¿Es el universo como un balón de fútbol?

En una reciente visita al dentista, estuve ojeando esas revistas gastadas y manoseadas que hay en la sala de espera de toda consulta que se precie. En este caso concreto, había varias revistas de divulgación tipo Muy Interesante o Quo, y en una de ellas (cuyo nombre no recuerdo, pero no era ninguna de las dos que he nombrado) había un artículo con un título que rezaba algo así como que el universo tiene forma de balón de fútbol. Muy apropiado en pleno Mundial. El artículo trataba sobre la teoría del astrofísico francés Jean-Pierre Luminet, que dice que el universo tiene forma de dodecaedro. Por supuesto, esto no quiere decir que nuestro universo esté contenido en un dodecaedro gigante, sino que es una de esas analogías para explicar de alguna forma la topología del universo. Sería complicado explicar la teoría (yo no estoy seguro de entenderla demasiado bien), así que me centraré en algo más sencillo. En el artículo, supongo que por intentar acercar algo tan complejo al lector medio, insistía mucho en que un dodecaedro es como un balón de fútbol, y que el universo tiene forma de balón de fútbol.

Pero un balón de fútbol no tiene forma de dodecaedro. Bueno, y ¿qué es un dodecaedro? Si recordamos las clases de mates del colegio, un dodecaedro es un poliedro regular de doce caras, en el que cada cara es un pentágono regular. Los aficionados a los juegos de rol lo tienen más fácil para acordarse, ya que es la forma de un dado de 12 caras (un d12). El dodecaedro, como ya he dicho, es un poliedro regular. Esto quiere decir básicamente que sus caras son polígonos regulares iguales, y que los ángulos que forman también son iguales. Existen 5 poliedros regulares: el tetraedro (de 4 caras triangulares), el hexaedro (o cubo, de 6 caras cuadradas), el octaedro (de 8 caras triangulares, el dodecaedro y el icosaedro (de 20 caras triangulares). Y sólo existen esos 5.

Podéis leer cosas interesantes sobre ellos en una entrada del blog Historias de la Ciencia (que aprovecho para recomendar desde aquí), y al hacerlo descubriréis que, después de todo, hay una curiosa relación entre un balón de fútbol y un dodecaedro. Aunque casi esférico, un balón de fútbol está basado en un poliedro no regular. Veamos, recordemos un momento cómo es un icosaedro: 20 caras triangulares y 12 vértices, y en cada vértice se juntan cinco caras, por lo que en cada vértice concurren 5 aristas. Nuevamente, los roleros juegan con ventaja, ya que es la forma que tiene un dado de 20 caras, fundamental en los juegos basados en el Sistema d20 (como el famoso Dungeons & Dragons). Bien, imaginad ahora que cogemos un icosaedro y le cortamos las puntas, es decir, truncamos todos sus vértices. Y lo hacemos de forma que el corte de cada esquina de cada cara triangular, nos convierta el triángulo equilátero en un hexágono regular. Así que nuestras caras triangulares se convierten en hexagonales. Y donde antes había un vértice de icosaedro, tenemos ahora un pentágono (5 aristas y 5 caras por vértice ¿recordáis?). Tenemos un nuevo poliedro (no regular): un icosaedro truncado, y como veis, está formado por 20 caras hexagonales y 12 pentagonales.

¿Os suena la nueva figura? En efecto, se trata de un balón de fútbol. O casi, ya que después de todo se trata de un poliedro, y sus caras son planas. Un balón tiene las caras abombadas hacia fuera, debido a la presión del aire que encierra, y la elasticidad del material con el que está fabricado. Pero la disposición, forma y número de las caras son las mismas.

Bueno, pero entonces, la forma de un balón de fútbol está relacionada con de con la de un icosaedro ¿no? No con la de un dodecaedro. Bueno, pero hay que recordar una curiosa propiedad que tienen los poliedros. Cada poliedro tiene un conjugado, que consiste en otro poliedro en el que los vértices coinciden con las caras del otro, y viceversa. Así, el poliedro conjugado de un hexaedro (cubo para los amigos), es un octaedro. Un hexaedro tiene 6 caras y 8 vértices, y un octaedro tiene 8 caras y 6 vértices. El conjugado de un tetraedro es él mismo (4 caras y 4 vértices). Y el de un dodecaedro... habéis adivinado, el conjugado de un dodecaedro es un icosaedro.

Así que un balón de fútbol no tiene forma de dodecaedro, pero está relacionado con él: tiene forma de un poliedro truncado (e hinchado) conjugado de un dodecaedro.