugaba, porque el balón del mundial de alemania parece una pelota de tenis :P

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  11. ¿Un rombicosaedro? Mmm... sin entender demasiado de fútbol, viendo la pinta que tiene, creo que no. Tampoco un rombicosidodecaedro, como comentaba Lola más arriba.

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  12. A ver... ya repasé los temas de las opos... (y ya me examiné, yuhu!) y el de toda la vida es un icosaedro truncado, claro está. Pero según esos apuntes y otras páginas que he visto por internet, ahora se hacen como pequeños rombicosidodecaedros (hay dos tipos, grandes y pequeños... pues lo pequeños)... pero vamos, que ya los balones son... a saber..

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  13. Pues sí, es verdad. Más información aquí:

    http://lolamr.blogalia.com/historias/31208

    ¿Desde cuándo son así? Nunca he visto un balón de esos (claro, que como no me apasiona el fútbol...)

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  14. ¡Hey! No me había fijado, pero el enlace es precisamente del blog de Lola :-)

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  15. jajajaja, sí, si te he mentido, el blog también miente.... :P No sé, lo leí en varios sitios... Pero vamos, que uno se puede fiar de eso poco... hasta que no vea uno de esos rodando por el césped no me lo creeré :P

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  16. Pues yo soy de letras y seguro que me equivoco, pero ¿el dado de 4 no es un poliedro regular de esos?

    Felicidades por tu blog. Lo sigo con interés.

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  17. Sí, el d4 es un tetraedro. De hecho, todos los dados habituales de los juegos de rol son poliedros regulares, salvo el d10.

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  18. Esta interesante esta explicaciòn, creo que es importante saber la forma de nuestro universo, pero mas importante aun es saber su origen su creador, y ademas es mucho mas importante saber como debemos proteger nuestro universo, pero buen trabajo felicidades.

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  19. Este comentario ha sido eliminado por el autor.

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  20. No muy iluminado este "Luminet", es un regreso al mundo de los griegos o ideas medievales ... le faltó hablar de la música de las esferas. De seguro es más fácil crear modelos así. Trastornos de quienes insisten en validar la deplorable idea del Big Bang, de quienes creen en un espacio finito y buscan un modelo que se ajuste a este absurdo lógico.

    goodwin8x8

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