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viernes, marzo 10, 2006

La física de la música

En el mismo episodio de Alias (o puede que el siguiente) que comenté en el anterior envío, la prota tenía que ir a una cueva de hielo en Siberia, a recoger una caja de música diseñada y fabricada por Milo Rambaldi (un imaginario personaje renacentista, híbrido de DaVinci y Nostradamus). La madre de la prota explica que la música que reproduce la caja en cuestión, es un código, dado que cada nota musical corresponde a una frecuencia. Para ello, una de las cosas que le dice a su hija es que el Do Mayor corresponde a una frecuencia de 261 Hz.

No sé si se trata de un error de traducción, o ya estaba así en el diálogo original, pero resulta que Do Mayor no es una nota musical. Puede referirse a un acorde, que está formado por las notas do, mi y sol (o sea, tres frecuencias), o puede referirse a una tonalidad (que está formada por muchas más notas). Debería haber dicho simplemente do, para referirse a una sola nota, concretamente, el llamado do central, cuya frecuencia en la escala temperada corresponde a 261,6 Hz.

¿Pero sónde está la ciencia aquí? Pues en que cada nota musical corresponde a una frecuencia de oscilación. Para calcular las frecuencias de las notas, se parte del la inmediatamente posterior al do central (a veces llamado la fundamental), que corresponde exactamente a 440 Hz, y que es precisamente el sonido que emite un diapasón. A partir de ahí, y dependiendo de la escala, se obtienen las frecuencias del resto de notas.

La afinación y la relación entre las distintas notas ha ido variando a lo largo de la historia, creándose distintas escalas. Y no es por capricho, sino que todo tiene su explicación física. Un tono puro corresponde a una onda senoidal, es decir, una función del tipo f(t) = A sen(2 π f t), donde A es la amplitud, t es el tiempo y f la frecuencia. En el mundo real no existen tonos puros, pero todos se pueden extresar como suma de tonos puros de distintas frecuencuas. Así, si quisiéramos modelar matemáticamente un tono real, tendríamos una función que sería la suma de varios senos (matemáticos ¿eh?). Existiría una frecuencia fundamental (la de mayor amplitud), y varias frecuencias múltiplos de la fundamental, llamados armónicos.Gráfico que explica la descomposición de una onda periódica, en sus armónicos

Y aquí es donde entran las escalas. Si duplicamos la frecuencia de un tono, tenemos la misma nota en la octava superior, y si dividimos entre dos, tenemos la misma nota en la octava inferior. Es decir, si duplicamos la frecuencia del do central, obtenemos el do de la siguiente octava. Si triplicamos la frecuencia, obtenemos lo que se llama quinta perfecta (en la siguiente octava; si queremos permanecer en la misma, debemos multiplicar por 3/2), que en el caso de partir de un do, corresponde a la nota sol. Si cuadruplicamos la frecuencia, estamos multiplicando por dos, dos veces, es decir, estamos subiendo dos octavas, así que netemos otro do. Si quintuplicamos la frecuencia, obtenemos la llamada tercera mayor (dos octavas por encima; si queremos permanecer en la misma octava, hay que multiplicar por 5/4), es decir, un mi. Si multiplicamos por seis, estamos multiplicando por dos y por tres, es decir, tenemos otra vez la quinta perfecta.

Detengámonos aquí un momento, y quedémonos con los múltiplos 4, 5 y 6. Tenemos la sucesión do, mi, sol, en la misma octava, que es un acorde Do Mayor. Por tanto, en un acorde mayor, las frecuencias de las notas corresponden a los armónicos 4, 5 y 6 de la frecuencia correspondiente a la nota principal de dos octavas más abajo. Eso quiere decir que si tocamos un do, ese sonido tiene entre sus frecuencias, las de un acorde Do Mayor de dos octavas por encima. Si tocamos un acorde mayor cualquiera, las tres notas tendrán armónicos comunes, de forma que sonará como si de un todo homogéneo se tratase.

Si seguimos multiplicando y calculando armónicos, obtenemos la escala musical. Así, si multiplicamos la frecuencia por 9, obtenemos la llamada segunda mayor, 3 octavas por encima, que corresponde a un re. Vemos además que 9 es 3 por 3, es decir, sería la quinta de la quinta, y efectivamente, re es la quinta perfecta de sol (que es la quinta perfecta de do).

Antes he dicho "escalas" en plural. Y es que utilizando el sistema descrito (serie armónica), tenemos un problema a la hora de cambiar la notalidad de una melodía. Veamos, en esta escala, la relación entre una nota y su segunda mayor es 9/8, y corresponde a una diferencia de un tono. La relación entre una nota y su tercera mayor es de 5/4, y corresponde a una diferencia de dos tonos por encima. ¿Qué pasa si quiero subir un tono, toda una melodía?. Pues que el do pasaría a ser re, el re sería mi, y así sucesivamente. Para ello, se multiplicarían todas las frecuencias por 9/8. Pero la relación entre do y mi es de 5/4. Y si multiplicamos por 9/8 dos veces, tenemos 81/64, que no es 5/4. Es decir, no tocaríamos realmente el mismo mi. Esto no sería problema en instrumentos como el violín, donde podemos obtener la frecuencia que queramos poniendo el dedo en el sitio justo, pero sí lo es para instrumentos que sólo pueden emitir un número "fijo" (discreto) de frecuencias, como el piano (cada cuerda es una nota) o la guitarra (las frecuencias viene dada por la posición de los trastes). Utilizando esta escala, no podríamos subir o bajar el tono de una melodía sin alterarla.

A lo largo de la historia han surgido varias escalas similares (y precisamente, la escala armónica descrita, no ha sido de las más utilizadas), pero en todas ellas, aunque se minimizaba bastante la diferencia, existía el mismo problema: la distancia entre tonos no era constante.

La única que mantiene la misma distancia entre todos, y por ello es la que se utiliza actualmente, es la escala temperada (concretamente, con temperamento justo, ya que hay otras variantes). Todos conocéis las 7 notas musicales: do, re, mi, fa, sol, la y si. Entre cada una de ellas y la siguiente, existe una diferencia de un tono, excepto entre mi y fa, y entre si y el do de la octava siguiente, que la diferencia es de un semitono, o sea, medio tono (por eso en un piano, no hay teclas negras entre mi y fa, y entre si y do). Esto quiere decir que para subir a la octava siguiente, tenemos que subir 6 tonos, o 12 semitonos en total. Por tanto, la relación entre un semitono y el siguiente debe ser un número que multiplicado por sí mismo 12 veces, nos de 2 (recordar, hay que multiplicar por 2 para subir una octava). Y ese número es la raíz doceava de 2 (21/12).

En esta escala, la relación entre una nota y su segunda mayor (un tono de diferencia) es de raíz doceava de dos al cuadrado (22/12), que aunque no es exactamente 9/8, la diferencia (0,003) es casi inapreciable para el oído humano (sobre todo en mitad de una composición). Otro ejemplo: la quinta perfecta correspondería a raíz doceava de dos a la séptima (27/12). La diferencia entre 3/2 y 27/12 es de 0,0017.

Así que tenemos que por un lado, las frecuencias dependen de la escala utilizada. Pero es que además, también dependen de la frecuencia que definamos como la fundamental. He dicho que corresponde a 440 Hz (lo que en la escala temperada, nos da un do central de 261,6 Hz), pero eso no ha sido siempre así. La afinación del la (su frecuencia) también ha variado a lo largo de la historia.

Y con todo esto volvemos a la cajita de música de Rambaldi, en Alias. ¿Qué afinación y qué escala utilizaba? Desde luego, no las actuales, por lo que el do no correspondería a los 261,6 Hz actuales, ni a los 261 Hz que mencionan en la serie. Eso no sería un problema si simplemente grabamos la melodía que toca la caja, y luego la analizamos las frecuencias presentes. Pero en la serie, la música es grabada en la misma cueva de hielo, y luego la caja es destruida. ¿Y? Bueno, pues que en todo instrumento musical (no eléctrico), la frecuencia de cada nota depende del tamaño del objeto que vibra. En un instrumento de cuerda, por ejemplo, la frecuencia depende de la longitud de la misma. En una caja de música, depende del tamaño de las pequeñas láminas metálicas que son golpeadas.

¿Y qué? Pues que el tamaño de un objeto varía con la temperatura. El calor dilata los cuerpos, y el frío los contrae. La caja de música tendría una afinación diferente en la cueva de hielo que si estuviera en un recinto a temperatura ambiente. Si en vez de grabar la música in situ, se la hubieran llevado a un labotatorio, las frecuencias serían diferentes.

23 comentarios:

  1. O_o Bueno y a todo esto (y desviandome un poquito) las teclas negras de un piano (ni idea de pianos tengo ;P) que relacion guardan con las dos teclas blancas adyacentes?

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    1. cuando tocas una tecla blanca del piano una tras otra, estas aumentando 1 tono excepto de " si a do" y de "mi a fa" que solo son medio tono, las teclas negras, como puedes observar estan en medio de las teclas blancas, por lo que indican 1/2 tono, de " si a do" hay solo 1/2 tono por que entre ellas no existe una negra.
      espero haber ayudado

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  2. Y si hablamos de historia de la ciencia: ¿En el Renacimiento disponían de instrumentos para saber que un do correspondía a 261 Hz? Si no era así, entonces el mensaje que codificó el tal Rambaldi no puede interpretarse como una relación de frecuencias en hertzios sino a alguna otra traducción numérica de las notas. (Digo yo, que no tengo ni idea...)

    Bueno, voy a releerlo despacio a ver si me entero de esto de las escalas de música...

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  3. 'presionante. 'nigualable. ¡Bravo! (plasplasplas). Una exposición suprema. Así da gusto.

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  4. Me viene a la memoria que, en algunos relojes de pared, para evitar que los péndulos variaran su longitud por la temperatura (y por tanto adelantasen o atrasasen) se hacían con varios metales de distinto coeficiente de dilatación, en esta forma:

    _ |
    | | |
    | | |
    | |_|
    |
    (O)

    (o algo parecido) de tal manera que la dilatación del metal central mitigase la de los laterales. ¿no podría estar hecha la caja de música de esa forma y no depender de la temperatura?

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  5. hombre, yo creo q se puede uno currar sistemas de resonancia para ver las frecuencias, pero en esa epoca yo dudo mucho de q tuvieran un osciloscopio... y bueno tampoco veo muy claro q ya tuviesen el analisis de Fourier

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  6. bungow las teclas negras son los sostenidos (o bemoles, ya que el sostenido de una nota es el bemol de la siguiente menos en las notas numeradas mas adelante), aumentas medio tono, entre el mi y el fa, y el si y el do hay medio tono, por eso no hay tecla negra entre ellos.

    Alf para el acorde Do mayor en piano no tocas solo el do mi sol si no tambien el siguiente do, así suena mas. Para los acordes se toca la primera, tercera y quinta. La diferencia entre la mayor y la menor es que la menor es tono y medio mas bajo.

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  7. Fantástica exposición, enhorabuena ;)

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  8. Increible, cada dia leo espero más impaceinte la entrada en el blog.
    Muy bien explicado, detallado y "mateMATIZADO". la ostia.....

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  9. Antiguamente el tema de la afinación era un problema realmente importante y fue el motivo por el cual Bach escribió 'El clave bien temperado' (Das Wohltemperierte Klavier), una colección de 24 preludios y fugas (en cada unos de los 2 volúmenes) que abarcan todas las tonalidades de forma que en un clave bien afinado (mediante el sistema gute Temperatur) se debían poder tocar todos ellos sin apreciar ningún tipo de desafinación.

    nachop, no se si yo no te he entendido bien cuando comentas la diferencia entre el acorde mayor y menor, pero la diferencia es que el intervalo de tercera es menor en lugar de mayor, esto es, una diferencia de tono y medio en lugar de dos tonos completos.

    En fin, que recuerdos de cuando estudiaba estas cosas en las clases de teoría de la música...

    Saludos.

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  10. Tambien hay que decir que por aquella epoca, tampoco existia el hertzio como unidad. El señor Henrich Hertz todavia no habia nacido xD

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  11. Podrías actualizar más amenudo??
    Acaso no hay material suficiente en inglés que podrías traducir o adaptar??
    Para lo conocido que es el blog ya podías escribir un poquito más ¡¡¡ xD

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  12. ¡Qué más quisiera yo! Si por mí fuera, lo haría todos los días. Pero uno tiene su curro, su vida personal... Cualquier aportación siempre será bienvenida.

    Sobre lo de los péndulos, pues no sé si esa solución valdría o no para un instrumento musical. He estado dándole vueltas, y no estoy seguro de cómo vibraría una estructura así. Bueno, ante la duda, habría que construirse uno y probar :-)

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  13. excelente blog, la lectura lo atrapa sin remedio, felicitaciones...

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  14. es de agradecer que la difusión de la ciencia sea un objeto de interés del gran público por medio de blogs como este, por ejemplo.
    y además no se limite a la ciencia de "moda" (sea la Genética o sea la que sea)
    suerte con el concurso

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  15. Excelente blog. Acabo de verlo. Intenteré seguirlo con frecuencia, ¡pero no prometo nada!

    Para completar la excelente explicación de Alf, me permito explicar el origen del resto de la escala armónica: el "fa", el "la" y el "si".

    Ya tenemos que, partiendo de la fundamental "do" (frecuencia f), el primer armónico es 2*f -> "do2" (una octava por encima); el segundo armónico es 3*f -> "sol2" que, bajado a la primera octava tiene frecuencia relativa de 3/2. El tercer armónico es 4*f que es "do3" y el cuarto armónico es 5*f que es "mi3" que, en la primera octava tiene frecuencia relativa 5/4.

    Si nos fijamos en el primer armónico diferente, que es "sol", la quinta o "dominante", podemos pensar que, por su cercanía armónica, es una buena base para variar las melodías que hacíamos con base en "do". Por lo tanto, nos fijamos en los armónicos próximos a "sol" no triviales. El primero es la quinta, cuya relación con "sol" es 3/2 y, por tanto, su relación con "do" es (3/2)*(3/2)= 9/4: es "re2", que en la primera octava tiene relación 9/8 con "do". El siguiente armónico es la tercera cuya relación con "sol" es 5/4 y, por tanto, su relación con "do" es (3/2)*(5/4)=15/8 que es "si", la sensible de "do" (fijaos que 15/8 está muy cerca de 2).

    Pero igual que nos hemos dejado "arrastrar" por la cercanía armónica de la quinta, también podemos pensar que "do" es, a su vez, la quinta de algo; ese "algo" (llamado "subdominante" por razones obvias) estaría por tanto a una frecuencia inferior, relativa con "do" 2/3; pasando a la primera octava tendríamos 4/3 que corresponde al "fa". Ahora analicemos sus armónicos: La quinta de "fa" es "do" (2/3)*(3/2)=1; nada nuevo. La tercera de "fa" sería (5/4)*(2/3)=5/3, que corresponde a la nota "la".

    Por tanto, la escala armónica se compone de los tres primeros armónicos no repetidos de la fundamental, la dominante (x3/2) y la subdominante (x2/3). La serie completa sería:

    do(1), re(9/8), mi(5/4), fa(4/3), sol(3/2), la(5/3), si(15/8)

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  16. Gracias. Estupenda forma de completar el envío.

    Creo que esa forma concreta de calcular las frecuencias corresponde a la llamada "just intonation" (algo así como "simplemente entonación", aunque seguro que existe un término en castellano para ello).

    La serie armónica pura tiene diferencias, ya que sólo aparecen múltiplos de 2 en el denominador, mientras que con la afinación descrita, tenemos 4/3 en fa y 5/3 en la. En la serie armónica serían 11/8 y 13/8 respectivamente. La diferencia es muy pequeña, pero supongo que un buen oído la notaría. El mío no :-)

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  17. alejandro, creo recordar que Klavier en alemán significa piano en español

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  18. Podria alguien recomendarme algun libro donde venga toda esta informacion? necesito documentar un trabajo, pero no puedo usar citas de internet!! Garcias, Saludos desde Mexico!

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  19. Bueno, lo de la variación de la longitud del material con la temperatura tiene una fácil explicación...
    Rambaldi sabía dónde iba a estar la caja cuando la encontraran, sabía la temperatura, sabía dónde iban a grabar los sonidos y sabía exactamente qué es un hertzio. Es parte de la... eh... "personalidad" del personaje...

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  20. Hola Alf,
    Soy Edu Soto, soy músico (toco el contrabajo y el piano) y estoy estudiando bachllierato ciéntifico.
    Tengo que hacer un trabajo sobre sonido y me preguntaba si la afinación varia con la temperatura dejando a parte el hecho de que el instrumento se contrae. Según la fórmula v=fλ
    (Siendo v velocidad del sonido, f frecuencia, λ longitud de onda)
    la velocidad del sonido és v=√(γRT/M). (siendo γ=1.4 (constante adiabàtica) R=8.31 (constante de gases ideales) T=temperatura en kelvins y M=28.9 (masa molar del aire aprox).
    Si augmenta la temperatura obviamente augmente la velocidad del sonido. ¿Tienes idea de qué factor (frecuencia o longitud de onda) varía? Quieo decir, puedo considerar constante la longitud de onda y así al aumentar la temperatura aumentar la frecuencia con lo que el sonido sería más agudo? o aún más fácil, ¿qué varía con la temperatura: la longitud de onda, la frecuencia o ambos?
    Sería genial que pudieses responderme y el blog genial.

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  21. Pues después de darle muchas vueltas, no sabría que decirte. Creo que la frecuencia debería mantenerse, y variar la longitud de onda, pero no pongo la mano en el fuego.

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  22. Muy bien! muy bueno el razonamiento, tambien depende de la presion del aire y de la humedad, y si nos ponemos mas "tichismichis" de la gravedad del planera que cambia en toda la superficie y de el campo electromagnetico en el que nos encontremos si el objeto que vibra es metalico. Gracias por tu explicacion, estaba buscando otra cosa pero gracias a eso he descubierto la serie alias. Espero que sea buena. Saludos. mi correo
    supercastoman(a)hotmail.com

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