La física de la música

En el mismo episodio de Alias (o puede que el siguiente) que comenté en el anterior envío, la prota tenía que ir a una cueva de hielo en Siberia, a recoger una caja de música diseñada y fabricada por Milo Rambaldi (un imaginario personaje renacentista, híbrido de DaVinci y Nostradamus). La madre de la prota explica que la música que reproduce la caja en cuestión, es un código, dado que cada nota musical corresponde a una frecuencia. Para ello, una de las cosas que le dice a su hija es que el Do Mayor corresponde a una frecuencia de 261 Hz.

No sé si se trata de un error de traducción, o ya estaba así en el diálogo original, pero resulta que Do Mayor no es una nota musical. Puede referirse a un acorde, que está formado por las notas do, mi y sol (o sea, tres frecuencias), o puede referirse a una tonalidad (que está formada por muchas más notas). Debería haber dicho simplemente do, para referirse a una sola nota, concretamente, el llamado do central, cuya frecuencia en la escala temperada corresponde a 261,6 Hz.

¿Pero sónde está la ciencia aquí? Pues en que cada nota musical corresponde a una frecuencia de oscilación. Para calcular las frecuencias de las notas, se parte del la inmediatamente posterior al do central (a veces llamado la fundamental), que corresponde exactamente a 440 Hz, y que es precisamente el sonido que emite un diapasón. A partir de ahí, y dependiendo de la escala, se obtienen las frecuencias del resto de notas.

La afinación y la relación entre las distintas notas ha ido variando a lo largo de la historia, creándose distintas escalas. Y no es por capricho, sino que todo tiene su explicación física. Un tono puro corresponde a una onda senoidal, es decir, una función del tipo f(t) = A sen(2 π f t), donde A es la amplitud, t es el tiempo y f la frecuencia. En el mundo real no existen tonos puros, pero todos se pueden extresar como suma de tonos puros de distintas frecuencuas. Así, si quisiéramos modelar matemáticamente un tono real, tendríamos una función que sería la suma de varios senos (matemáticos ¿eh?). Existiría una frecuencia fundamental (la de mayor amplitud), y varias frecuencias múltiplos de la fundamental, llamados armónicos.

Y aquí es donde entran las escalas. Si duplicamos la frecuencia de un tono, tenemos la misma nota en la octava superior, y si dividimos entre dos, tenemos la misma nota en la octava inferior. Es decir, si duplicamos la frecuencia del do central, obtenemos el do de la siguiente octava. Si triplicamos la frecuencia, obtenemos lo que se llama quinta perfecta (en la siguiente octava; si queremos permanecer en la misma, debemos multiplicar por 3/2), que en el caso de partir de un do, corresponde a la nota sol. Si cuadruplicamos la frecuencia, estamos multiplicando por dos, dos veces, es decir, estamos subiendo dos octavas, así que netemos otro do. Si quintuplicamos la frecuencia, obtenemos la llamada tercera mayor (dos octavas por encima; si queremos permanecer en la misma octava, hay que multiplicar por 5/4), es decir, un mi. Si multiplicamos por seis, estamos multiplicando por dos y por tres, es decir, tenemos otra vez la quinta perfecta.

Detengámonos aquí un momento, y quedémonos con los múltiplos 4, 5 y 6. Tenemos la sucesión do, mi, sol, en la misma octava, que es un acorde Do Mayor. Por tanto, en un acorde mayor, las frecuencias de las notas corresponden a los armónicos 4, 5 y 6 de la frecuencia correspondiente a la nota principal de dos octavas más abajo. Eso quiere decir que si tocamos un do, ese sonido tiene entre sus frecuencias, las de un acorde Do Mayor de dos octavas por encima. Si tocamos un acorde mayor cualquiera, las tres notas tendrán armónicos comunes, de forma que sonará como si de un todo homogéneo se tratase.

Si seguimos multiplicando y calculando armónicos, obtenemos la escala musical. Así, si multiplicamos la frecuencia por 9, obtenemos la llamada segunda mayor, 3 octavas por encima, que corresponde a un re. Vemos además que 9 es 3 por 3, es decir, sería la quinta de la quinta, y efectivamente, re es la quinta perfecta de sol (que es la quinta perfecta de do).

Antes he dicho "escalas" en plural. Y es que utilizando el sistema descrito (serie armónica), tenemos un problema a la hora de cambiar la notalidad de una melodía. Veamos, en esta escala, la relación entre una nota y su segunda mayor es 9/8, y corresponde a una diferencia de un tono. La relación entre una nota y su tercera mayor es de 5/4, y corresponde a una diferencia de dos tonos por encima. ¿Qué pasa si quiero subir un tono, toda una melodía?. Pues que el do pasaría a ser re, el re sería mi, y así sucesivamente. Para ello, se multiplicarían todas las frecuencias por 9/8. Pero la relación entre do y mi es de 5/4. Y si multiplicamos por 9/8 dos veces, tenemos 81/64, que no es 5/4. Es decir, no tocaríamos realmente el mismo mi. Esto no sería problema en instrumentos como el violín, donde podemos obtener la frecuencia que queramos poniendo el dedo en el sitio justo, pero sí lo es para instrumentos que sólo pueden emitir un número "fijo" (discreto) de frecuencias, como el piano (cada cuerda es una nota) o la guitarra (las frecuencias viene dada por la posición de los trastes). Utilizando esta escala, no podríamos subir o bajar el tono de una melodía sin alterarla.

A lo largo de la historia han surgido varias escalas similares (y precisamente, la escala armónica descrita, no ha sido de las más utilizadas), pero en todas ellas, aunque se minimizaba bastante la diferencia, existía el mismo problema: la distancia entre tonos no era constante.

La única que mantiene la misma distancia entre todos, y por ello es la que se utiliza actualmente, es la escala temperada (concretamente, con temperamento justo, ya que hay otras variantes). Todos conocéis las 7 notas musicales: do, re, mi, fa, sol, la y si. Entre cada una de ellas y la siguiente, existe una diferencia de un tono, excepto entre mi y fa, y entre si y el do de la octava siguiente, que la diferencia es de un semitono, o sea, medio tono (por eso en un piano, no hay teclas negras entre mi y fa, y entre si y do). Esto quiere decir que para subir a la octava siguiente, tenemos que subir 6 tonos, o 12 semitonos en total. Por tanto, la relación entre un semitono y el siguiente debe ser un número que multiplicado por sí mismo 12 veces, nos de 2 (recordar, hay que multiplicar por 2 para subir una octava). Y ese número es la raíz doceava de 2 (2^1/12).

En esta escala, la relación entre una nota y su segunda mayor (un tono de diferencia) es de raíz doceava de dos al cuadrado (2^2/12), que aunque no es exactamente 9/8, la diferencia (0,003) es casi inapreciable para el oído humano (sobre todo en mitad de una composición). Otro ejemplo: la quinta perfecta correspondería a raíz doceava de dos a la séptima (2^7/12). La diferencia entre 3/2 y 2^7/12 es de 0,0017.

Así que tenemos que por un lado, las frecuencias dependen de la escala utilizada. Pero es que además, también dependen de la frecuencia que definamos como la fundamental. He dicho que corresponde a 440 Hz (lo que en la escala temperada, nos da un do central de 261,6 Hz), pero eso no ha sido siempre así. La afinación del la (su frecuencia) también ha variado a lo largo de la historia.

Y con todo esto volvemos a la cajita de música de Rambaldi, en Alias. ¿Qué afinación y qué escala utilizaba? Desde luego, no las actuales, por lo que el do no correspondería a los 261,6 Hz actuales, ni a los 261 Hz que mencionan en la serie. Eso no sería un problema si simplemente grabamos la melodía que toca la caja, y luego la analizamos las frecuencias presentes. Pero en la serie, la música es grabada en la misma cueva de hielo, y luego la caja es destruida. ¿Y? Bueno, pues que en todo instrumento musical (no eléctrico), la frecuencia de cada nota depende del tamaño del objeto que vibra. En un instrumento de cuerda, por ejemplo, la frecuencia depende de la longitud de la misma. En una caja de música, depende del tamaño de las pequeñas láminas metálicas que son golpeadas.

¿Y qué? Pues que el tamaño de un objeto varía con la temperatura. El calor dilata los cuerpos, y el frío los contrae. La caja de música tendría una afinación diferente en la cueva de hielo que si estuviera en un recinto a temperatura ambiente. Si en vez de grabar la música in situ, se la hubieran llevado a un labotatorio, las frecuencias serían diferentes.